Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương V: Đại số tổ hợp

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\( \bullet \) Nếu chọn một cây bút chì thì sẽ có \[8\] cách.

\( \bullet \) Nếu chọn một cây bút bi thì sẽ có \[6\] cách.

\( \bullet \) Nếu chọn một cuốn tập thì sẽ có \[10\] cách.

Theo qui tắc cộng, ta có \[8 + 6 + 10 = 24\]cách chọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để chọn một bộ \(''\)quần-áo-cà vạt\(''\), ta có:

\( \bullet \) Có 4 cách chọn quần.

\( \bullet \) Có 6 cách chọn áo.

\( \bullet \) Có 3 cách chọn cà vạt.

Vậy theo qui tắc nhân ta có \(4 \times 6 \times 3 = 72\) cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi số cần tìm là \(\overline {abcd} \)

Có 4 cách chọn \(d\), 8 cách chọn \(a\), 8 cách chọn \(b\) và 7 cách chọn \(c\).

Vậy có tất cả : \(4.8.8.7 = 1792\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\}.\]

Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn \[ \Rightarrow \,\,d = \left\{ {0,2,4} \right\}.\]

TH1. Nếu \[d = 0,\] số cần tìm là \[\overline {abc0} .\] Khi đó:

\( \bullet \)\[a\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\] nên có \[5\] cách chọn.

\( \bullet \)\[b\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a} \right\}\] nên có \[4\] cách chọn.

\( \bullet \)\[c\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a,\,\,b} \right\}\] nên có \[3\] cách chọn.

Như vậy, ta có \[5 \times 4 \times 3 = 60\] số có dạng \[\overline {abc0} .\]

TH2. Nếu \[d = \left\{ {2,4} \right\} \Rightarrow \,\,d:\] có \[2\] cách chọn.

Khi đó \[a:\] có \[4\] cách chọn, \[b:\] có \[4\] cách chọn và \[c:\] có \[3\] cách chọn.

Như vậy, ta có \[2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96\] số cần tìm như trên.

Vậy có tất cả \[60 + 96 = 156\] số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập  Từ tập \(A\) có thể lập được 6 số có một chữ số.

Gọi số có hai chữ số có dạng \(\overline {ab} \) với \(a,b \in A\)

Trong đó:

\(a\) được chọn từ tập \(A\) nên có 6 cách chọn.

 \(b\) được chọn từ tập \(A\) nên có \(6\) cách chọn.

Như vậy, ta có \(6.6 = 36\) số có hai chữ số.

Vậy, từ \(A\) có thể lập được \(36 + 6 = 42\) số tự nhiên bé hơn 100.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi số tự nhiên có \[4\] chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số \[1\]; \[2\]; \[3\]; \[4\] là một hoán vị của \[4\] phần tử. Vậy số các số cần tìm là: \[4! = 24\] số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi số tự nhiên có \[5\] chữ số, các chữ số khác \[0\] và đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập \[5\] của \[9\] phần tử.

Vậy số các số tự nhiên thỏa đề bài là \(A_9^5\) số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số cách chọn \(5\) cầu thủ từ \(11\) cầu thủ trong một đội bóng để thực hiện đá \(5\) quả luân lưu \(11{\rm{ m}}\), theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập \(5\) của \(11\) phần tử nên số cách chọn là \(A_{11}^5\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi số cần tìm là \(\overline {abcde} ,\,a \ne 0\).

\( \bullet \) Chọn \(a\) có 9 cách.

\( \bullet \) Chọn \(b,\,c,\,d,\,e\) từ 9 số còn lại có \(A_9^4 = 3024\)cách.

Vậy có \(9 \times 3024 = 27216\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng trống và đưa 3 giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy tất cả có : \(6!.A_5^3 = 43200\)cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số cách chọn \(3\) người bất kì trong \(30\) là: \(C_{30}^3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chọn \[5\] học sinh trong lớp có \[41\] học sinh là số tập con có \[5\] phần tử chọn trong \[41\] phần tử nên số cách chọn là \[C_{41}^5\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số cách chọn \(3\) người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên là

\(C_{12}^1C_{11}^1C_{10}^1 = 1320\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số cách chọn \(3\) học sinh nữ là: \(C_{20}^3 = 1140\) cách.

Số cách chọn \(2\) bạn học sinh nam là: \(C_{15}^2 = 105\) cách.

Số cách chọn \(5\) bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(1140 \times 105 = 119700.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có các trường hợp sau:

TH1: Chọn được \(1\) nhà vật lý nam, hai nhà toán học nữ có \(C_4^1C_3^2 = 12\) cách chọn.

