Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 6 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Cho \(x > 0;y > 0\) và \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\). Tìm đẳng thức sai dưới đây?
\({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha }.{y^\alpha }\).
\({x^\alpha } + {y^\alpha } = {\left( {x + y} \right)^\alpha }\).
\[{\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}\].
\({x^\alpha }.{x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\).
Tính chất sai là: \({x^\alpha } + {y^\alpha } = {\left( {x + y} \right)^\alpha }\).
Nếu \({a^{\frac{1}{3}}} = b\)\(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)thì
\[{\log _{\frac{1}{3}}}a = b\].
\[3{\log _a}b = 1\].
\[{\log _a}\frac{1}{3} = b\].
\[{\log _{\frac{1}{3}}}b = a\].
Ta có \[3{\log _a}b = 3{\log _a}{a^{\frac{1}{3}}} = 3.\frac{1}{3}{\log _a}a = 1\]
Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?
\(y = {3^x}\).
\(y = {x^3}\).
\(y = {\left( { - 3} \right)^x}\).
\(y = {x^{\sqrt 2 }}\).
Theo định nghĩa hàm số mũ có dạng \(y = {a^x}\) với \(a > 0,a \ne 1\) là cơ số, do vậy ta có \(y = {3^x}\) là hàm số mũ.
Hàm số logarit \(y = {\log _a}x\,\,\,(a > 0,a \ne 1)\) có tập xác định là
\(D = \mathbb{R}\).
\(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\].
\([0; + \infty )\)
Hàm số logarit \(y = {\log _a}x\,\,\,(a > 0,a \ne 1)\) xác định khi \(x > 0\) nên có tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x - 1}} = \frac{1}{3}\)
\(S = \left\{ {0; - 1} \right\}\).
\(S = \left\{ 0 \right\}\).
\(S = \left\{ {0;1} \right\}\).
\(S = \left\{ 1 \right\}\).
\({3^{2x - 1}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 2\,x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x = 0\)
Phương trình \({\log _2}\left( {x - 2} \right) = 3\) có bao nhiêu nghiệm thực?
\(2\).
\(3\).
\(1\).
\(0\).
Ta có \({\log _2}\left( {x - 2} \right) = 3 \Leftrightarrow x - 2 = {2^3} \Leftrightarrow x = 10\), do vậy phương trình \({\log _2}\left( {x - 2} \right) = 3\) có đúng một nghiệm thực.
Tập nghiệm bất phương trình: \({2^x} > 8\) là
\(\left( { - \infty \,;\,3} \right)\).
\(\left[ {3\,;\, + \infty } \right)\).
\(\left( {3\,;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\,3} \right]\).
Ta có: \({2^x} > 8 \Leftrightarrow {2^x} > {2^3} \Leftrightarrow x > 3\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(\left( {3\,;\, + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình
\(\left( {4; + \infty } \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( {6; + \infty } \right)\).
\(\left( {2;6} \right)\).
Ta có \({\log _2}\left( {x - 2} \right) > 2 \Leftrightarrow x - 2 > {2^2} \Leftrightarrow x - 2 > 4 \Leftrightarrow x > 6\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {6; + \infty } \right)\).
Tập giá trị của hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x}\) là
\(T = \mathbb{R}\).
\(T = \left( {0; + \infty } \right)\).
T=ℝ\0 .
\(T = \left( { - \infty ;0} \right)\).
Với mọi \(a > 0,a \ne 1\) thì \({a^x} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\), do đó tập giá trị của hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x}\) là \(T = \left( {0; + \infty } \right)\).
Với a là số thực dương tùy ý, \(\ln \left( {5a} \right) + \ln \left( {\frac{3}{a}} \right)\) bằng:
\(\frac{{\ln \left( {5a} \right)}}{{\ln \left( {3a} \right)}}\).
\(\ln 15\).
\(\ln \frac{5}{3}\).
\(\frac{{\ln 5}}{{\ln 3}}\)
\(\ln \left( {5a} \right) + \ln \left( {\frac{3}{a}} \right) = \ln \left( {5a.\frac{3}{a}} \right) = \ln 15\).
Người ta nuôi cấy một loại vi khuẩn \(V\)trong phòng thí nghiệm. Nếu số vi khuẩn ban đầu là \({N_0}\),tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là \(r\) thì sau \(t\) giờ số vi khuẩn \(N(t)\) nuôi cấy được ước tính theo công thức \(N(t) = {N_0}.{e^{rt}}\). Ban đầu có \(300\) con vi khuẩn và sau \(4\)giờ người ta thấy số lượng vi khuẩn đã tăng gấp đôi. Số giờ gần nhất để số lượng vi khuẩn thu được là \(9000\) con là
\(19\).
