25 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương VII (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
25 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 3{x^2} - 2024x + 2025\) là
y' = x4 – 6x2 – 2024.
y' = x3 – 6x – 2024.
\(y' = \frac{3}{4}{x^3} - 6x - 2024\).
y' = x3 – 6x – 2024x + 2025.
B
y' = x3 – 6x – 2024.
Cho hàm số f(x) = sin22x. Tính f'(x).
f'(x) = 2sin2x.
f'(x) = 2cos22x.
f'(x) = 2sin4x.
f'(x) = −2sin4x.
C
y' = 2sin2x.(sin2x)' = 4sin2xcos2x = 2sin4x.
Tìm đạo hàm của hàm số y = πx.
y' = xπx – 1lnπ.
y' = πxlnπ.
\(y' = \frac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
y' = xπx – 1.
B
y' = πxlnπ.
Trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\), đạo hàm của hàm số y = log(2x – 1) là
\(y' = \frac{1}{{\left( {2x - 1} \right)\ln 10}}\).
\(y' = \frac{2}{{\left( {2x - 1} \right)\ln 10}}\).
\(y' = \frac{2}{{2x - 1}}\).
\(y' = \frac{1}{{2x - 1}}\).
B
\(y' = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {2x - 1} \right)\ln 10}}\)\( = \frac{2}{{\left( {2x - 1} \right)\ln 10}}\).
Cho hàm số f(x) = x2 – 5x. Tính f'(2).
f'(2) = −1.
f'(2) = 9.
f'(2) = −6.
f'(2) = 10.
A
f'(x) = 2x – 5. Khi đó f'(2) = 2.2 – 5 = −1.
Đạo hàm của hàm số \(y = \ln \frac{x}{{x + 1}}\).
\( - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).
\(\frac{x}{{x + 1}}\).
\(\frac{{x + 1}}{x}\).
\(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).
D
\(y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = e2x – 3.
\(f'\left( x \right) = 2{e^{2x - 3}}\).
\(f'\left( x \right) = {e^{2x - 3}}\).
\(f'\left( x \right) = - 2{e^{2x - 3}}\).
\(f'\left( x \right) = 2{e^{x - 3}}\).
A
f'(x) = (2x – 3)'.e2x – 3 = 2.e2x – 3.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\) tại điểm có hoành độ x = 2 là
\(y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\).
\(y = - \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\).
\(y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}\).
\(y = - \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}\).
B
Ta có \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = y'\left( 2 \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {2.2 - 1} \right)}^2}}} = - \frac{1}{3}\).
Với x = 2 Þ y = 1.
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ x = 2 là
\(y = - \frac{1}{3}\left( {x - 2} \right) + 1 = - \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và đạo hàm f'(1) = 3. Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; f(1)) bằng
2.
3.
−2.
6.
B
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M là k = f'(1) = 3.
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = −lnx – x2 là
\(y'' = \frac{1}{x} - 2x\).
\(y'' = - \frac{1}{{{x^2}}} - 2\).
\(y'' = \frac{1}{{{x^2}}} - 2\).
\(y'' = - \frac{1}{x} - 2x\).
C
Ta có \(y' = - \frac{1}{x} - 2x\)\( \Rightarrow y'' = \frac{1}{{{x^2}}} - 2\).
Cho hàm số \(y = \frac{4}{{x - 1}}\). Khi đó y'(−1) bằng
−1.
−2.
2.
1.
A
\(y' = - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = - \frac{4}{{{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}} = - 1\).
Đạo hàm của hàm số y = x2023 + 2\(\sqrt x \)tại x = 1 bằng
\(\frac{{4047}}{2}\).
2025.
3.
2024.
D
Ta có \(y' = 2023{x^{2022}} + \frac{1}{{\sqrt x }}\); \(y'\left( 1 \right) = {2023.1^{2022}} + \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 2024\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2019} \right)}}\). Giá trị của f'(0) là
\( - \frac{1}{{2019!}}\).
\(\frac{1}{{2019!}}\).
−2019.
2019!.