TH2: Chọn được \(1\) nhà vật lý nam, một nhà toán học nữ và một nhà toán học nam có \(C_4^1C_3^1C_5^1 = 60\) cách chọn.

TH3: Chọn được \(2\) nhà vật lý nam, một nhà toán học nữ có \(C_4^2C_3^1 = 18\) cách chọn.

Vậy, có \(12 + 60 + 18 = 90\) cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\[{\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5 = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\[{\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}\]\[ = 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có \[4 + 1 = 5\] số hạng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số hạng chứa \({x^2}{y^2}\) trong khai triển \({\left( {x + 2y} \right)^4}\) là \(6.{x^2}.{\left( {2y} \right)^2} = 24{x^2}{y^2}\).

Vậy hệ số của \({x^2}{y^2}\) trong khai triển của \({\left( {x + 2y} \right)^4}\) là \(24\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C 

Ta có: \[{\left( {\sqrt x + \frac{2}{x}} \right)^4} = {\left( {\sqrt x } \right)^4} + 4{\left( {\sqrt x } \right)^3}\left( {\frac{2}{x}} \right) + 6{\left( {\sqrt x } \right)^2}{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} + 4\left( {\sqrt x } \right){\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}\]

\[ = {x^2} + 8\sqrt x + 24\frac{1}{x} + 32\frac{{\sqrt x }}{{{x^3}}} + 16\frac{1}{{{x^4}}}\].

Hệ số của \(\sqrt x \) trong khai triển trên là 8.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Số cách chọn 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút bi là \(4.5 = 20\) cách.

b) Số cách chọn 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút máy là \(4.2 = 8\) cách.

c) Số cách chọn 1 chiếc bút bi và 1 chiếc bút máy là \(5.2 = 10\) cách.

d) Số cách chọn 2 chiếc bút khác loại với nhau từ hộp bút của Lan là \(20 + 8 + 10 = 38\) cách.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Số cách chọn ba bi khác màu là \(7.8.5 = 280\) cách.

b) Số cách chọn hai viên bi khác màu bi đỏ và bi xanh là \(7.8 = 56\) cách.

c) Số cách chọn hai viên khác màu bi đỏ và bi vàng là \(7.5 = 35\) cách.

d) Số cách chọn hai viên khác màu bi xanh và bi vàng là \(8.5 = 40\) cách.

Do đó cách chọn hai bi khác màu là \(56 + 35 + 40 = 131\) cách.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Gọi số cần lập là \(\overline {ab} ,\left( {a,b \in A} \right)\).

Ta có \(a\) có 5 cách chọn, \(b\) có 5 cách chọn.

Do đó lập được \(5.5 = 25\) số có hai chữ số.

b) Có \(A_5^3 = 60\) số có ba chữ số khác nhau được lập từ tập \(A\).

c) Gọi số cần lập là \(\overline {abc} ,\left( {a,b,c \in A} \right)\).

Có 2 cách chọn chữ số \(c\), có \(A_4^2\) cách chọn 2 chữ số \(a,b\).

Do đó có \(2.A_4^2 = 24\)số chẵn có ba chữ số được lập từ tập \(A\).

d) Gọi số cần lập là \(\overline {abc} ,\left( {a,b,c \in A} \right)\).

Có 3 cách chọn chữ số \(c\), có \(A_4^2\) cách chọn 2 chữ số \(a,b\).

Do đó có \(3.A_4^2 = 36\) số lẻ có ba chữ số được lập từ tập \(A\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Có \(C_9^4 = 126\)cách chọn 4 bông tùy ý.

b) Có \(C_5^2.C_4^2 = 60\)cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau.

c) Có \(C_5^3.C_4^1 = 40\)cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng.

d) Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu là: \(C_5^3.C_4^1 + C_5^2.C_4^2 + C_5^1.C_4^3 = 120\) (cách).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Có \(C_{19}^1 = 19\)cách chọn ra một quyển sách từ số sách đã cho.

b) Có \(C_5^1.C_6^1.C_8^1 = 240\)cách chọn ba quyển sách khác môn.

c) Có \(C_5^1.C_6^1 = 30\)cách chọn hai quyển gồm Tiếng Anh và Toán.

d) Số cách chọn hai quyển sách khác môn là \(C_5^1.C_6^1 + C_5^1.C_8^1 + C_6^1.C_8^1 = 118\) cách.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có \(9! = 362880\)cách xếp chỗ ngồi tùy ý.

b) Coi An và Bình là một nhóm, số cách xếp chỗ trong nhóm là \(2!\).