\(20\).
\(22\).
\(21\).
Áp dụng công thức \(N(t) = {N_0}.{e^{rt}}\) ta có \(600 = 300.{e^{r.4}}\) \( \Leftrightarrow 2 = {e^{4r}} \Leftrightarrow 4r = \ln 2 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 2}}{4}\)
Để số lượng vi khuẩn thu được là \(9000\) con thì :
\(300.{e^{\frac{{\ln 2}}{4}.t}} = 9000 \Leftrightarrow {e^{\frac{{\ln 2}}{4}.t}} = 30 \Leftrightarrow \frac{{\ln 2}}{4}.t = \ln 30 \Leftrightarrow t \approx 19,628\)
Vào ngày \(15\) hàng tháng, ông An đều đến gửi tiết kiệm tại ngân hàng với số tiền \(5\) triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi là \(0,6\% /\) tháng. Hỏi sau đúng ba năm ( kể từ ngày bắt đầu gửi), ông An thu được số tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu ( làm tròn đến nghìn đồng)?
\(195251000\) ( đồng).
\(195252000\) ( đồng).
\(201450000\) ( đồng).
\(201453000\) ( đồng).
Chọn D
Đặt \(A = 5\) triệu, \(r = 0,6\% \).
Sau một tháng ông An có số tiền cả vốn và lãi là \(A\left( {1 + r} \right)\), tiếp tục gửi vào ngân hàng \(A\) đồng nên số tiền trong ngân hàng lúc này là \({T_1} = A\left( {1 + r} \right) + A = A\left[ {\left( {1 + r} \right) + 1} \right]\).
Sau hai tháng ông An có số tiền cả vốn và lãi là \({T_2} = {T_1}\left( {1 + r} \right) + A = A\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right) + 1} \right]\).
….
Sau \(36\) tháng ông An có số tiền cả vốn và lãi là \({T_{36}} = A\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^{36}} + {{\left( {1 + r} \right)}^{35}} + ... + \left( {1 + r} \right) + 1} \right] - A = A.\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^{37}} - 1}}{r} - A \approx 201453000\) đồng.
Với mọi số thực dương \(a,\,b,\,x,\,y\) và \(a,\,b \ne 1\),
Các mệnh đề sau đúng/sai
\({\log _a}\frac{1}{x} = {\log _a}x\).
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _b}a.{\log _a}x = {\log _b}x\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Với mọi số thực dương \(a,\,b,\,x,\,y\) và \(a,\,b \ne 1\). Ta có: \({\log _a}\frac{1}{x} = {\log _a}{x^{ - 1}}\).
Các mệnh đề sau đúng/sai
\[{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\sqrt 2 }} > {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{\sqrt 2 }}\].
\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 3}}\).
\({2^{ - \sqrt 3 }} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\sqrt 3 }}\).
\({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 50}} < {\left( {\sqrt 2 } \right)^{200}}\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có:
\[\left( {\frac{2}{5}} \right) < \left( {\frac{3}{7}} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{\sqrt 2 }} < {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{\sqrt 2 }}\].
\(\frac{2}{3} > \frac{1}{3} \Rightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 3}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 3}}\).
\[2 < 4 \Rightarrow {2^{ - \sqrt 3 }} > {4^{ - \sqrt 3 }} \Rightarrow {2^{ - \sqrt 3 }} > {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\sqrt 3 }}\].
\({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 50}} < {\left( {\sqrt 2 } \right)^{200}} \Leftrightarrow {\left( {{2^{ - 2}}} \right)^{ - 50}} < {\left( {{2^{\frac{1}{2}}}} \right)^{200}} \Leftrightarrow {2^{100}} < {2^{100}}\), sai.
Cho \[a,b,c\] là ba số thực dương và khác 1. Các hàm số \[y = {\log _a}x\], \[y = {\log _b}x\], \[y = {\log _c}x\] có đồ thị như hình vẽ
![Cho \[a,b,c\] là ba số thực dương và khác 1. Các hàm số \[y = {\log _a}x\], \[y = {\log _b}x\], (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid23-1771164589.png)
Các mệnh đề sau đúng/sai
\[a > c > b\].
\[a > b > c\].
\[c > b > a\].
\[b > c > a\].
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
![Cho \[a,b,c\] là ba số thực dương và khác 1. Các hàm số \[y = {\log _a}x\], \[y = {\log _b}x\], (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid24-1771164623.png)
Kẻ đường thẳng \[(d):y = 1\]. Hoành độ giao điểm của \[(d)\] với các đồ thị hàm số \[y = {\log _a}x\],\[y = {\log _b}x\], \[y = {\log _c}x\] lần lượt là \[a,b,c\]. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \[a > c > b\].
