Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 7 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trái tại \[{x_0}\] thì nó liên tục tại điểm đó.
Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm phải tại \[{x_0}\] thì nó liên tục tại điểm đó.
Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] thì nó liên tục tại điểm \[ - {x_0}\].
Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] thì nó liên tục tại điểm đó.
Ta có định lí sau:
“Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] thì nó liên tục tại điểm đó”.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[\left( C \right):y = 3x - 4{x^2}\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = 0\] là
\(y = 0\).
\(y = 3x - 2\).
\(y = - 12x\).
\(y = 3x\).
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y = 3x - 4{x^2} \Rightarrow y' = 3 - 8x\).
Phương trình tiếp tuyến: \(y = y'\left( 0 \right).\left( {x - 0} \right) + y\left( 0 \right)\)\( \Rightarrow \)\(\Delta :y = 3x\).
Phương trình tiếp tuyến của đường parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2} + x\) tại điểm \(\left( {1;2} \right)\) có hệ số góc là
\(3\).
\(4\).
\( - 3\).
\( - 4\).
Ta có: \(y' = 2x + 1\) ; \(y'\left( 1 \right) = 3\).
Vậy hệ số góc của phương trình tiếp tuyến với parabol tại điểm \(\left( {1;2} \right)\)bằng \[3\].
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\], tính \[f'\left( 1 \right)\]
\[f'\left( 1 \right) = 1\].
\[f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}\].
\[f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\].
\[f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\].
Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\].
\[f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right).\ln 2}} \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\].
Cho hàm số \[y = {x^3} - 2x + 1\] có đồ thị \(\left( C \right)\). Hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoàng độ bằng \(1\) bằng
\(k = - 5\).
\(k = 10\).
\(k = 25\).
\(k = 1\)
Ta có \(y' = 3{x^2} - 2\).
Hệ số góc \(k\) của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoàng độ bằng \(1\) bằng \(k = y'\left( 1 \right) = 1\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x - {\cos ^2}3x\) là
\[y' = 2\cos 2x + 3\sin 6x\].
\[y' = 2\cos 2x - 3\sin 6x\].
\[y' = 2\cos 2x - 3\sin 3x\].
\[y' = \cos 2x + 2\sin 3x\].
Ta có: \[y' = 2\cos 2x - 2\cos 3x{\left( {\cos 3x} \right)^\prime }\]
\( = 2\cos 2x + 3.2.\cos 3x\sin 3x = 2\cos 2x + 3\sin 6x\).
Hàm số \(y = {\log _{2024}}\left( {2x - 1} \right)\)có đạo hàm là
\(\frac{1}{{\left( {2x - 1} \right)\ln 2024}}\).
\(\frac{2}{{\left( {2x - 1} \right)\ln 2024}}\).
\(\frac{{\ln 2024}}{{\left( {2x - 1} \right)}}\).
\(\frac{2}{{2x - 1}}\).
Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {2x - 1} \right)\ln 2024}} = \frac{2}{{\left( {2x - 1} \right)\ln 2024}}\).
Cho hàm số \(y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1\) với \(x \in \mathbb{R}\). Đạo hàm \(y''\) của hàm số là
\(y'' = 5{x^3} - 12{x^2} + 1\).
\(y'' = 5{x^4} - 12{x^3}\).
\(y'' = 20{x^2} - 36{x^3}\).
\(y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
Ta có \(y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1\)\( \Rightarrow y' = 5{x^4} - 12{x^3} + 1 \Rightarrow y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
Tính đạo hàm của hàm số \[y = {x^2} + 2023\] tại điểm \[{x_0} = 4\] là
\(y'\left( 4 \right) = 2\).
\(y'\left( 4 \right) = - 2\).
\(y'\left( 4 \right) = 8\).
\(y'\left( 4 \right) = - 8\).
Ta có: \(y = {x^2} + 2023 \Rightarrow y' = 2x\).
Tại \[{x_0} = 4 \Rightarrow y'\left( 4 \right) = 2.4 = 8\].
Cho hàm số \[y = 3{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 1\], tính giá trị của \[y'\left( { - 2} \right)\]
\[y'\left( { - 2} \right) = 36\].
\[y'\left( { - 2} \right) = \frac{3}{2}\].
\[y'\left( { - 2} \right) = \frac{{13}}{2}\].
\[y'\left( { - 2} \right) = 32\].
Ta có: \[y = 3{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 1 \Rightarrow y' = 9{x^2} + x - 2\].
Với \[x = - 2 \Rightarrow y'\left( { - 2} \right) = 9.{\left( { - 2} \right)^2} + \left( { - 2} \right) - 2 = 32\].
Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động là \[S = \frac{1}{2}g{t^2},\] trong đó \(t\) tính bằng giây \[\left( {\rm{s}} \right)\], \(S\) tính bằng mét \(\left( {\rm{m}} \right)\) và \(g = 9,8\)\({\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\). Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 4\,{\rm{s}}\) là
\(v = 9,8\)\({\rm{m/s}}\).
\(v = 78,4\)\({\rm{m/s}}\).
\(v = 39,2\) \({\rm{m/s}}\).
\(v\) = \(19,6\) \({\rm{m/s}}\).
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo đơn vị thời gian \(v\left( t \right) = {S^\prime }\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{2}g{t^2}} \right)^\prime } = gt\)
Vậy vận tốc tại thời điểm \(t = 4\,{\rm{s}}\) là \(v\left( 4 \right) = g.4 = 39,2\,\,\left( {m/s} \right)\).
Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như hình vẽ sau.
Biết phương trình chuyển động của con lắc là \(x = 3\cos \pi t\), trong đó \(x\) tính bằng cm và \(t\) tính bằng giây. Hỏi tại thời điểm \(t = \frac{4}{3}\) (s) thì con lắc đang di chuyển nhanh dần hay chậm dần và theo hướng nào?
Con lắc di chuyển nhanh dần từ phải sang trái.
Con lắc di chuyển nhanh dần từ trái sang phải.
Con lắc di chuyển chậm dần từ trái sang phải.
Con lắc di chuyển chậm dần từ phải sang trái.
Ta xác định hàm vận tốc và hàm gia tốc của con lắc:
\(\begin{array}{l}v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - 3\pi \sin \pi t\\a\left( t \right) = x''\left( t \right) = - 3{\pi ^2}\cos \pi t\end{array}\)
Thời điểm \(t = \frac{4}{3}\) ta có
Gia tốc tức thời:\(a\left( {\frac{4}{3}} \right) = - 3{\pi ^2}\cos \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{3{\pi ^2}}}{2} > 0\), do đó con lắc đang di chuyển nhanh dần.
Vận tốc tức thời: \(v\left( {\frac{4}{3}} \right) = - 3\pi \sin \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\pi > 0\), do đó con lắc đang di chuyển cùng chiều dương, mà theo hình vẽ, chiều dương là chiều từ trái sang phải, do vậy con lắc di chuyển từ trái sang phải.
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}{\rm{ khi }}x \ge 0\\ax + b{\rm{ khi }}x < 0\end{array} \right.\] . Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b\)
Hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow b = 1\)
Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) khi \(a = 1,b = 1\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(0);\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b\)
Hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow b = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} a = a\)
Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0 \Leftrightarrow a = - 1\)
Vậy\(a = - 1,b = 1\) là giá trị cần tìm.
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) tại điểm \({x_0} = 0\) ta được \({f^\prime }(0) = a\). Khi đó:
\({f^\prime }\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\)
f'0=limx→04x+1
Phương trình \({3^x} = 3\) có nghiệm bằng \(x = a - 2\)
\({\log _a}9 = 3\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }(0)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{x - 2}}{{x + 1}} - ( - 2)}}{x}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{x + 1}} = 3.}\end{array}\)
Vậy \({f^\prime }(0) = 3\).
Cho hàm số \(y = ( - 2x - 3)\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)\). Khi đó:
\(y'\left( 1 \right) = - 31\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(y' = 0\) bằng \( - 3\)
Đồ thị của hàm số \(y'\) đi qua điểm \(A\left( {0;7} \right)\)
\(y'\left( 1 \right) > y'\left( 2 \right)\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{y^\prime }}&{ = {{( - 2x - 3)}^\prime }\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) + {{\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)}^\prime }( - 2x - 3)}\\{}&{ = - 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) + (2x + 3)( - 2x - 3) = - 6{x^2} - 18x - 7}\end{array}\)
Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức \(s(t) = {t^3} - 3{t^2} + 7t - 2\), trong đó \(t > 0\) và tính bằng giây và \(s\) là quãng đường chuyển động được của vật trong \(t\) giây tính bằng mét. Khi đó:
Tốc độ của vật tại thời điểm \(t = 2\) là \(7(\;m/s)\)
Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là \(6\left( {\;m/{s^2}} \right)\)
Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng \(16\;m/{s^2}\) là \(10\left( {\;m/{s^2}} \right)\)
Thời điểm \(t = 1\) (giây) tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \({s^\prime }(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) và \({s^{\prime \prime }}(t) = 6t - 6\).
a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(v(2) = {s^\prime }(2) = {3.2^2} - 6.2 + 7 = 7(\;m/s)\).
b) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) là: \(a(2) = {v^\prime }(2) = {s^{\prime \prime }}(2) = 6.2 - 6 = 6\left( {\;m/{s^2}} \right)\).