Số cách xếp nhóm An và Bình với 7 người còn lại là \(8!\) cách.

Do đó số cách xếp hàng thỏa mãn là \(2!8! = 80640\) cách.

c) Số cách xếp để An và Bình không ngồi cạnh nhau là \(9! - 2!8! = 282240\) cách.

d) Số cách xếp để An, Bình ngồi 2 đầu dãy ghế là \(2!.7! = 10080\) cách.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

\[{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.\frac{1}{x} + 6.{x^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4.x.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}\]\[ = {x^4} + 4{x^2} + 6 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}\].

a) Hệ số của \({x^2}\) là \(4\).

b) Số hạng không chứa \(x\) là 6.

c) Hệ số của \({x^4}\) là 1.

d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

Ta có \({\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5\) (1).

a) Hệ số của \({x^4}\) là \(C_5^1 = 5\).

b) Số hạng không chứa \(x\) là \(C_5^5 = 1\).

c) Thay \(x = 1\) vào (1) ta được \({2^5} = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\).

d) Thay \(x = 2\) vào (1) ta được \({3^5} = 32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

Ta có \(P\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^4} - {\left( {x - 1} \right)^4}\)

\( = {x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1 - \left( {{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1} \right)\)

\( = 8{x^3} + 8x\).

a) Số hạng tự do trong khai triển bằng 0.

b) Hệ số của \(x\) trong khai triển là \(8\).

c) Tổng các hệ số trong khai triển bằng \(8 + 8 = 16\).

d) \(P\left( x \right) = 8{x^3} + 8x = 8x\left( {{x^2} + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow x > 0\).

Vậy \(P\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

\(Q = {\left( {xy - 1} \right)^5} = {x^5}{y^5} - 5{x^4}{y^4} + 10{x^3}{y^3} - 10{x^2}{y^2} + 5xy - 1\).

a) Số hạng có chứa \({x^2}{y^2}\) là \( - 10{x^2}{y^2}\).

b) Hệ số của \({x^4}{y^4}\) trong khai triển là \( - 5\).

c) Hệ số của \({x^3}{y^3}\) trong khai triển là 10.

d) Hệ số của \(xy\) trong khai triển là \(5\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 750

Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là \(\overline {abcd} \).

TH1: \(d = 0 \Rightarrow \) số cách chọn \(b;c;d\) là \(A_7^3 = 210\).

TH2: \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\).

Suy ra \(d\) có 3 cách chọn , \(a\) có 6 cách chọn, \(b,c\) có \(A_6^2\) cách chọn.

Do đó ta có \(3.6.A_6^2 = 540\) cách chọn.

Vậy có tất cả \(210 + 540 = 750\) cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 360

Một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập hợp gồm 6 phần tử là một chỉnh hợp chập 4 của 6.

Vậy có tất cả \(A_6^4 = 360\) số.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2380

TH1: Có 2 học sinh giỏi toán, 1 học sinh giỏi Văn, 1 học sinh giỏi Anh \( \Rightarrow \) có \(C_5^2.C_8^1.C_7^1 = 560\) cách.

TH2: Có 1 học sinh giỏi toán, 2 học sinh giỏi Văn, 1 học sinh giỏi Anh \( \Rightarrow \) có \(C_5^1.C_8^2.C_7^1 = 980\) cách.

TH3: Có 1 học sinh giỏi toán, 1 họ sinh giỏi Văn, 2 học sinh giỏi Anh \( \Rightarrow \)có \(C_5^1.C_8^1.C_7^2 = 840\) cách.

Vậy số cách lập được đội tuyển thi học sinh giỏi có đủ học sinh giỏi Toán, Văn, Anh là:

\(840 + 560 + 980 = 2380\) cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 990

Có \(A_{11}^3 = 990\)cách chọn ra 3 lớp trong 11 lớp để xếp ba giải nhất, nhì, ba.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 199

Số cách lấy 3 quyển sách từ các quyển sách trên là \(C_{14}^3 = 364\) cách.

Số cách lấy 3 quyển sách từ các quyển sách trên sao cho không có quyển Lịch sử là:

\(C_{11}^3 = 165\) cách.

Do đó số cách lấy 3 quyển sách từ các quyển sách trên sao cho có ít nhất một quyển Lịch sử là:

\(364 - 165 = 199\) cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 68

Các số tự nhiên chia hết cho 5 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Ta có các trường hợp sau:

+) Số có một chữ số, có 2 số thỏa mãn.

+) Số có hai chữ số khác nhau có dạng \(\overline {ab} \).

