22 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương VI (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho x, y > 0 và α, βÎ ℝ. Đẳng thức nào sau đây là sai?
xα + yα = (x + y)α.
(xy)α = xα.yα.
(xα)β = xαβ.
xαxβ = xα + β.
A
xα + yα = (x + y)α là sai.
Cho biểu thức \(P = {x^{ - \frac{3}{4}}}\sqrt {\sqrt {{x^5}} } ,x > 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(P = {x^{\frac{1}{2}}}\).
\(P = {x^{ - 2}}\).
\(P = {x^{\frac{1}{2}}}\).
\(P = {x^2}\).
C
\(P = {x^{ - \frac{3}{4}}}\sqrt {\sqrt {{x^5}} } = {x^{ - \frac{3}{4}}}\sqrt {{x^{\frac{5}{2}}}} = {x^{ - \frac{3}{4}}}.{x^{\frac{5}{4}}} = {x^{\frac{1}{2}}}\).
Biết \({a^{\frac{7}{4}}} < {a^{\frac{8}{5}}}\) và \({\log _b}\frac{{\sqrt 3 }}{2} > {\log _b}\frac{{\sqrt 5 }}{3}\). Chọn khẳng định đúng
0 < a < 1 < b.
0 < a < b < 1.
0 < b < 1 < a.
1 < a < b.
A
Vì \(\frac{7}{4} > \frac{8}{5}\) và \({a^{\frac{7}{4}}} < {a^{\frac{8}{5}}}\) nên 0 < a < 1.
Vì \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} > \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) và \({\log _b}\frac{{\sqrt 3 }}{2} > {\log _b}\frac{{\sqrt 5 }}{3}\) nên b > 1.
Hàm số \(y = \frac{1}{{{5^x} - 1}}\) có tập xác định là
ℝ\{0}.
(0; +∞).
(−∞; 0).
ℝ.
A
Điều kiện: 5x – 1 ≠ 0 Û x ≠ 0.
Cho 0 < a ≠ 1, b > 0 thỏa \({\log _a}b = \sqrt 3 \). Tính \(S = {\log _{\sqrt a }}\sqrt[3]{b}\).
\(\frac{{2\sqrt 3 }}{5}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
D
\(S = {\log _{\sqrt a }}\sqrt[3]{b}\)\( = \frac{2}{3}{\log _a}b = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Tập nghiệm S của bất phương trình là \({\log _{\frac{1}{2}}}x < - 4\) là
S = (16; +∞).
\(\left( { - \infty ;\frac{1}{{16}}} \right)\).
\(\left( {\frac{1}{{16}}; + \infty } \right)\).
(−∞; 16).
A
Điều kiện: x > 0.
\({\log _{\frac{1}{2}}}x < - 4\)\( \Leftrightarrow x > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 4}} = 16\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = (16; +∞).
Cho bất phương trình 5x < 125. Số nghiệm dương của bất phương trình là
4.
1.
3.
2.
D
5x < 125 Û x < 3.
Nghiệm dương của bất phương trình là x = 1; x = 2.
Đồ thị hàm số như hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây
\(y = {\left( {\frac{2}{9}} \right)^x}\).
\(y = {\log _{\frac{2}{9}}}x\).
y = 3x.
\(y = {\left( {\frac{9}{2}} \right)^x}\).
B
Đây là dạng đồ thị hàm số y =logax.
Mà hàm số này nghịch biến nên 0 < a < 1.
Do đó đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _{\frac{2}{9}}}x\).
Tập nghiệm của bất phương trình 22x < 2x + 6 là
(0; 6).
(−∞; 6).
(0; 64).
(6; +∞).
B
22x < 2x + 6 Û 2x < x + 6 Û x < 6.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; 6).
Tập nghiệm S của bất phương trình log3(2x – 1) < 2 là
S = (−∞; 5).
\(S = \left( {\frac{1}{2};5} \right)\).
S = (5; +∞).
\(S = \left[ {\frac{1}{2};5} \right)\).
B
Điều kiện: 2x – 1 > 0 Û \(x > \frac{1}{2}\).
log3(2x – 1) < 2 Û 2x – 1 < 9 Û x < 5.
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{1}{2};5} \right)\).
Giá trị của \(K = {\left( {\frac{1}{{81}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\) bằng
K = 18.
K = 108.
K = 180.
K = 54.
B
\(K = {\left( {\frac{1}{{81}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\)\( = {\left( {{3^{ - 4}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {{3^{ - 3}}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\)\( = {3^3} + {3^4} = 108\).
Cho loga3 = 5. Tính P = loga(3a5).
P = 25.
P = 12.
P =10.
P = 125.
