Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương V: Đại số tổ hợp
60 câu hỏi
Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ \(39\) hoặc cỡ \(40\). Áo cỡ \(39\) có \(5\) màu khác nhau, áo cỡ \(40\)có \[4\] màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)?
\[9.\]
\[5.\]
\[4.\]
\[1.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Nếu chọn cỡ áo \[39\] thì sẽ có \[5\] cách.
+) Nếu chọn cỡ áo \[40\] thì sẽ có \[4\] cách.
Theo qui tắc cộng, ta có \[5 + 4 = 9\] cách chọn mua áo.
Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ \[1\] đến \[6\] và ba quả cầu đen được đánh số \[7,{\rm{ }}8,{\rm{ }}9.\] Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
\[27.\]
\[9.\]
\[6.\]
\[3.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.
+) Nếu chọn một quả trắng có \[6\] cách.
+) Nếu chọn một quả đen có \[3\] cách.
Theo qui tắc cộng, ta có \[6 + 3 = 9\] cách chọn.
Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiêu cách chọn bộ “quần-áo-cà vạt” khác nhau?
13.
72.
12.
30.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Để chọn một bộ bộ “quần-áo-cà vạt”, ta có:
+) Có 4 cách chọn quần.
+) Có 6 cách chọn áo.
+) Có 3 cách chọn cà vạt.
Vậy theo qui tắc nhân ta có \(4 \times 6 \times 3 = 72\) cách.
Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
9.
10.
18.
24.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\( \bullet \) Từ có \(4\) cách.
\( \bullet \) Từ có \(2\) cách.
\( \bullet \) Từ có \(3\) cách.
Vậy theo qui tắc nhân ta có \(4 \times 2 \times 3 = 24\) cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ?
25.
20.
50.
10.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ là \(\overline {ab} \).
Số cách chọn số \(a\) là 5 cách.
Số cách chọn số \(b\) là 5 cách.
Vậy có 5.5 = 25 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Số các số tự nhiên chẵn, gồm bốn chữ số khác nhau đôi một và không tận cùng bằng 0 là :
504.
1792.
953088.
2296.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi số ần tìm là \(\overline {abcd} \)
Có 4 cách chọn d, 8 cách chọn a, 8 cách chọn b và 7 cách chọn c. Vậy có tất cả: 4.8.8.7 = 1792.
Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số.
392.
1023.
3014.
391.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau
Chọn quả xanh: 7 cách chọn
Chọn quả cầu vàng: có 7 cách chọn
Chọn quả cầu đỏ: có 8 cách chọn
Vậy có tất cả 7.7.8 = 392 cách chọn.
Từ các chữ số \[0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5\] có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm \[4\] chữ số khác nhau?
\[156.\]
\[144.\]
\[96.\]
\[134.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\}.\]
Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn \[ \Rightarrow \,\,d = \left\{ {0,2,4} \right\}.\]
TH1. Nếu \[d = 0,\] số cần tìm là \[\overline {abc0} .\] Khi đó:
\( \bullet \) \[a\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\] nên có \[5\] cách chọn.
\( \bullet \) \[b\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a} \right\}\] nên có \[4\] cách chọn.
\( \bullet \) \[c\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a,\,\,b} \right\}\] nên có \[3\] cách chọn.
Như vậy, ta có \[5 \times 4 \times 3 = 60\] số có dạng \[\overline {abc0} .\]
TH2. Nếu \[d = \left\{ {2,4} \right\} \Rightarrow \,\,d:\] có \[2\] cách chọn.
Khi đó \[a:\] có \[4\] cách chọn, \[b:\] có \[4\] cách chọn và \[c:\] có \[3\] cách chọn.
Như vậy, ta có \[2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96\] số cần tìm như trên.
Vậy có tất cả \[60 + 96 = 156\] số cần tìm.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100?
36.
62.
54.
42.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập \(A = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\).
Từ tập \(A\) có thể lập được 6 số có một chữ số.
Gọi số có hai chữ số có dạng \(\overline {ab} \).
Trong đó:
\(a\) được chọn từ tập \(A\) nên có 6 cách chọn.
\(b\) được chọn từ tập \(A\) nên có 6 cách chọn.
Như vậy, ta có 6.6 = 36 số có hai chữ số.
Vậy, từ
có thể lập được 36 + 6 = 42 số tự nhiên bé hơn 100.
Tô màu các cạnh của hình vuông \[ABCD\] bởi \[6\] màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô?
\(360\).
\(480\).
\(600\).
