Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABD\) và \[\Delta EBD\] có \(BE = BA\) (gt); \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (vì \(BD\) là tia phân giác \(\widehat {ABE}\)); cạnh \(BD\) chung. Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (c.g.c). Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ \) nên \(DE \bot BC\). b) Xét tam giác \[ECD\] vuông tại \[E\] nên cạnh huyền \[DC > DE\]. Mà \[DE = AD\] (vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\)) nên \(AD < DC.\) c) Ta có \(BF = BC\) mà \(BE = BA\) nên \(AF = EC\). Xét \[\Delta ADF\] và \[\Delta EDC\] có:

\(AF = EC\) (cmt); \[\widehat {DAF} = \widehat {DEC} = 90^\circ \]; \(AD = DE\) (vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\));

Do đó \[\Delta ADF = \Delta EDC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

a) • Xét \(\Delta AQE\) và \(\Delta BCE\) có:

\(AE = BE\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AB\))

\[\widehat {AEQ} = \widehat {BEP}\] (hai góc đối đỉnh)

\(QE = CE\) (gt)

Do đó \(\Delta AQE = \Delta BCE\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).

Suy ra \[AQ = BC\] (hai cạnh tương ứng)     (1)

• Xét \(\Delta APF\) và \(\Delta CBF\) có

\(PF = BF\) (gt)

\[\widehat {AFP} = \widehat {BFC}\] (hai góc đối đỉnh)

\(AE = BE\) (vì \(F\) là trung điểm của \(AC\))

Do đó \[\Delta APF = \Delta CBF\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Suy ra \[AP = BC\] (hai cạnh tương ứng)                (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[AP = AQ\].

b) Ta có \(\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}\) (các cặp góc tương ứng của tam giác bằng nhau)

Xét tam giác \(ABC\) có \[\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \[\widehat {QAB} + \widehat {BAC} + \widehat {PAC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \].

Do đó, ba điểm \(P,\,\,A\,,\,\,Q\) thẳng hàng.

c) Ta có \(\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}\) (cmt)

Suy ra \(BQ\,{\rm{//}}\,AC\) và \(CP\,{\rm{//}}\,AB\) (các cặp góc so le trong).

d) Ba đường thẳng \(AR\,,\,\,BP\,,\,\,CQ\) là ba đường trung tuyến của tam giác \[QRP\] nên đồng quy.

a) Xét \[\Delta AMB\] và \[\Delta CMD\] có:

\[MD = MB\] (giả thiết)

\[\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\] (2 góc đối đỉnh)

\[MA = MC\] (giả thiết)

Suy ra \[\Delta AMB = \Delta CMD\] (c.g.c)

b) Xét \[\Delta AMD\] và \[\Delta CMB\] có: \[MD = MB\] (giả thiết), \[\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\] (đối đỉnh), \[MA = MC\] (giả thiết)

Vậy \[\Delta AMD = \Delta CMB\] (c.g.c) suy ra \[\widehat {ADM} = \widehat {CBM}\] (hai góc tương ứng), mà hai góc này lại ở vị trí sole trong nên \[AD\,{\rm{//}}\,BC\] (dấu hiệu nhận biết)

c) Ta có: \[\Delta AMB = \Delta CMD\] (chứng minh trên) suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {MCD}\] (hai góc tương ứng) mà hai góc này lại ở vị trí sole trong nên \[AB\,{\rm{//}}\,\,CD\](1)

Ta lại có: \[MH \bot AB\](giả thiết) (2). Từ (1) và (2) suy ra \[MH \bot CD\] và \[MK \bot DC\] (giả thiết) suy ra 3 điểm \[H,M,K\] thẳng hàng (định lý)

Xét \[\Delta AMH\] và \[\Delta CMK\] có:

\[\widehat {AHM} = \widehat {MKC} = 90^\circ \] (giả thiết)

\[AM = MC\] (giả thiết)

\[\widehat {AMH} = \widehat {CMK}\] (đối đỉnh)

Vậy \[\Delta AMH = \Delta CMK\] (ch – gn) suy ra \[AM = MC\] hay \[M\] là trung điểm \[HK\].

a) Chứng minh \(\Delta BDF = \Delta EDC\).

