Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 6 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Viết dưới dạng lữy thừa biểu thức sau đây \(P = {a^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{{{a^8}}}\) \(\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{\left( {a > 0} \right)}\end{array}\)
\(P = {a^{\frac{{13}}{3}}}\).
\(P = {a^{\frac{{40}}{3}}}\).
\(P = {a^{ - 1}}\).
\(P = {a^{\frac{{40}}{9}}}\).
Ta có \(P = {a^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{{{a^8}}} = {a^{\frac{5}{3}}}:{a^{\frac{8}{3}}} = {a^{ - 1}}\).
Có bao nhiêu số thực dương \(n\) khác 1 để \({\log _n}81\) là một số nguyên?
\(6\).
\(3\).
\(4\).
\(5\).
Ta có: \[{\log _n}81 = {\log _n}{3^4} = 4{\log _n}3 = \frac{4}{{{{\log }_3}n}}\].
Để \({\log _n}81\) là một số nguyên thì \({\log _3}n \in \{ \pm 1;\, \pm 2;\, \pm 4\} \) \( \Leftrightarrow n \in \left\{ {\frac{1}{3};\,3;\,\frac{1}{9};\,9;\,\frac{1}{{81}};\,\,81} \right\}\)
Vậy có tất cả \(6\) số thực dương \(n\) khác 1 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cho biểu thức \(P = {\log _a}{b^5} + {\log _{{a^3}}}{b^6}\) trong đó \(a,b\) là các số thực dương tùy ý và \(a\) khác \(1\). Khi đó mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(P = 23{\log _a}b\).
\(P = 11{\log _a}b\).
\(P = 7{\log _a}b\).
\(P = 15{\log _a}b\).
Ta có:
\(P = {\log _a}{b^5} + {\log _{{a^3}}}{b^6} = 5{\log _a}b + 6.\frac{1}{3}.{\log _a}b = 7{\log _a}b\).
Cho hàm số mũ \(y = {\left( {9 - 2a} \right)^x}\) với a là tham số. Có bao nhiêu số tự nhiên a để hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(4\).
\(3\).
\(2\).
\(5\).
Hàm số \(y = {\left( {9 - 2a} \right)^x}\)đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow 9 - 2a > 1 \Leftrightarrow a < 4\)
Mà \(a \in \mathbb{N} \Rightarrow a \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)
Vậy có \(4\) giá trị của \(a\) thỏa mãn.
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình \({e^{{x^2} - 3x}} = \frac{1}{{{e^2}}}\).
\(T = 3\).
\(T = 1\).
\(T = 2\).
\(T = 0\)
Tacó\({e^{{x^2} - 3x}} = \frac{1}{{{e^2}}} \Leftrightarrow {e^{{x^2} - 3x}} = {e^{ - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 3x = - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;2} \right\}\)nên tổng các nghiệm là \(T = 3\)
Tổng các nghiệm thực của phương trình \({\log _2}(x + 1) = 2{\log _4}({x^2} - 1)\) bằng
\(2\).
\(3\).
\( - 2\).
\(1\).
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)
\(\begin{array}{l}{\log _2}(x + 1) = 2{\log _4}({x^2} - 1) \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) = {\log _2}({x^2} - 1) \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
.So điều kiện ta nhận \(x = 2\).
Vậy tổng các nghiệm thực của phương trình là \(2\).
Tìm tập nghiệp S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}({x^2} - 1) < {\log _{\frac{1}{5}}}(3x - 3)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right) \cup (\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( { - 1;2} \right)\).
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 3 > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)
Ta có \({\log _{\frac{1}{5}}}({x^2} - 1) < {\log _{\frac{1}{5}}}(3x - 3) \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 3x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\).
Đối chiếu điều kiện bất phương trình có nghiệm là \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Cho các số thực \(x\),\(y\) thỏa mãn \({2^x} = 3\), \({3^y} = 4\). Tính giá trị biểu thức \(P = {8^x} + {9^y}\).
\(43\).
\(17\).
\(24\).
\(34\).