\(630\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Trường hợp 1: Tô cạnh \[AB\] và \[CD\] khác màu:
Số cách tô cạnh \[AB\]: \[6\] cách.
Số cách tô cạnh \[BC\]: \[5\] cách.
Số cách tô cạnh \[CD\]: \[4\] cách.
Số cách tô cạnh \[AD\]: \[4\]cách.
Theo quy tắc nhân ta có: \[6.5.4.4 = 480\] cách tô cạnh \[AB\] và \[CD\] khác màu.
Trường hợp 2: Tô cạnh \[AB\] và \[CD\] cùng màu:
Số cách tô cạnh \[AB\]: \[6\] cách.
Số cách tô cạnh \[BC\]: \[5\] cách.
Số cách tô cạnh \[CD\]: \[1\] cách.
Số cách tô cạnh \[AD\]: \[5\]cách.
Theo quy tắc nhân ta có: \[6.5.1.5 = 150\] cách tô cạnh \[AB\] và \[CD\] cùng màu.
Vậy số cách tô màu thỏa đề bài là: \[480 + 150 = 630\] cách.
Tính số chỉnh hợp chập \[4\] của \[7\] phần tử?
\[24\].
\[720\].
\[840\].
\[35\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[A_7^4 = \frac{{7!}}{{3!}} = 840\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Do mỗi cách lấy k trong n phần tử rồi sắp thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử nên tất cả các chỉnh hợp là
Từ các chữ số \[1\]; \[2\]; \[3\]; \[4\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \[4\] chữ số đôi một khác nhau?
12.
\(24\).
\(42\).
\({4^4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Mỗi số tự nhiên có \[4\] chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số \[1\]; \[2\]; \[3\]; \[4\] là một hoán vị của \[4\] phần tử. Vậy số các số cần tìm là: \[4! = 24\] số.
Từ các số \(1\), \[2\], \(3\), \(4\), \[5\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(5\) chữ số khác nhau đôi một?
\(60\).
\(120\).
\(24\).
\(48\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có \(5! = 120\) số cần tìm.
Từ tập \(X = \left\{ {2,3,4,5,6} \right\}\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau?
\(60\).
\(125\).
\(10\).
\(6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập \(X\) là số chỉnh hợp chập \(3\) của \(5\) phần tử\( \Rightarrow \) số các số cần lập là \(A_5^3 = 60\).
Số hoán vị của \(n\) phần tử là
\[n!\].
\[2n\].
\[{n^2}\].
\[{n^n}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số hoán vị của tập có \(n\) phần tử bằng \(n!\).
Từ các chữ số \[1,\,{\rm{2}}{\rm{,}}\,{\rm{3}}{\rm{,}}\,{\rm{4}}{\rm{,}}\,{\rm{5}}{\rm{,}}\,{\rm{6}}{\rm{,}}\,{\rm{7}}{\rm{,}}\,{\rm{8}}{\rm{,}}\,{\rm{9}}\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \[3\] chữ số đôi một khác nhau?
\[C_9^3\].
\[A_9^3\].
\[9!\].
\[A_9^3 - A_8^2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \[x = \overline {abc} \], trong đó \(a\), \(b\), \(c\) đôi một khác nhau.
Lấy \[3\] phần tử từ tập hợp \[X = \left\{ {1,\,{\rm{2}}{\rm{,}}\,{\rm{3}}{\rm{,}}\,{\rm{4}}{\rm{,}}\,{\rm{5}}{\rm{,}}\,{\rm{6}}{\rm{,}}\,{\rm{7}}{\rm{,}}\,{\rm{8}}{\rm{,}}\,{\rm{9}}} \right\}\] và xếp vào \[3\] vị trí. Có \[A_9^3\] cách.
Suy ra có \[A_9^3\] số thỏa yêu cầu bài.
4320.
90.
43 200.
720.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng trống và đưa 3 giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy tất cả có: \(6!.{\rm{A}}_{\rm{5}}^{\rm{3}} = 43200\) cách.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5} \right\}\). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và lớn hơn 350?
\[32\].
\[40\].
\[43\].
\[56\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi số có ba chữ số khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\overline {abc} \).
Vì \(\overline {abc} \,\, > 350\) nên ta xét 2 trường hợp sau:
TH 1: Chọn \(a\, \in \left\{ {4;5} \right\}\,\, \Rightarrow \,a\) có 2 cách chọn.
Chọn \(b\)và \(c\) trong số 5 chữ số còn lại có \(A_5^2\) cách.
Suy ra TH1 có \(2\,.\,A_5^2 = 40\) số được lập.
