Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận
17 câu hỏi
Hướng dẫn giải
Xét số có hình thức \(\overline {0bcdef} \).
Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.
Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(1,2,5\) là: 4!
Vậy số các số được lập theo hình thức này là \(2.4! = 48\).
Xét số có hình thức \(\overline {abcdef} \) trong đó \(a\) được phép bằng 0.
Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.
Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(0,1,2,5\) là: 5!.
Số các số được lập theo hình thức này là \(2.5! = 240\).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(240 - 48 = 192\).
Hướng dẫn giải
a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối \((A,B,C)\) lần lượt là: \(C_{15}^5,C_{10}^5,C_5^5\).
Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 756756\) (cách).
b) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như lời giải sau:
Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) hoặc khối \(A\): có \(C_5^2C_{25}^{13}\) cách.
Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) và khối \(A\) không thỏa mãn yêu cầu.
- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,10\) học sinh khối \(B\) và 3 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3\) cách.
- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,9\) học sinh khối \(B\) và 4 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^9C_{15}^4\) cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_5^2C_{25}^{13} - C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3 - C_5^2C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950\) (cách).
Hướng dẫn giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là \(\overline {abcd} \).
Trường hợp 1: \(d = 0\).
Chọn \(d\): có 1 cách. Chọn \(a(a \ne 0)\): có 5 cách.
Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60\).
Trường hợp 2: \(d \in \{ 2;4\} \).
Chọn \(d\): có 2 cách. Chọn \(a(a \ne 0,a \ne d)\): có 4 cách.
Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96\).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(60 + 96 = 156\).
Hướng dẫn giải
Số tự nhiên thỏa mãn có dạng \(\overline {abcd0} \).
Chọn \(a(a \ne 0)\): có 9 cách. Chọn \(b(b \ne 0,b \ne a)\): có 8 cách.
Số cách chọn \(c,d\) lần lượt là 7,6.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: \(9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024\).
Hướng dẫn giải
Bước 1: Xếp 6 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang, có 6! cách.
Bước 2: giữa 6 bạn học sinh lớp 11 có 5 khoảng trống, chọn 3 khoảng trống trong 5 khoảng trống để xếp các bạn lớp 12, có \(A_5^3\) cách.
Theo quy tắc nhân có \(6!.A_5^3 = 43200\) cách xếp thỏa yêu cầu.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x \in \mathbb{N},x \ge 10\).
Ta có: \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{x!}}{{(x - 8)!}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{(x - 10)!}} + \frac{1}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{1}{{(x - 8)!}} \Leftrightarrow \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 8)!}}\\ \Leftrightarrow (x - 8)(x - 9) + (x - 8) = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11}\\{x = 5}\end{array}} \right.{\rm{ }}\end{array}\)
Kết hợp điều kiện ta có \(x = 11\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},n \ge 2\).
Ta có: \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{(n + 1)!}}{{2!(n - 1)!}} + 3 \cdot \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} - 20 < 0\)
\( \Leftrightarrow n(n + 1) + 3(n - 1)n - 20 < 0 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 10 < 0 \Leftrightarrow - 2 < n < \frac{5}{2}\).
Vì \(n \in \mathbb{N},n \ge 2 \Rightarrow n = 2\). Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \{ 2\} \).
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(Q = {(xy - 1)^5} = C_5^0{(xy)^5} + C_5^1{(xy)^4}( - 1) + C_5^2{(xy)^3}{( - 1)^2} + C_5^3{(xy)^2}{( - 1)^3} + C_5^4(xy){( - 1)^4} + C_5^5{( - 1)^5}\)
\( = {x^5}{y^5} - 5{x^4}{y^4} + 10{x^3}{y^3} - 10{x^2}{y^2} + 5xy - 1.\)
b) Số hạng có chứa \({x^2}{y^2}\) trong khai triển là \( - 10{x^2}{y^2}\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \({(1 - x)^6} = C_6^0 - C_6^1x + C_6^2{x^2} - C_6^3{x^3} + C_6^4{x^4} - C_6^5{x^5} + C_6^6{x^6}\left( * \right)\).
b) Thay \(x = 1\) vào \(\left( * \right)\), ta được: \({(1 - 1)^6} = C_6^0 - C_6^1 + C_6^2 - C_6^3 + C_6^4 - C_6^5 + C_6^6 = S\). Vậy \(S = 0\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 17 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = (x; - 4).\)
Ta có \(\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + ( - 5)( - 4) = 0 \Leftrightarrow x = - 40\).
b) Ta có:
\(|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 5)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{( - 4)}^2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16} = \frac{{\sqrt {101} }}{2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}\).
c) Ta có: \(\vec a,\vec b\) cùng phương khi và chỉ khi \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 6}} \Rightarrow \vec a,\vec b\) không cùng phương.
Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{1( - 2) + ( - 2)( - 6)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 45^\circ \).
b) \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m + n}}{1} = \frac{{ - m - 4n}}{{ - 2}}}\\{\sqrt {{{(m + n)}^2} + {{( - m - 4n)}^2}} = 3\sqrt 5 }\end{array}} \right.\)
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 2m - 2n = - m - 4n\\{(m + n)^2} + {(m + 4n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\45{n^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = - 2\\n = - 1\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\end{array}\]Hướng dẫn giải
a) Phương trình đường thẳng \[\Delta \] cần tìm là: \(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\).
b) Vectơ chỉ phương của \[\Delta \] là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right)\). Do đó \[\Delta \] có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\)
Phương trình đường thẳng \[\Delta \]: \(1\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y = 0\).
Hướng dẫn giải
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ \(A.\)
Đường cao kẻ từ \(A\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {CB} = \left( {5;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(5x + y - 7 = 0.\)
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ \(B.\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) thì \(M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
Đường trung tuyến kẻ từ \(B\) nhận \(\overrightarrow {MB} = \left( {\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) là vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (1;7)\) và đi qua \(B\left( {3;0} \right)\) nên có phương trình là: \(x + 7y - 3 = 0\).
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm \[M\] của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 5\\2x + 4y = 7\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{8}\\y = \frac{{31}}{{16}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\].
Phương trình tổng quát củađường thẳng \(d\) song song với \({d_3}\) qua \[M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\] là:
\(3\left( {x + \frac{3}{8}} \right) + 4\left( {y - \frac{{31}}{{16}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y - \frac{{53}}{8} = 0\)\( \Leftrightarrow 24x + 32y - 53 = 0\).
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: \(A\left( {x + 2} \right) + By = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).
Theo giả thiết, ta có:
\[{\rm{cos}}45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}} \Leftrightarrow \]\(2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2,B = 1\\A = 1,B = - 2\end{array} \right.\).
Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là \[2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0\] và \[1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\].
Hướng dẫn giải
a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 4t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.\) qua \(A\left( { - 5;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \[\vec u = \left( {4; - 3} \right)\] nên có vectơ pháp tuyến là \[\vec n = \left( {3;4} \right)\].
Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là \(3\left( {x + 5} \right) + 4\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\).
b) Vì M trên trục \(Ox\) nên \(M(a;0)\).
Điểm M cách đều hai đường thẳng: \({d_1}:3x + 2y - 6 = 0\) và \({d_3}:3x + 2y + 6 = 0\) nên
\[\begin{array}{l}d(M,{d_1}) = d(M,{d_2}) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a - 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{{\left| {3a + 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \left| {3a - 6} \right| = \left| {3a + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a - 6 = 3a + 6\\3a - 6 = - \left( {3a + 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 0.\end{array}\]
Vậy \(M(0;0)\).
Hướng dẫn giải
Tọa độ điểm \(A = AB \cap AC\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 2 = 0}\\{2x + 6y + 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{15}}{4}}\\{y = \frac{{ - 7}}{4}}\end{array} \Rightarrow A\left( {\frac{{15}}{4};\frac{{ - 7}}{4}} \right)} \right.} \right.\) \(B \in AB:y = - x + 2 \Rightarrow B\left( {{x_B}; - {x_B} + 2} \right);\) \(C \in AC:y = \frac{{ - 2x - 3}}{6} \Rightarrow C\left( {{x_c};\frac{{ - 2{x_c} - 3}}{6}} \right)\)
M là trung điểm của \(BC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_B} + {x_C} = 2{x_M}}\\{{y_B} + {y_C} = 2{y_M}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_B} + {x_C} = - 2}\\{ - {x_B} + 2 + \frac{{ - 2{x_C} - 3}}{6} = - 2}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = - 2\\6{x_B} + 2{x_C} = 21\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_B} = \frac{{25}}{4}\\{x_C} = \frac{{ - 33}}{4}\end{array}\end{array} \Rightarrow B\left( {\frac{{25}}{4};\frac{{ - 17}}{4}} \right),C\left( {\frac{{ - 33}}{4};\frac{9}{4}} \right).} \right.} \right.\)
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