Vì \(AD\) là phân giác \(\widehat {BAC}\)nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta ADC\)có:

\(AF = AC\,;\,\,\widehat {FAD} = \widehat {CAD}\,;\,\,AD\) chung.

Do đó\(\Delta ADF = \Delta ADC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AFD} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng) và \(FD = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Vì \(AF = AC\,;\,\,AB = AE\) suy ra \(BF = EC\)

Xét tam giác \(BDF\) và tam giác \(EDC\) có:

\(BF = EC\,;\,\,\,\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\,;\,\,\,FD = CD\).

Do đó\(\Delta BDF = \Delta EDC\) (c.g.c)

b) Theo câu a) \(\Delta BDF = \Delta EDC\) suy ra \(\widehat {BDF} = \widehat {ECD}\).

Mà \(\widehat {BDE} + \widehat {EDC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên\(\widehat {BDE} + \widehat {FDB} = 180^\circ \), do đó \(\widehat {FDE} = 180^\circ \).

Suy ra ba điểm \(F,\,D,\,E\) thẳng hàng.

c) Gọi \(G,\,H\) theo thứ tự là giao điểm của \(AD\) và \(BE,\,CF\).

Xét tam giác \(ABG\) và \(AEG\) có:

\(AB = AE\,;\,\,\widehat {BAG} = \widehat {EAG}\,;\,\,AG\) chung.

Suy ra \(\Delta ABG = \Delta AEG\) (c.g.c)

Do đó, \(\widehat {AGB} = \widehat {AGE}\) (hai góc tương ứng) và \(GB = GE\) (hai cạnh tương ứng) (1)

Mà \(\widehat {AGB} + \widehat {AGE} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {AGB} = \widehat {AGE} = 90^\circ \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\) là đường trung trực \(BE\).

Chứng minh tương tự ta có \(AD\) là đường trung trực \(CF\).

a) Vì \(CD\) là phân giác \(\widehat {BCA}\) suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\).

Xét \(\Delta ACD\)và \(\Delta ECD\) có:

\(AC = AF\,;\,\,\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\,;\,\,CD\) chung.

Do đó\(\Delta ACD = \Delta ECD\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {CED} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(DE \bot BC\).

b) Vì \(AM\parallel CD\) suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {DCA}\) (hai góc so le trong)

Vì \(CM \bot CA\) nên \(\widehat {MCA} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta CAD\) và \(\Delta ACM\) có:

\(\widehat {DAC} = \widehat {MCA} = 90^\circ \,;\,\,CA\) chung; \(\widehat {DCA} = \widehat {MAC}\).

Do đó\(\Delta CAD = \Delta ACM\) (g.c.g).

Suy ra (hai cạnh tương ứng).

c) Xét tam giác \(NBC\) và tam giác \(NKC\) có:

\(\widehat {BNC} = \widehat {KNC} = 90^\circ \,;\,\,NC\) chung; \(\widehat {BCN} = \widehat {CKN}\)

Suy ra \(\Delta NBC = \Delta NKC\,\)(g.c.g)

Do đó\(\widehat {NBC} = \widehat {NKC}\,;\,\,NB = NK\).

Xét tam giác \(NBD\) và tam giác \(NKD\) có:

\(NB = ND\,;\,\,\widehat {BND} = \widehat {KND}\,;\,\,ND\) chung.

Suy ra \(\Delta NBD = \Delta NKD\) (c.g.c).

Do đó, \(\widehat {NBD} = \widehat {NKD}\) (hai góc tương ứng)

d) Xét tam giác \(BKE\) và tam giác \(BKC\) có:

\[\widehat {BKE} = \widehat {BKA}\,;\,\,BK\] chung; \[\widehat {BKE} = \widehat {KBA}\].

Do đó\(\Delta BKE = \Delta BKC\) (g.c.g)

Suy ra \(\widehat {BEK} = \widehat {KAB} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(KE \bot BC\).

Mà \(DE \bot AC\).