Ta có \(P = {8^x} + {9^y} = {\left( {{2^3}} \right)^x} + {\left( {{3^2}} \right)^y} = {2^{3x}} + {3^{2y}} = {\left( {{2^x}} \right)^3} + {\left( {{3^y}} \right)^2} = {3^3} + {4^2} = 43\)
Rút gọn biểu thức \({\left[ {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{4}}}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^5}\), ta được
\(\sqrt 3 \).
\(3\sqrt 3 \).
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(9\).
Ta có: \({\left[ {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{4}}}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^5} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^5} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 1}}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^5} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^4} = 9\).
Nếu \({2^a} = 9\) thì \[{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\frac{a}{8}}}\] có giá trị bằng
\(\frac{1}{3}\).
\(3\).
\(\frac{1}{9}\).
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Ta có \({2^a} = 9 \Rightarrow a = {\log _2}9\) Nên \[{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\frac{a}{8}}} = {\left( {{2^{ - 4}}} \right)^{\frac{a}{8}}} = {2^{\frac{{ - a}}{2}}} = {2^{\frac{{ - {{\log }_2}9}}{2}}} = {\left( {{2^{{{\log }_2}9}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{2}}} = {9^{\frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{1}{3}\]
Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm \(2013\) dân số Việt Nam là \(90\) triệu người, tốc độ tăng dân số là \(1,1\% /\)năm. Nếu mức tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sau \(t\) năm kể từ năm \(2013\) được tính bởi công thức\(P(t) = 90{(1 + 1,1\% )^t}\) (triệu người). Hỏi đến năm \(2077\) dân số Việt Nam là khoảng bao nhiêu triệu người?
\(181\).
\(179\).
\(180\).
\(182\).
Ta có: Tính từ năm \(2013\) đến năm \(2077\) là \(2077 - 2013 = 64\)năm
Áp dụng công thức \(P(t) = 90.{(1 + 1,1\% )^t}\)thì đến năm \(2077\) dân số nước ta là
\(P = 90.{(1 + 1,1\% )^{64}} \approx 181,266\) triệu người.
Biết rằng năm \(2001\), dân số Việt Nam là \(78.685.800\) người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là \(1,7\% \). Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức \(S = A.{e^{Nr}}\) (trong đó \(A\) là dân số của năm lấy làm mốc tính, \(S\) là số dân sau \(N\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Nếu dân số vẫn tăng với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức \(120\) triệu người?
\(2022\).
\(2025\).
\(2020\).
\(2026\).
Ta có Nếu dân số vẫn tăng với tỉ lệ \(1,7\% \) thì:
Sau \(N\) năm dân số Việt Nam là 120.000.000 người
Ta có: \(S = A.{e^{Nr}} \Leftrightarrow 120000000 = 78685800.{e^{1,7\% .N}} \Rightarrow N \approx 25\)
Vậy đến năm \(2001 + 25 = 2026\) thì dân số nước ta ở mức \(120\) triệu người
Với mọi \[a,\,\,b,\,\,x\] là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x = 5.{\log _2}a + 3{\log _2}b\).
Các mệnh đề sau đúng/sai
\(x = 3a + 5b\).
\(x = {a^5}{b^3}\).
\(x = {a^5} + {b^3}\).
\(x = 5a + 3b\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có \({\log _2}x = 5.{\log _2}a + 3{\log _2}b \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}\left( {{a^5}{b^3}} \right) \Leftrightarrow x = {a^5}{b^3}\)
Với các số thực dương \(a,{\rm{ b}}\) bất kì.
Các mệnh đề sau đúng/sai
\({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a + {\log _2}b\).
\({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a + {\log _2}b\).
\({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b\).
\({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a - {\log _2}b\).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \({\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = {\log _2}\left( {2{a^3}} \right) - {\log _2}\left( b \right) = {\log _2}2 + {\log _2}{a^3} - {\log _2}b = 1 + 3{\log _2}a - {\log _\,}b\).
Với các số thực dương \(a\,,\,b\) bất kì.
Các mệnh đề sau đúng/sai
\(\log \left( {ab} \right) = \log a.\log b\).
\(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\).