c) Vận tốc của chuyển động bằng \(16\;m/{s^2}\) tại thời điểm \(t\) nghĩa là:
\(v(t) = {s^\prime }(t) = 16{\rm{ }} \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t + 7 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3{\rm{ (tho\^u a ma\~o n) }}}\\{t = - 1{\rm{ (loa\"i i) }}}\end{array}} \right.\)
Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\) là: \(a(3) = {v^\prime }(3) = {s^{\prime \prime }}(3) = 6.3 - 6 = 12\left( {\;m/{s^2}} \right)\).
d) Vận tốc của chuyển động có phương trình \(v(t) = 3{t^2} - 6t + 7\) là một parabol, có đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) \Rightarrow S(1;4)\) và hệ số \(a = 3 > 0\) nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại \(t = 1\).
Vậy tại thời điểm \(t = 1\) thì vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4(\;m/s)\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3x + 2} \) là biểu thức có dạng \(\frac{{ax + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + 3x + 2} }}\). Khi đó \(a\) bằng
\(y = \sqrt {{x^2} + 3x + 2} \)
\(y' = \frac{{2x + 3}}{{2\sqrt {{x^2} + 3x + 2} }}\). Suy ra \(a = 2\).
Đạo hàm cấp hai của hàm số \[y = {x^6} - 4{x^4} + 3{x^2} - 1\] là:
Ta có: \[y = {x^6} - 4{x^4} + 3{x^2} - 1 \Rightarrow y' = 6{x^5} - 16{x^3} + 6x\]\[ \Rightarrow y'' = 30{x^4} - 48{x^2} + 6.\]
Phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4x\) tại tiếp điểm có hoành độ bằng 1 là
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + 4\)
Tiếp điểm có hoành độ bằng 1 thì \[{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 2;f'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( 1 \right) = 1\].
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \[B\left( {1;2} \right)\]là
\[\Delta :y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = x + 1\]
Một vật chuyển động có phương trình \(S = {t^4} - 3{t^3} - 3{t^2} + 2t + 1(\;m),t\) là thời gian tính bằng giây. Tính gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 3\;s\).
\(\begin{array}{l}S = f(t) = {t^4} - 3{t^3} - 3{t^2} + 2t + 1 \Rightarrow {f^\prime }(t) = 4{t^3} - 9{t^2} - 6t + 2\\ \Rightarrow a(t) = {f^{\prime \prime }}(t) = 12{t^2} - 18t - 6\end{array}\)
Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 3s\) là \(a(3) = {12.3^2} - 18.3 - 6 = 48\;m/{s^2}\).
Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất \(7,5\% /\) năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Tính sau thời gian ngắn nhất (theo năm) để số tiền người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền đã gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?
Giả sử số tiền người đó gửi vào ngân hàng là \(A\). Sau \(n\) năm số tiền người đó nhận được là \(2A\).
Áp dụng công thức \(S = A{e^{0,075t}}\) ta có \(2A \le A \cdot {e^{0,075t}}\)
\( \Leftrightarrow 0,075t \ge \ln 2 \Leftrightarrow t \ge \approx 9,24\).
Người đó phải gửi ít nhất 10 năm thì số tiền thu được gấp đôi số tiền ban đầu.
Người ta xây một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là \(400\)m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá \(10^\circ \) (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Chọn hệ trục \(Oxy\) sao cho \(O\) là trung điểm\(AB\), tia \(Ox\) trùng với tia \[OB,\] tia \(Oy\) hướng lên trên
(như hình vẽ).
Khi đó \[A\left( { - 200;0} \right),B\left( {200;0} \right).\] Gọi chiều cao giới hạn của cầu là \[h\left( {h > 0} \right),\] suy ra đỉnh cầu có tọa độ \[\left( {0;h} \right).\]
Gọi phương trình parabol của cầu là \(y = a{x^2} + bx + c\). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 0\\c = h\\{200^2}a + 200b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = h\\a = \frac{{ - h}}{{{{200}^2}}}\end{array} \right.\)
Ta tìm được phương trình parabol của cầu là \(y = - \frac{h}{{{{200}^2}}}{x^2} + h\)
Ta có\(y' = - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x\). Nhận thấy hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên cầu xác định độ dốc của mặt cầu. Suy ra hệ số xác định độ dốc của mặt cầu là
\(k = y' = - \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}x\)\[, - 200 \le x \le 200\].
Do đó\(|k| = \frac{{2h}}{{{{200}^2}}}|x| \le \frac{{2h}}{{{{200}^2}}} \cdot 200 = \frac{h}{{100}}\). Vì độ dốc của cầu không quá 10° nên ta có h100≤tan10°⇔h≤17,6
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.