C
P = loga(3a5) = loga3 + 5logaa = 5 + 5 = 10.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho phương trình log(x2 – 3x + m) = log(x + 2). Khi đó:
a) Với m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
b) Với m = 2 thì điều kiện của phương trình là x > 2.
c) Với −10 < m < 6 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
d) Với m = 2. Tổng các nghiệm của phương trình bằng 4.
a) Với m = 2 thì phương trình có dạng log(x2 – 3x + 2) = log(x + 2)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\\x > - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < x < 1\\x > 2\end{array} \right.\)
log(x2 – 3x + 2) = log(x + 2) Û x2 – 3x + 2 = x + 2
Û x2 – 4x = 0 Û x = 0 (tmđk) hoặc x = 4 (tmđk).
Vậy phương trình có có hai nghiệm.
b) Theo câu a, điều kiện \(\left[ \begin{array}{l} - 2 < x < 1\\x > 2\end{array} \right.\).
c) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + m > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right.\).
log(x2 – 3x + m) = log(x + 2) Û x2 – 3x + m = x + 2 Û x2 – 4x + m – 2 = 0
Û m = −x2 + 4x + 2 (1)
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x > −2.
Xét hàm số g(x) = −x2 + 4x + 2 .
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy −10 < m < 6 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
d) Theo câu a, với m = 2 thì tổng các nghiệm của phương trình bằng 4.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Giá trị của một ngôi nhà sau khi xây n năm được cho bởi công thức V = 6250.ean (triệu đồng) với a là một hệ số xác định. Biết khi n = 3 thì V = 8750 (triệu đồng).
a) Giá trị ban đầu của ngôi nhà là 6250000000 đồng.
b) Giá trị của a là a = 0,112 (làm tròn kết quả đến 3 chữ số sau dấy phẩy).
c) Giá trị của ngôi nhà sau 5 năm là 11000 triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
d) Sau ít nhất 6 năm thì giá trị ngôi nhà sẽ tăng gấp đôi.
a) Giá trị ban đầu của ngôi nhà ứng với n = 0
Þ V = 6250 (triệu đồng) = 6250000000 đồng.
b) Khi n = 3 thì V = 8750 triệu đồng nên 8750 = 6250e3a Û \(a = \frac{{\ln 1,4}}{3} \approx 0,112\).
c) Sau 5 năm \(V = 6250.{e^{\frac{{5\ln 1,4}}{3}}} \approx 10950\) triệu đồng.
d) Giá trị ngôi nhà tăng gấp đôi khi \({e^{\frac{{n.\ln 1,4}}{3}}} \ge 2 \Leftrightarrow n \ge \frac{{3\ln 2}}{{\ln 1,4}} \approx 6,18\).
Do n là số năm nên n ít nhất bằng 7.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số y = f(x) = 2x.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là ℝ.
b) Hàm số đã cho có đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải.
c) Phương trình f(x) = 4 có nghiệm x = 2.
d) Có đúng 3 số nguyên x thỏa mãn log2(f(x)) – x2 + 2 > 0.
a) Tập xác định của hàm số là ℝ.
b) Cơ số 2 > 1 nên hàm số y = 2x đồng biến trên ℝ.
c) Có f(x) = 4 Û 2x = 4 Û x = 2.
d) Có log2(f(x)) – x2 + 2 > 0 Û log22x – x2 + 2 > 0 Û x – x2 + 2 > 0 Û −1 < x < 2.
Do đó có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn là 0 và 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số y = f(x) = log5(x + 2).
a) Tập xác định của hàm số là D = (−2; +∞).
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm M(−1; 0).
c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = −1.
d) Bất phương trình f(x) ≤ 1 có tập nghiệm S = (−∞; 3).
a) Điều kiện: x + 2 > 0 Û x > −2.
Vậy tập xác định của hàm số D = (−2; +∞).
b) Thay x = −1 vào hàm số ta được y = log5(−1 + 2) = 0.
Do đó đồ thị hàm số đi qua điểm M(−1; 0).
c) Phương trình f(x) = 0 Û log5(x + 2) = 0 Û x = −1.
d) Bất phương trình f(x) ≤ 1 Û log5(x + 2) ≤ 1 Û x + 2 ≤ 5 Û x ≤ 3.
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S = (−2; 3].
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số f(x) = 2x và g(x) = log3(−x2 + 3). Khi đó:
a) Đồ thị của hàm số f(x) là hình dưới đây
b) Hàm số g(x) có tập xác định \(D = \left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\).
c) x = 2 là nghiệm của phương trình f(x) = 8x – 2.
d) Bất phương trình g(x) > log32x có tập nghiệm S = (−3; 1).
a) Đây là đồ thị của hàm số y = 2x.
b) Điều kiện: −x2 + 3 > 0 Û \( - \sqrt 3 < x < \sqrt 3 \).
c) Có f(x) = 8x – 2 Û 2x = 23x – 6 Û x = 3x – 6 Û x = 3.
d) g(x) > log32x Û log3(−x2 + 3) > log32x \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < \sqrt 3 \\ - {x^2} - 2x + 3 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < \sqrt 3 \\ - 3 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Tìm giá trị của tham số m để phương trình \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - \left( {m + 2} \right)x}} = {5^{27}}\) có hai nghiệm phân biệt a và b thỏa mãn điều kiện \({\log _a}\left( {{b^{{{\log }_a}b}}} \right) - 2{\log _{\sqrt a }}b + 4 = 0\).
