Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 6 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Cho hai số thực dương \(x,y\) và hai số thực \(\alpha ,\beta \) tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai?
\({x^\alpha }.{x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\).
\({x^\alpha }.{y^\beta } = {\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }}\).
\({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \beta }}\).
\({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha }.{y^\alpha }\).
Không có công thức \({x^\alpha }.{y^\beta } = {\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }}\).
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } :{x^{\frac{5}{8}}}\,\,\,\left( {x > 0} \right)\) ta được
\(\sqrt[4]{x}\).
\(\sqrt[{}]{x}\).
\(\sqrt[3]{x}\).
\(\sqrt[5]{x}\).
\(\frac{{\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } }}{{{x^{\frac{5}{8}}}}}\,\,\, = \frac{{\sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{1}{2}}}} } }}{{{x^{\frac{5}{8}}}}} = \frac{{\sqrt {x.{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} }}{{{x^{\frac{5}{8}}}}} = \frac{{\sqrt {x.{x^{\frac{3}{4}}}} }}{{{x^{\frac{5}{8}}}}} = \frac{{{{\left( {{x^{\frac{7}{4}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{5}{8}}}}} = \frac{{{x^{\frac{7}{8}}}}}{{{x^{\frac{5}{8}}}}} = {x^{\frac{2}{8}}} = \sqrt[4]{x}\).
Cho hai số thực dương \(a,\,b\) với \(a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + {\log _a}b\).
\({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + 2{\log _a}b\).
\({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{3}{2} + {\log _a}b\).
\({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}{\log _a}b\).
Ta có: \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = {\log _a}\left( {{a^3}} \right) + {\log _a}\left( {{b^2}} \right) = 3 + 2{\log _a}b\).
Cho bốn số thực dương \(a,\,b,\,x,\,y\) với \(a,b \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\).
\({\log _a}b \cdot {\log _b}x = {\log _a}x\).
\({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\): sai vì \({\log _a}\frac{1}{x} = {\log _a}{x^{ - 1}} = - {\log _a}x\).
Đặt \({\log _2}5 = a,\,{\log _3}5 = b\). Khi đó \({\log _6}5\) tính theo \(a\) và \(b\) bằng
\(\frac{{ab}}{{a + b}}\).
\(\frac{1}{{a + b}}\).
\({a^2} + {b^2}\).
\(a + b\).
Ta có: \({\log _2}3 = {\log _2}5.{\log _5}3 = {\log _2}5.\frac{1}{{{{\log }_3}5}} = \frac{a}{b}\).
\({\log _6}5 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{a}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{a}{{1 + \frac{a}{b}}} = \frac{{ab}}{{a + b}}\).
Cho hàm số \(y = {2^x}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị của hàm số là \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Đồ thị của hàm số cắt trục \(Ox\) tại đúng một điểm.
Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
Phương án \(C\) sai vì đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) luôn nằm phía trên trục \(Ox\).
Với α là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?
Cho \(a\) là số thực dương khác \(1\). Khi đó \(\sqrt[4]{{{a^{\frac{2}{3}}}}}\) bằng
\(\sqrt[3]{{{a^2}}}\).
\({a^{\frac{8}{3}}}\).
\({a^{\frac{3}{8}}}\).
\(\sqrt[6]{a}\).
Ta có: \(\sqrt[4]{{{a^{\frac{2}{3}}}}} = {\left( {{a^{\frac{2}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{2}{3}.\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{a}\)
Điều kiện xác định của \({x^{ - 3}}\) là:
\(x \in \mathbb{R}\).
\(x \ge 0\).
\(x \ne 0\).
\(x > 0\).
Chọn C
Với các số thực dương a,b bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng \({100.10^6}\) đồng kì hạn \(12\) tháng, với lãi suất không đổi là \(6\% \) một năm. Khi đó sau \(n\) năm gửi thì tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức sau: \(A = {100.10^6}{\left( {1 + 0,06} \right)^n}\) đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được là không dưới \({150.10^6}\)đồng?
\(7\).
\(8\).
\(9\).
\(10\).
Theo giả thiết ta có \[{100.10^6}{\left( {1 + 0,06} \right)^n} \ge {150.10^6}\]\( \Rightarrow n \ge {\log _{1,06}}1,5 \approx 6,96\).
Vậy sau ít nhất 7 năm thì bác An nhận được số tiền ít nhất là \({150.10^6}\) đồng
Một người gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất \(7,2\,{\rm{\% }}\)/năm với hình thức lãi kép. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền lãi ít nhất bằng số tiền gửi ban đầu?
\(10\) năm.
\(11\) năm.
\(12\)năm.
\(13\) năm.
Gọi số tiền ban đầu là \(P\). Số tiền lãi nhận được sau \(n\) năm là \(P{\left( {1 + 0,072} \right)^n} - P\).
Ta cần tìm \(n\) nguyên dương nhỏ nhất để \(P{(1 + 0,072)^n} - P \ge P \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,072}}2 \approx 9,97\).
Vậy \(n = 10\).
Cho biểu thức \(P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}\).
Các mệnh đề sau đúng/sai
\(P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{8}}}\).
\(P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{18}}\).
\(P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{18}}}}\).
\(P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}\).
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \[P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{18}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}.\]
Cho ba số thực dương \(a,b,c\) khác \(1\). Đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}\) được cho trong hình vẽ dưới
Các mệnh đề sau đúng/sai
\(b < c < a\).
\(c < a < b\).
\(a < b < c\).
\(a < c < b\).
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Đường thẳng \(x = 1\)cắt đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}\) tại các điểm có tung độ lần lượt là \(y = a,y = b,y = c\) như hình vẽ:
Từ đồ thị kết luận \(a < c < b\).