Suy ra ba điểm \(K,\,D,\,E\) thẳng hàng.

a) Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta KCH\) có

\(AH = HK\) (\(H\) là trung điểm của \(AK\))

\(\widehat {AHC} = \widehat {CHK}\) (\(AH \bot BC\))

\(CH\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta AHC = \Delta KHC\) (cgc).

b) Vì \[\Delta AHC = \Delta KHC\] (chứng minh trên) do đó \[AC = CK\] (2 cạnh tương ứng)                            (1)

Xét \[\Delta AEC\] và \[\Delta DEB\] ta có :

\[AE = ED\] (\[E\] là trung điểm của \[AD\])

\[BE = CE\] (\[E\] là trung điểm của \[BE\]) \[\widehat {AEC} = \widehat {BEC}\] (đối đỉnh)

Do đó \[\Delta AEC = \Delta DEB\] (c.g.c), suy ra \[AC = DB\] (2 cạnh tương ứng)                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[BD = AC = CK\].

c) Xét \[\Delta AHC\] và \[\Delta KHE\] ta có \[AH = KH\], \[\widehat {AHE} = \widehat {KHE}\], \[HE\] là cạnh chung

Suy ra \[\Delta AHC = \Delta KHE\] (c.g.c) do đó \[\widehat {AEH} = \widehat {KEH}\] (2 góc tương ứng)

Suy ra \[EH\] là tia phân giác \[AEK\].

Vì \[\Delta AHE = \Delta KHE\] nên \[AE = KE\] mà \[AE = ED\]

Suy ra \[KE = ED\] do đó \[\Delta KED\]cân tại \[E\] nên \[\widehat {EKD} = \widehat {EDK}\].

\[\widehat {EDK} + \widehat {KED} = 90^\circ \] nên \[\widehat {EKD} = \frac{{180^\circ - \widehat {KED}}}{2}\]

Lại có \[\widehat {AKE} + \widehat {KED} = 180^\circ \] suy ra \[\widehat {AKE} = 180^\circ - \widehat {KED}\].

\[\widehat {AEH} + \widehat {HEK} = 180^\circ - \widehat {KED}\]

\[\widehat {HEK} = 180^\circ - \widehat {KED}\]

\[\widehat {HEK} = \frac{{180^\circ - \widehat {KED}}}{2}\]                         (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[\widehat {HEK} = \widehat {ABC}\] mà chúng là 2 góc so le trong

Do đó \[HE{\rm{//}}KD\] hay \[BC{\rm{//}}KD\].

d) Xét \[\Delta KEN\] và \[\Delta DEN\]\[CE = ED\] (\[EN\] chung) \[KN = ND\] (\[N\] là trung điểm của \[KD\])

Suy ra \[\Delta KEN = \Delta DEN\] (c.c.c) nên \[\widehat {ENK} = \widehat {END}\] mà \[\widehat {ENK} + \widehat {END} = 180^\circ \].

Suy ra \[\widehat {ENC} = \widehat {END} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \] hay \[EN \bot KD\].

\[\Delta KBE = \Delta DCE\] suy ra \[BK = CD\] (2 cạnh tương ứng)

\[\Delta BKD = \Delta CDK\] (c.c.c) do đó \[\widehat {BDK} = \widehat {CKD}\] (2 góc tương ứng)

Suy ra \[\Delta KID\] cân tại \[I\] nên \[IK = ID\] xét \[\Delta KIN = \Delta DIN\] do đó \[\widehat {INK} - \widehat {IND}\].

Mà \[\widehat {INK} + \widehat {IND} = 180^\circ \] suy ra \[\widehat {INK} = \widehat {IND} = 90^\circ \] hay \[IN \bot KD\].

a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\), có:

\[AM = MD\] (gt)

\[\widehat {BMA} = \widehat {CMD}\] (đối đỉnh)

\[BM = MC\] (gt)

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c)

b) Từ phần a, có \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c) nên \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong, suy ra \(AB\parallel DC\).

c) Xét \[\Delta ABC\] có \[AB = AC\] nên \[\Delta ABC\] cân tại \[A\].

Mà có \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[AM\] là đường cao của \[\Delta ABC\].

Suy ra \(AM \bot BC\).

d) Từ a) có \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c) nên \(AB = DC\) (2 cạnh tương ứng).

Mà \[AB = AC\] nên \[AC = CD\], suy ra \(\Delta CAD\) cân tại \(C\).

Suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {CAD} = 45^\circ \).