A
Ta có \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2019} \right)}} = \frac{1}{{\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right)...\left( { - 2019} \right)}} = - \frac{1}{{2019!}}\).
Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s(t) = t2 + 4t, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 1 là
6 m/s2.
2 m/s2.
5 m/s2.
1 m/s2.
B
Có v(t) = s'(t) = 2t + 4; a(t) = v'(t) = 2.
Do đó gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 1 là 2 m/s2.
Một chất điểm có phương trình chuyển động \(s\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 2{t^2}\), trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng 5 m/s.
−6 m/s2.
6 m/s2.
−14 m/s2.
14 m/s2.
B
Ta có v(t) = s'(t) = t2 – 4t; a(t) = v'(t) = 2t – 4.
Theo đề, v(t) = 5 Û t2 – 4t = 5 Û t = 5 (vì t > 0).
Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 là a(5) = 2.5 – 4 = 6 m/s2.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 7 có đồ thị (C).
a) f'(x) = 3x2 + 6x – 9.
b) Phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = 3.
c) Tiếp tuyến của (C) tại điểm x0 = 2 có phương trình là y = 15x – 21.
d) f"(x) = 0 Û x = −1.
a) f'(x) = 3x2 + 6x – 9.
b) f'(x) = 0 Û 3x2 + 6x – 9 = 0 Û x = −3 hoặc x = 1.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến (C) tại điểm x0 = 2 là k = y'(2) = 3.22 + 6.2 – 9 = 15.
Với x0 = 2 Þ y0 = 9.
Phương trình tiếp tuyến có dạng y = 15(x – 2) + 9 = 15x − 21.
d) Có f"(x) = 6x + 6.
Có f"(x) = 0 Û 6x + 6 = 0 Û x = −1.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số y = f(x) = sin2x. Khi đó
a)\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 4\).
b) 4y + y" = 0.
c) \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 1\).
d) Điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = sin2x có hoành độ \({x_0} = \frac{\pi }{6}\). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng 2x – y – 2025 = 0.
Ta có y' = 2cos2x; y" = −4sin2x.
a) \(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
b) 4y + y" = 4sin2x – 4sin2x = 0.
c) \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - 1\).
d) Đường thẳng 2x – y – 2025 = 0 Û y = 2x – 2025 có hệ số góc k = 2.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M là k = \(y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {2.\frac{\pi }{6}} \right) = - 1\).
Vì −1 ≠ 2 nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại M không song song với đường thẳng 2x – y – 2025 = 0.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số f(x) = lnx – ln(x + 1).
a) Hàm số có tập xác định là (−1; +∞).
b)\(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = \frac{1}{6}\) có tổng các nghiệm bằng −1.
d) Cho P = f'(1) + f'(2) + …+ f'(2023) +f'(2024). Khi đó \(P = \frac{{2024}}{{2025}}\).
a)Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 0\).
b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
c) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{6}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{6}\)\( \Leftrightarrow 6\left( {x + 1} \right) - 6x = x\left( {x + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\)(thỏa mãn) hoặc x = −3 (loại).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.
d) Ta có f'(1) + f'(2) + …+ f'(2023) +f'(2024)
\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2025}}\)
\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{{2025}} = \frac{{2024}}{{2025}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{x + 4}}\); g(x) = xcos2x.
a)\(f'\left( 2 \right) + g'\left( 0 \right) = \frac{{16}}{9}\).
b) Hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\).
c)\(2{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = \left( {f\left( x \right) - 1} \right)f''\left( x \right)\).
d) Hàm số g(x) có đạo hàm là g'(x) = cos2x + 2xsin2x.
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\); \(f''\left( x \right) = \frac{{ - 14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}}\); g'(x) = cos2x – 2xsin2x.
a) \(f'\left( 2 \right) = \frac{7}{{{{\left( {2 + 4} \right)}^2}}} = \frac{7}{{36}}\); g'(0) = 1.