\(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\).
\(\log \frac{a}{b} = {\mathop{\rm logb}\nolimits} - {\mathop{\rm loga}\nolimits} \).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b\).
Biết \({4^\alpha } + {4^{ - \alpha }} = 5\). Tính giá trị biểu thức :
a) \({2^\alpha } + {2^{ - \alpha }}\) b) \({4^{2\alpha }} + {4^{ - 2\alpha }}\)
a) Ta có: \({\left( {{2^\alpha } + {2^{ - \alpha }}} \right)^2} = {4^\alpha } + {4^{ - \alpha }} + 2 = 7\)
b) Ta có : \(\left( {{4^\alpha } + {4^{ - \alpha }}} \right) = {4^{2\alpha }} + {4^{ - 2\alpha }} + 2 \Leftrightarrow {4^{2\alpha }} + {4^{ - 2\alpha }} = \left( {{4^\alpha } + {4^{ - \alpha }}} \right) - 2 = 23\)
Giá trị của biểu thức \(P = {\log _2}\frac{2}{3} + {\log _2}12\) bằng
Ta có: \(P = {\log _2}\frac{2}{3} + {\log _2}12 = {\log _2}\left( {\frac{2}{3}.12} \right) = {\log _2}8 = 3\).
Cho phương trình \({2^{{x^2} - x + 8}} - {4^{1 - 3x}} = 0\) có hai nghiệm thực \({x_1},\,{x_2}\). Khi đó tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng
Ta có \({2^{{x^2} - x + 8}} - {4^{1 - 3x}} = 0 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x + 8}} = {2^{2 - 6x}} \Leftrightarrow {x^2} - x + 8 = 2 - 6x \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\).
Nếu một người gửi tiết kiệm số tiền 150 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là \(5\% \) một năm (theo thể thức lãi kép), thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của người đó sau 3 năm gần với số nào sau đây nhất?
Mỗi kỳ hạn 6 tháng nên 3 năm có 6 kỳ hạn.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của người đó sau 3 năm:
\[P = 150.{\left( {1 + 5\% .\frac{6}{{12}}} \right)^6} \approx 173,95\] (triệu đồng).
Số lượng loại vi khuẩn \(A\) trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(s(t) = s(0){.2^t}\), trong đó \(s(0)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) lúc ban đầu, \(s(t)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) có sau \(t\) phút. Biết sau 3 phút thì số vi khuẩn \(A\) là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ban đầu, số lượng loại vi khuẩn \(A\) là 20 triệu con.
Theo giả thiết ta có: \(s(3) = 625000 \Leftrightarrow s(0){.2^3} = 625000 \Leftrightarrow s(0) = 78125\).
Số lượng loại vi khuẩn \(A\) là 20 triệu con khi
\(s(t) = 20000000 \Leftrightarrow s(0){.2^t} = 20000000 \Leftrightarrow {2^t} = \frac{{20000000}}{{s(0)}} = \frac{{20000000}}{{78125}} = 256 \Leftrightarrow t = 8\).
Vậy, sau 8 phút thì số lượng vi khuẩn \(A\) là 20 triệu con.
Năm \[2020\]công ty \(M\) thuê mặt bằng để sản xuất kinh doanh với số tiền là \[850\] triệu và ký vào hợp đồng trong \[10\] năm tiếp theo, mỗi năm chịu tăng \[2\% \] giá thuê mặt bằng của năm liền trước. Theo dự định đó, năm \[2025\] công ty \(M\) phải trả số tiền thuê mặt bằng khoảng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?
Sau năm thứ nhất giá thuê mặt bằng là: \[850.000.000\left( {1 + 2\% } \right)\] đồng
Sau năm thứ hai giá thuê mặt bằng là:
\[850.000.000\left( {1 + 2\% } \right) + 850.000.000\left( {1 + 2\% } \right).2\% = 850.000.000{\left( {1 + 2\% } \right)^2}\]
….
Đến năm \(2025\) giá thuê mặt bằng là \[850.000.000{\left( {1 + 2\% } \right)^5} \approx 938.469.000\].