Có \(\widehat {BAC} = 2\widehat {CAD} = 90^\circ \) (\[AM\] vừa là đường cao, vừa là đường phân giác \(\widehat {BAC}\)).

Lúc này \[\Delta ABC\] là tam giác vuông cân tại \[A\].

Vậy để góc \(\widehat {ADC} = 45^\circ \) thì \[\Delta ABC\] là tam giác vuông cân tại \[A\].

a) Xét \[\Delta IHB\] và \[\Delta IKC\] có:

\[\widehat {IHB} = \widehat {IKC} = 90^\circ \]\[(IH \bot AB,IK \bot AC)\].

\[IB = IC\] (\[I\] là trung điểm của \[BC\])

\[\widehat {HBI} = \widehat {ICK}\] (\[\Delta ABC\] cân)

Suy ra \[\Delta IHB = \Delta IKC\] (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có: \[IH = IK\] (\[\Delta IHB = \Delta IKC\])

Xét \[\Delta HIE\] và \[\Delta KIF\] có:

\[\widehat {EHI} = \widehat {KFI}\,\,\,(IH \bot AB,IK \bot AC)\].

\[IH = IK\] (chứng minh trên)

\[\widehat {HIE} = \widehat {KIF}\] (đối đỉnh)

Suy ra \[\Delta HIE = \Delta KIF\] (g.c.g)

Do đó, \[HE = KF\] (2 cạnh tương ứng)

Ta có \[HE = HB + BE\], \[KF = KC + CF\].

Mà \[HE = KF,\]\[BH = KC\] nên\[BE = CF\].

Ta có: \[AE = AB + BE,\]\[AF = AC + CF\].

Mà \[AB = AC,BE = CF\] nên\[AE = AF\].

Do đó, \[\Delta AEF\] cân tại \[A\]

c) Ta có: \[AB = AH + HB,\]\[AC = AK + KC\].

Mà \[AB = AC,\,\,HB = KC\] nên\[AH = AK\].

Do đó \[\Delta AHK\] cân tại \[A.\]

Khi đó \[\widehat {AHK} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}\]\[\left( 1 \right)\].

Mà \[\Delta AEF\] cân tại \[A\] suy ra \[\widehat {AEF} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}\]\[\left( 2 \right)\].

Từ (1) và (2) ta có \[\widehat {AEF} = \widehat {AHK}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[HK\,{\rm{//}}\,EF\] (theo dấu hiệu nhận biết).

Vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAH}\) nên: \(\widehat {BAD} = \widehat {DAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAH}\).

Ta có: \(\widehat {DAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {BAD}\).

Xét \(\Delta AHD\) có: \(\widehat {ADC} = 90^\circ - \widehat {DAH} = 90^\circ - \widehat {BAD}\).

Do đó: \(\widehat {ADC} = \widehat {DAC}\).

Xét \(\Delta ACD\) có \(\widehat {ADC} = \widehat {DAC}\) (chứng minh trên)

Do đó: \(\Delta ADC\,\) cân tại \[C\].

b)

Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta AHD\) có:

\(\widehat {AID} = \widehat {AHD} = 90^\circ \).

\(\widehat {IAD} = \widehat {HAD}\) (chứng minh trên)

\(AD\) cạnh chung

Do đó: \(\Delta ADI\) = \(\Delta AHD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: \(DI = DH\) (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét \(\Delta BAE\) có \(BE = BA\) (giả thiết) suy ra \(\Delta BAE\) cân tại \[B\] do đó \(\widehat {BAE} = \widehat {BEA}\) (2 góc ở đáy) (1)

Ta có: \(EJ \bot AC\); \(BA \bot AC\) (\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) suy ra \(EJ\parallel BA\) nên \(\widehat {JEA} = \widehat {EAB}\) (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {JEA} = \widehat {BEA}\) hay \(\widehat {JEA} = \widehat {HEA}\).

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta AJE\) có:

\(\widehat {AHE} = \widehat {AJE} = 90^\circ \).

\(\widehat {JEA} = \widehat {HEA}\) (chứng minh trên)

\(AE\) cạnh chung

Do đó: \(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra: \(EH = EJ\) (2 cạnh tương ứng) (**)

Ta có: \(DE = DH + HE\), kết hợp với (*), (**) ta được: \(DE = DI + EJ\).

c) Vì \(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {HAE} = \widehat {JAE}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAH} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}.\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAE} = 45^\circ \).

d)

Ta có: \(\Delta ADI\) = \(\Delta ADH\) (câu b) nên \(AI = AH\).