Do đó \(f'\left( 2 \right) + g'\left( 0 \right) = \frac{7}{{36}} + 1 = \frac{{43}}{{36}}\).
b) \(f'\left( x \right) = \frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\).
c) \(2{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = 2{\left( {\frac{7}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} \right)^2} = \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}\); \(\left( {f\left( x \right) - 1} \right)f''\left( x \right) = \left( {\frac{{ - 7}}{{x + 4}}} \right).\frac{{ - 14}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^3}}} = \frac{{98}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^4}}}\).
Do đó \(2{\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} = \left( {f\left( x \right) - 1} \right)f''\left( x \right)\).
d) g'(x) = cos2x – 2xsin2x.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s(t) = t3 – 3t2 + 7t – 2, trong đó t > 0 và tính bằng giây và s là quãng đường chuyển động được của vật trong t giây tính bằng mét. Khi đó:
a) Tốc độ của vật tại thời điểm t = 2 là 7 m/s.
b) Gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 là 6 m/s2.
c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 16 m/s là 10 m/s2.
d) Thời điểm t = 1 giây tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 7; a(t) = v'(t)= 6t – 6.
a) v(2) = 3.22 – 6.2 + 7 = 7 m/s.
b) a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s2.
c) Có v(t) = 16 Û 3t2 – 6t + 7 = 16 Û t = 3 (vì t > 0).
Khi đó a(3) = 6.3 – 6 = 12 m/s2.
d) Có v(t) = 3t2 – 6t + 7 = 3(t – 1)2 + 4 ³ 4.
Dấu “=” xảy ra khi t = 1.
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 1 giây.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Cho hàm số y = f(x) \( = \frac{{3x + 5}}{{x - 3}}\), biết tiếp tuyến tại điểm có tung độ y0 = 1 của đồ thị hàm số là đường thẳng có dạng y = Ax + B (với A, B ∈ ℝ). Tính giá trị 2A + 3B.
Ta có \(y' = \frac{{ - 14}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\).
Với y0 = 1 thì \(\frac{{3x + 5}}{{x - 3}} = 1 \Leftrightarrow x = - 4\).
Tiếp tuyến tại điểm (−4; 1) có hệ số góc là k \(y'\left( { - 4} \right) = \frac{{ - 14}}{{{{\left( { - 4 - 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{7}\).
Khi đó phương trình tiếp tuyến là: \(y = \frac{{ - 2}}{7}\left( {x + 4} \right) + 1 = \frac{{ - 2}}{7}x - \frac{1}{7}\).
Suy ra \(A = - \frac{2}{7};B = - \frac{1}{7}\). Do đó \(2A + 3B = 2.\left( { - \frac{2}{7}} \right) + 3.\left( { - \frac{1}{7}} \right) = - 1\).
Trả lời: −1.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định, hàm số g(x) được các định bởi g(x) = −3xf(x). Biết f'(1) = f(1) = −1. Tính g'(1).
Có g'(x) = −3f(x) – 3xf'(x).
Do đó g'(1) = −3f(1) – 3.1.f'(1) = −3.(−1) – 3.1.(−1) = 6.
Trả lời: 6.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\). Tính \(f''\left( {\frac{\pi }{{24}}} \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = - 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\); \(f''\left( x \right) = 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\).
Do đó \(f''\left( {\frac{\pi }{{24}}} \right) = 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{{24}} + \frac{\pi }{{12}}} \right) = 2\).
Trả lời: 2.
Biết đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{x} - {2^x}\) có dạng \(y' = a{x^2} + \frac{b}{{{x^2}}} - {2^x}\ln c\), với a, b, c Î ℤ. Khi đó giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng bao nhiêu?
\(y' = {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{x} - {2^x}} \right)^\prime } = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - {2^x}\ln 2\).
Suy ra a = 1; b = 1; c = 2.
Do đó a + b + c = 4.
Trả lời: 4.
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 4\) (cm), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 (cm/s) là \(t = \frac{a}{b} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) (s), trong đó a, b là các số nguyên và phân số \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng a + b.
Ta có v(t) = x'(t) = \( - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
v(t) = 0 \( \Leftrightarrow - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Suy ra a = 2; b = 3. Do đó a + b = 5.
Trả lời: 5.