Nếu \(b = 0\) thì \(a\)có 6 cách chọn. Suy ra có \(6\) số thỏa mãn.

Nếu \(b = 5\) thì \(a\) có 5 cách chọn. Suy ra có 5 số thỏa mãn.

Do đó trong trường hợp này có \(6 + 5 = 11\) số thỏa mãn.

+) Số có ba chữ số khác nhau có dạng \(\overline {abc} \).

Nếu \(c = 0\) thì có \(A_6^2 = 30\)cách chọn \(a,b\).

Nếu \(c = 5\) thì \(a\)có 5 cách chọn, \(b\) có 5 cách chọn.

Do đó trong trường hợp này có \(30 + 5.5 = 55\)số thỏa mãn.

Vậy có tất cả \(2 + 11 + 55 = 68\) số.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 13

Điều kiện \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\).

\(3C_{n + 1}^3 - 3A_n^2 = 52\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 3\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} - 3\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 52\left( {n - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)}}{2} - 3n\left( {n - 1} \right) = 52\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 3n - 52} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} - 5n - 104} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow n = 1\) hoặc \(n = 13\) hoặc \(n = - 8\).

Kết hợp điều kiện ta có \(n = 13\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 600

Ta có \({\left( {2x - 5} \right)^4} = 16{x^4} - 160{x^3} + 600{x^2} - 1000x + 625\).

Hệ số của \({x^2}\) bằng 600.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 672

Điều kiện: \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\).

Ta có \(C_n^2 - n = 27\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} - n = 27\)\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 27\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 54 = 0\)

\( \Leftrightarrow n = 9\) hoặc \(n = - 6\).

Khi đó \({\left( {x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} .{x^k}.{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{9 - k}}\)\( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{2^{9 - k}}} .{x^{3k - 18}}\).

Số hạng không chứa \(x\) tức là \(3k - 18 = 0 \Leftrightarrow k = 6\).

Với \(k = 6\) thì hệ số của số hạng không chứa \(x\) là \(C_9^6{2^{9 - 6}} = 672\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 720

\({\left( {2xy + \frac{3}{y}} \right)^5} = {\left( {2xy} \right)^5} + 5.{\left( {2xy} \right)^4}.\frac{3}{y} + 10.{\left( {2xy} \right)^3}.{\left( {\frac{3}{y}} \right)^2} + 10.{\left( {2xy} \right)^2}.{\left( {\frac{3}{y}} \right)^3} + 5.\left( {2xy} \right).{\left( {\frac{3}{y}} \right)^4} + {\left( {\frac{3}{y}} \right)^5}\)

\( = 32{\left( {xy} \right)^5} + 240{x^4}{y^3} + 720{x^3}y + 1080\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{810x}}{{{y^3}}} + \frac{{243}}{{{y^5}}}\).

Vậy hệ số của \({x^3}y\) trong khai triển là 720.

Hướng dẫn giải

+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có \(C_{18}^6 = 18564\) cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 có \(C_{13}^6 = 1716\) cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 và khối 10 có \(C_{12}^6 - C_7^6 = 917\) cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 có \(C_{11}^6 - C_6^6 = 461\) cách.

Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15470 cách chọn.

Hướng dẫn giải

+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.

- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách.

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có \(A_{15}^2\) cách.

- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có \(C_{13}^2\) cách.

Suy ra có \(5A_{15}^2.C_{13}^2 = 81900\) cách chọn cho trường hợp 1.

+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.

- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có \(C_5^2\) cách.

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có \(A_{15}^2\) cách.

- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách.

Suy ra có \(13A_{15}^2.C_5^2 = 27300\) cách chọn cho trường hợp 2.

+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam.

- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có \(C_5^3\) cách.

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có \(A_{15}^2\) cách.

Suy ra có \(A_{15}^2.C_5^3 = 2100\) cách chọn cho trường hợp 3.

Vậy có \(5A_{15}^2.C_{13}^2 + 13A_{15}^2.C_5^2 + A_{15}^2.C_5^3 = 111300\) cách.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({a_3}\) là hệ số của \({x^3}\) trong khai triển.

Do đó \({a_3} = C_5^3{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} = - \frac{5}{4}\)

b) Cho \(x = 1\) ta có tổng các hệ số \({a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_5} = {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(M = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}\left( {1 - a} \right) + C_4^2{a^2}{\left( {1 - a} \right)^2} + C_4^3a{\left( {1 - a} \right)^3} + C_4^4{\left( {1 - a} \right)^4} = {\left[ {a + \left( {1 - a} \right)} \right]^4} = 1\).