\(\Delta AHE\) = \(\Delta AJE\) (câu b) nên\(AH = AJ\).

Do đó \(AI = AJ\).

Xét \(\Delta AIJ\) có \(\widehat {IAJ} = 90^\circ ;\,\,AI = AJ\) do đó \(\Delta AIJ\) vuông cân tại \(A\) suy ra \(\widehat {AIJ} = 45^\circ \) (3)

Xét \(\Delta AIK\) và \(\Delta AHK\) có:

\(AI = AH\).

\(\widehat {IAK} = \widehat {KAH}\).

\(AK\) :cạnh chung

Suy ra \(\Delta AIK\) = \(\Delta AHK\) (c.g.c)

Có \(\Delta AIK\) = \(\Delta AHK\) (chứng minh trên) nên \(\widehat {AIK} = \widehat {AHK}\) (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3), (4) ta có \(\widehat {AHK} = 45^\circ \).

Do đó: \(\widehat {AHK} = \frac{1}{2}\widehat {AHD}\) do đó \(HK\) là tia phân giác của \(\widehat {AHD}\).

Xét \(\Delta AHB\) có: \(HK\) là tia phân giác của \(\widehat {AHD}\);

\(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAH}\);

\(AD\) cắt \(HK\) tại \(D\).

Suy ra \[BK\] là tia phân giác của góc \(ABC\) nên\(\widehat {ABK} = \widehat {EBK}\).

Do đó \[BK\] là tia phân giác của góc \(ABC\).

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh: \(\Delta ABC = \Delta BAE\).

Vì \(D\) nằm trên đường trung trực của \(AB\)nên \(DA = DB\).

Suy ra \(\Delta DAB\) cân tại \(D\).

Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {DBA}\) hay \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta BAE\) có:

\(AB\)cạnh chung; \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\) (cmt); \(AE = BC\) (giả thiết)

Vậy \(\Delta ABC = \Delta BAE\)(c.g.c)

b) Chứng minh \(AB\,\parallel \,CE\).

Ta có \(AE = BC\) (giả thiết); \(DA = DB\) (chứng minh trên)

Suy ra \(DA - AE = DB - BC\) nên\(DE = DC\).

Do đó \(\Delta DEC\) cân tại \(D\).

Suy ra \(\widehat {DEC} = \widehat {DAB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {ADB}}}{2}\) hay\(\widehat {DEC}\) và \(\widehat {DAB}\) ở vị trí đồng vị

Do đó \(AB\,\parallel CE\).

c) Trung trực của cạnh \(AB,\,BE,\,AC\)cùng đi qua một điểm

Gọi \(H\) là giao điểm của trung trực \(AB\) và \(AC\).

Suy ra \(HA = HB = HC\).     \(\left( 1 \right)\).

Ta có \(H\) và \(D\) nằm trên trung trực của \(AB\) nên \(HD \bot AB\).

Mà \(AB\parallel CE\)nên\(HD \bot CE\).

Mặt khác \(\Delta DEC\) cân tại \(D\) có \(HD \bot CE\).

Suy ra \(HD\) là trung trực của \(CE\) hay \(HE = HC\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(HB = HE\) nên \(H\) thuộc trung trực của \(BE\).

Vậy trung trực của \(AB,\,\,\,BE,\,\,\,AC\)cùng đi qua một điểm \(H\).

a) Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta BEC\) ta có

\(BD = BC\) (giả thiết)

\(\widehat {DBE} = \widehat {CBE}\) (\(BE\) là phân giác của \(\widehat {DBC}\))

\(BE\) chung

Do đó \(\Delta BED = \Delta BEC\) (c.g.c)

Suy ra\(ED = EC\) (hai cạnh tương ứng)

b) Xét \[\Delta DEK\] và \[\Delta CEK\] có

\(ED = EC\) (chứng minh trên)

\[DK = CK\] (\(K\) là trung điểm của \(CD\))

\[EK\] chung

Do đó \[\Delta DEK = \Delta CEK\,\,\](c.c.c)

Suy ra \[\widehat {DKE} = \widehat {CKE}\] (hai góc tương ứng)

Ta có \[\widehat {DKE} + \widehat {CKE} = 180^\circ \] (hai góc kề bù) nên\[\widehat {DKE} = \widehat {CKE} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].