Các mệnh đề sau đúng/sai
\[{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2024}} > {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2023}}\].
\[{2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{^{\sqrt 3 }}}\].
\[{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2023}} > {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2024}}\].
\[{\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2024}} < {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2023}}\].
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \[\sqrt 3 - 1 < 1 \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2024}} < {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2023}}\].
Biết \({\log _2}x = 6{\log _4}a - 3{\log _2}\sqrt[3]{b} - {\log _{\frac{1}{2}}}c\), với \(a,b,c\)là các số thực dương bất kì.
Các mệnh đề sau đúng/sai
\(x = \frac{{{a^3}c}}{b}\).
\(x = \frac{{{a^3}}}{{bc}}\).
\(x = \frac{{{a^3}c}}{{{b^2}}}\).
\({a^3} - b + c\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \[{\log _2}x = 6{\log _4}a - 3{\log _2}\sqrt[3]{b} - {\log _{\frac{1}{2}}}c\, = {\log _2}{a^3} - {\log _2}b + {\log _2}c = {\log _2}\left( {\frac{{{a^3}c}}{b}} \right)\]
\[ \Rightarrow x = \frac{{{a^3}c}}{b}.\]
Cho \(a > 0,a \ne 1\) và \({a^{\frac{3}{5}}} = b\). Tính: \({\log _a}b;{\log _a}\left( {{a^2}{b^5}} \right);{\log _{\sqrt[5]{a}}}\left( {\frac{a}{b}} \right)\).
\(lo{g_a}b = \frac{3}{5}\)
\(lo{g_a}{a^2}{b^5} = lo{g_a}{a^2} + lo{g_a}{b^5} = 2lo{g_a}a + 5lo{g_a}b = 2 + 5.\frac{3}{5} = 5\)
\(lo{g_{\sqrt[5]{a}}}\left( {\frac{a}{b}} \right) = lo{g_{\sqrt[5]{a}}}a - lo{g_{\sqrt[5]{a}}}b = 5lo{g_a}a + 5lo{g_a}b = 5 - 5.\frac{3}{5} = 2\)
Tính giá trị của các biểu thức sau: \(A = 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}12 + 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}15 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}150\).
Ta có \(A = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{12^2} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{5^3} - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}15 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}150\) \( = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{{12}^2}{{.5}^3}}}{{15.150}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{{\left( {{2^2}.3} \right)}^2}{{.5}^3}}}{{\left( {3.5} \right)\left( {{{2.3.5}^2}} \right)}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{2^3} = 3\).
Biết rằng \({7^x} = 5\) và \({5^y} = 7\). Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của \(xy\)
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{7^x} = 5\\{5^y} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}5\\y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}7\end{array} \right. \Rightarrow xy = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}5.{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}7 = 1\].
Năm \[2020\]một hãng xe niêm yết giá bán loại xe X là \(750.000.000\) đồng và dự định trong \(10\) năm tiếp theo, mỗi năm giảm \(2\% \) giá bán so với giá bán của năm liền trước. Theo dự định đó năm \(2025\) hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu ( kết quả làm tròn đến hàng nghìn )
Giá xe năm \[2020\] là \(A\)
Giá xe năm \[2021\] là \({A_1} = A - A.r = A\left( {1 - r} \right)\).
Giá xe năm \[2022\] là \({A_2} = {A_1} - {A_1}.r = A{\left( {1 - r} \right)^2}\).
Giá xe năm \[2023\] là \({A_3} = {A_2} - {A_2}.r = A{\left( {1 - r} \right)^3}\).
Giá xe năm \[2024\] là \({A_4} = {A_3} - {A_3}.r = A{\left( {1 - r} \right)^4}\).
Giá xe năm \[2025\] là \({A_5} = {A_4} - {A_4}.r = A{\left( {1 - r} \right)^5} = 750.000.000{\left( {1 - \frac{2}{{100}}} \right)^5} \approx 677.941.000\) đồng.
Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi \({N_0}\) là số lượng vi khuẩn ban đầu và \(N\left( t \right)\) là số lượng vi khuẩn sau \(t\) giờ thì ta có \(N\left( t \right) = {N_0}{e^{rt}}\), trong đó \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ. Giả sử ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con. Tính số lượng vi khuẩn sau 3 giờ .
Ban đầu có \(500\) con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên \(800\) con nên ta có
\(800 = 500.{e^r} \Leftrightarrow {e^r} = 1,6 \Leftrightarrow r = \ln 1,6\)
Số lượng vi khuẩn tăng lên sau 3 giờ là : \(N(3) = 500.{e^{3.\ln 1,6}} = 2048\) (con)
Độ \(PH\) của một dung dịch được tính theo công thức \(PH = - \log \left[ {{H^ + }} \right]\) trong đó \(\left[ {{H^ + }} \right]\) là nồng độ \({H^ + }\) của dung dịch đó tính bằng mol/L. Nồng độ \({H^ + }\) trong dung dịch cho biết độ acid của dung dịch đó. Dung dịch acid A có độ pH bằng 1,9 ; Biết nồng độ \({H^ + }\) trong dung dịch acid A cao hơn dung dịch acid B là \({10^{0,6}}\) lần .Tính nồng độ \({H^ + }\) trong dung dịch acid B.
Dung acid A có có nồng độ nồng độ \({H^ + }\) là: \({\left[ {{H^ + }} \right]_A} = {10^{ - 1,9}}\)
Dung dịch acid B có có nồng độ nồng độ \({H^ + }\) là: \({\left[ {{H^ + }} \right]_A} = {10^{0,6}}.{\left[ {{H^ + }} \right]_B} \Leftrightarrow {\left[ {{H^ + }} \right]_B} = \frac{{{{10}^{ - 1,9}}}}{{{{10}^{0,6}}}} = {10^{ - 2,5}}\)