\({\log _a}\left( {{b^{{{\log }_a}b}}} \right) - 2{\log _{\sqrt a }}b + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} - 4{\log _a}b + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b = 2 \Leftrightarrow b = {a^2}\).
Vậy ta cần tìm m để phương trình x2 – (m + 2)x + 27 = 0 có hai nghiệm a, b dương phân biệt khác 1 và thỏa mãn b = a2.
Giả sử phương trình có hai nghiệm a, b theo định lý Viet ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = m + 2\\ab = 27\\{a^2} = b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = m + 2\\{a^3} = 27\\{a^2} = b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 9\\m + 2 = 12 \Leftrightarrow m = 10\end{array} \right.\).
Thử lại m =10 ta thấy phương trình x2 – 12x + 27 = 0 có hai nghiệm 3; 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy m = 10 là giá trị cần tìm.
Trả lời: 10.
Biết nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {x - 5} \right) = 1\) có dạng \(x = a + \sqrt b \left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính giá trị biểu thức T = a + b.
Điều kiện: x > 5
Phương trình đã cho tương đương với log3[(x – 1)(x – 5)] = log33 Û (x – 1)(x – 5) = 3
Û x2 – 6x + 5 = 3 Û x2 – 6x + 2 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 7 \\x = 3 + \sqrt 7 \end{array} \right.\).
Vì x > 5 nên \(x = 3 + \sqrt 7 \).
Suy ra a = 3; b = 7. Do đó T = 10.
Trả lời: 10.
Bạn An gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 1%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi ít nhất bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi gấp đôi số tiền ban đầu?
Cả vốn lẫn lãi gấp đôi số tiền ban đầu: 2 = (1 + 1%)n Þ n = log(1 + 1%)2 ≈ 69,66.
Vậy số tháng ít nhất để An thu được cả vốn lẫn lãi gấp đôi số tiền ban đầu là 70 tháng.
Trả lời: 70.
Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức M = logA – logA0 độ Richter, với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn. Đầu thế kỷ 20 một trận động đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richter. Hỏi trận động đất ở San Franciso có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ động đất ở Nhật Bản?
Ở San Francisco trận động đất có cường độ là M1 = logA1 – logA0 \( = \log \frac{{{A_1}}}{{{A_0}}} = 8\).
Ở Nhật Bản trận động đất có cường độ là \({M_2} = \log \frac{{{A_2}}}{{{A_0}}} = 6\).
Khi đó \(8 - 6 = \log \frac{{{A_1}}}{{{A_0}}} - \log \frac{{{A_2}}}{{{A_0}}} = \log \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}\) \( \Leftrightarrow 2 = \log \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = {10^2} = 100\).
Trả lời: 100.
Trong Vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ được tính theo công thức m(t) = m0e-kt trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ, m(t) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian t, k là hằng số phóng xạ phụ thuộc vào từng loại chất. Biết chu kỳ bán rã của 14C là khoảng 5730 năm (tức là một lượng 14C sau 5730 năm thì còn lại một nửa). Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cacbon và xác định được là nó đã mất đi khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ vật có tuổi là bao nhiêu năm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Ta có \(m\left( t \right) = {m_0}{e^{ - kt}} \Leftrightarrow {e^{ - kt}} = \frac{{m\left( t \right)}}{{{m_0}}} \Leftrightarrow - kt = \ln \frac{{m\left( t \right)}}{{{m_0}}}\).
Do chu kỳ bán rã của 14C là khoảng 5730 năm nên \(k = - \frac{1}{t}\ln \frac{{m\left( t \right)}}{{{m_0}}} = \frac{{\ln 2}}{{5730}}\).
Mẫu đồ cổ có một lượng Cacbon và xác định được là nó đã mất đi khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu của nó nên \(m\left( t \right) = \frac{3}{4}{m_0} \Leftrightarrow \frac{{m\left( t \right)}}{{{m_0}}} = \frac{3}{4}\).
Mẫu đồ vật có tuổi là \(t = - \frac{1}{k}\ln \frac{{m\left( t \right)}}{{{m_0}}} = - \frac{{5730}}{{\ln 2}}.\ln \frac{3}{4} \approx 2378\).
Trả lời: 2378.