Suy ra \[EK \bot CD\]\[\,\,\,\left( 1 \right)\]

c) Xét \[\Delta DBK\] và \[\Delta CBK\] có

\(BD = BC\) (giả thiết)

\[DK = CK\] (\(K\) là trung điểm của \(CD\))

\[BK\] chung

Do đó \[\Delta DBK = \Delta CBK\,\,\](c.c.c)

Suy ra \[\widehat {DKB} = \widehat {CKB}\] (hai góc tương ứng)

Ta có \[\widehat {DKB} + \widehat {CKB} = 180^\circ \] (kề bù) nên\[\widehat {DKB} = \widehat {CKB} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].

Suy ra \[BK \bot CD\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\,\left( 1 \right)\] và \[\,\left( 2 \right)\] suy ra \(B,K,E\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Do mật khẩu là số có ba chữ số và các chữ số này đều là lẻ nên các số đó được tạo thành từ bộ số \(\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\).

Ta có \(5\) cách chọn chữ số hàng trăm;

          \(5\) cách chọn chữ số hàng chục;

          \(5\) cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Từ đó, số kết quả có thể xảy ra là: \(5.5.5 = 125\).

Mà Nam chỉ bấm 1 lần nên khả năng xảy ra của mỗi biến cố là như nhau.

Do đó, xác suất để Nam bấm 1 lần mở được cửa là: \(\frac{1}{{125}}\).

Hướng dẫn giải

Số các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một bông hoa trong hộp kín là:

\(10 + 20 + n = n + 30\).

Xác suất lấy được bông hoa màu xanh là \(\frac{n}{{n + 30}} = \frac{4}{{10}}\).

Do đó, \(10n = 4\left( {n + 30} \right)\) hay \(10n = 4n + 120\) do đó, \(6n = 120\) hay \(n = 20\).

Vậy có 20 bông hoa hồng xanh trong hộp.

Hướng dẫn giải

Số các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một quả bóng là: \(5 + 20 + n = n + 25\).

Xác suất để lấy được quả bóng màu cầu vồng là \(\frac{n}{{n + 25}} = \frac{3}{4}\).

Hay \(4n = 3\left( {n + 25} \right)\), do đó \(4n = 3n + 75\) hay \(n = 75\).

Vậy có 75 quả bóng cầu vồng trong hộp.

Hướng dẫn giải

- Tổng số quả cầu trong túi là: \(4 + 6 + 2 = 12\) (quả)

Do trong hộp có 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh và 2 quả cầu vàng có cùng chất liệu và kích cỡ, khi lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu trong hộp ta có:

- Số cách lấy hai quả cầu trong túi là: \(12\left( {12 - 1} \right):2 = 66\).

- Số kết quả thuận lợi để lấy được một quả cầu màu đỏ là 4.

- Số kết quả thuận lợi để lấy được một quả cầu màu vàng là 2.

Số kết quả thuận lợi để lấy được hai quả cầu có một quả màu đỏ và một quả màu vàng là: \(4 \cdot 2 = 8\).

Vậy xác suất để lấy được hai quả cầu trong đó có một quả màu đỏ và một quả màu vàng là: \(\frac{8}{{66}} = \frac{4}{{33}}.\)

Hướng dẫn giải

Số học sinh chỉ đăng kí thi môn Toán là: \(7 - 3 - 4 + 1 = 1\) (học sinh)

Số học sinh chỉ đăng kí thi môn Ngữ Văn là: \(5 - 3 - 2 + 1 = 1\) (học sinh).

Số học sinh chỉ đăng kí thi môn Toán và Ngữ văn mà không đăng kí thi môn Ngoại ngữ là:

\(3 - 1 = 2\) (học sinh)

Số học sinh đăng kí dự thi là: \(1 + 1 + 2 + 6 = 10\) (học sinh)

Do đó, xác suất của biến cố \(A\): “Học sinh được chọn đăng kí thi môn Toán” là: \(\frac{1}{{10}}\).