Cho \(a\)là số thực dương bất kỳ.
Các mệnh đề sau đúng/sai
\({\log _5}\left( {5a} \right) = 1 + {\log _5}a\).
\({\log _5}\left( {5a} \right) = 5 + {\log _5}a\).
\({\log _5}\left( {5a} \right) = 1 + a\).
\({\log _5}\left( {5a} \right) = {\log _5}5.\log a\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
\({\log _5}\left( {5a} \right) = {\log _5}5 + {\log _5}a = 1 + {\log _5}a\).
Cho số thực dương \(a\) khác \(1\), biểu thức \(D = {\log _{{a^3}}}a\) có giá trị bằng bao nhiêu?
Ta có \(D = {\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\)
Nếu \[{9^x} - {12^2} = 0\] thì biểu thức \[P = \frac{1}{{{3^{ - x - 1}}}} - {8.9^{\frac{{x - 1}}{2}}} + 19\]có giá trị bằng
Ta có \[{9^x} - {12^2} = 0 \Leftrightarrow {3^x} = 12\]
\[P = \frac{1}{{{3^{ - x - 1}}}} - {8.9^{\frac{{x - 1}}{2}}} + 19 = {3^{x + 1}} - {8.3^{x - 1}} + 19 = 23\]
Viết công thức biểu thị \(y\) theo \(x\), biết \(5{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}y = 3 + \frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x\).
Ta có \(5{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}y = 3 + \frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x \Leftrightarrow 10{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}y = 6 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x\)
\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}{y^{10}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}{3^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x \Leftrightarrow {y^{10}} = {3^6}x \Leftrightarrow y = \sqrt[{10}]{{{3^6}x}}\).
Ông \(A\) gửi tiền tiết kiệm với lãi suất \(8,1\% \)/ năm và lãi suất hằng năm được nhập vào vốn (hình thức lãi kép). Hỏi sau bao nhiêu năm Ông \(A\) được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?
Giả sử sau \(n\) năm, ông \(A\) được gấp đôi số tiền \(T\) ban đầu, ta có
\(2T = T{\left( {1,081} \right)^n} \Leftrightarrow n = {\log _{1,081}}2 \approx 8,9\).
Vậy số năm cần gửi là \(9\).
Ông C gửi 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \[7\% \] năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo và từ năm thứ 2 trở đi, mỗi năm ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 20 triệu đồng. Hỏi sau 18 năm số tiền ông C nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Giả định trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông C không rút tiền ra (kết quả được làm tròn đến hàng nghìn).
Gọi \[a = 200\] triệu; \[b = 20\]triệu; \[\alpha = 7\% \].
Số tiền sau 1 năm: \[a\left( {1 + \alpha } \right)\].
Số tiền sau 2 năm: \[a{\left( {1 + \alpha } \right)^2} + b\left( {1 + \alpha } \right)\].
Số tiền sau 3 năm: \[a{\left( {1 + \alpha } \right)^3} + b{\left( {1 + \alpha } \right)^2} + b\left( {1 + \alpha } \right)\].
……………………
Số tiền sau 18 năm: \[a{\left( {1 + \alpha } \right)^{18}} + b\left[ {{{\left( {1 + \alpha } \right)}^{17}} + {{\left( {1 + \alpha } \right)}^{16}} + ... + \left( {1 + \alpha } \right)} \right]\]
\[ = a{\left( {1 + \alpha } \right)^{18}} + b\left[ {\left( {1 + \alpha } \right).\frac{{{{\left( {1 + \alpha } \right)}^{17}} - 1}}{\alpha }} \right]\]
Vậy số tiền ông C nhận sau 18 năm là: \[1.335.967.000\] VNĐ.
Giá trị còn lại của một chiếc xe mua mới theo thời gian \(t\) (được tính từ thời điểm mua xe) được xác định bởi công thức: \(V\left( t \right) = 1,5{e^{ - 0,15t}}\), trong đó \(V\left( t \right)\) được tính bằng tỷ đồng và \(t\) tính bằng năm. Sau ít nhất bao nhiêu năm kể từ thời điểm mua xe giá trị chiếc xe đó còn lại dưới \(500\) triệu đồng?
Ta có: \(V\left( t \right) = 1,5{e^{ - 0,15t}}\)
Nên khi giá xe còn lại dưới \(500\) triệu đồng (tức \(0,5\) tỷ đồng) thì ta có:
\(0.5 \ge 1,5{e^{ - 0,15t}} \Leftrightarrow t \ge 7,32\)
Vậy sau ít nhất \(8\)năm kể từ thời điểm mua xe giá trị chiếc xe đó sẽ còn lại dưới \(500\) triệu đồng.