TH 2: Chọn \(a = 3,\,\,b = 5\, \Rightarrow \,\,c \in \left\{ {1;2;4} \right\}\) nên có 3 số được lập.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(40 + 3\,\, = 43\) số.
816
18
604
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
TH1: Chỉ có một cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau, khi đó buộc các bà vợ phải ngồi cùng một bên, các ông chồng ngồi cùng một bên so với cặp vợ chồng đó.
có
.
TH2: Có đúng hai cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau có
.
TH3: Có đúng ba cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau có 
TH4: Tất cả 4 cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau có 
Vậy có tất cả là
thỏa yêu cầu đề bài.
Công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.\)
Cho tập hợp \(M\) có \(10\) phần tử. Số tập congồm \(2\) phần tử của \(M\) là
\(A_{10}^8\).
\(A_{10}^2\).
\(C_{10}^2\).
\({10^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số tập con gồm \(2\) phần tử của \(M\) là số cách chọn \(2\) phần tử bất kì trong \(10\) phần tử của \(M\).
Do đó số tập con gồm \(2\) phần tử của \(M\) là \(C_{10}^2\).
Cần chọn \(3\) người đi công tác từ một tổ có \(30\) người, khi đó số cách chọn là
\(A_{30}^3\).
\({3^{30}}\).
\(10\).
\(C_{30}^3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số cách chọn \(3\) người bất kì trong \(30\) là: \(C_{30}^3\).
Trong một buổi khiêu vũ có \(20\) nam và \(18\) nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi nam nữ để khiêu vũ?
\(C_{38}^2\).
\(A_{38}^2\).
\(C_{20}^2C_{18}^1\).
\(C_{20}^1C_{18}^1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Chọn một nam trong \(20\) nam có \(C_{20}^1\) cách.
Chọn một nữ trong \(18\) nữ có \(C_{18}^1\) cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn một đôi nam nữ là \(C_{20}^1C_{18}^1\).
Trong mặt phẳng cho \(15\) điểm phân biệt trong đó không có \(3\) điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có đỉnh là \(3\) trong số \(15\) điểm đã cho là.
\(A_{15}^3\).
\(15!\).
\(C_{15}^3\).
\({15^3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số tam giác có đỉnh là \(3\) trong số \(15\) điểm đã cho là: \(C_{15}^3\).
Với đa giác lồi \(10\) cạnh thì số đường chéo là
\[90.\]
\[45.\]
\[35.\]
\[55\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đa giác lồi \(10\) cạnh thì có \(10\) đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong \(10\) đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi.
Vậy số đường chéo cần tìm là \(C_{10}^2 - 10 = 35.\)
Một lớp có \[15\] học sinh nam và \(20\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn \(5\) bạn học sinh sao cho trong đó có đúng \(3\) học sinh nữ?
\(110790.\)
\(119700.\)
\(117900.\)
\(110970.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số cách chọn \(3\) học sinh nữ là: \(C_{20}^3 = 1140\) cách.
Số cách chọn \(2\) bạn học sinh nam là: \(C_{15}^2 = 105\) cách.
Số cách chọn \(5\) bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(1140 \times 105 = 119700.\)
Tổ \[1\] lớp 11A có \[6\] học sinh nam và \[5\] học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra \[4\] học sinh của tổ \[1\] để lao động vệ sinh cùng cả trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \[4\] học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam?
\[600\].
\[25\].
\[325\].
\[30\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trường hợp 1: Chọn \[1\] nam và \[3\] nữ.
Trường hợp 2: Chọn \[2\] nam và \[2\] nữ.
Trường hợp 3: Chọn \[3\] nam và \[1\] nữ.
Trường hợp 4: Chọn \[4\] nam.
Số cách chọn cần tìm là \[C_6^1C_5^3 + C_6^2C_5^2 + C_6^3C_5^1 + C_6^4 = 325\] cách chọn.
Một nhóm gồm \[6\] học sinh nam và \[7\] học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam.
\(245\).
\(3480\).
\(336\).
\(251\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Chọn ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ trong \[13\] học sinh tùy ý có \[C_{13}^3\] cách.
Chọn ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ trong \[7\] học sinh nữ có \[C_7^3\] cách.
Vậy chọn ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có \[C_{13}^3 - C_7^3 = 251.\]
Có \(15\) học sinh giỏi gồm \(6\) học sinh khối \(12\), \(4\) học sinh khối \(11\) và \(5\) học sinh khối \(10\). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \(6\) học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất \(1\) học sinh?
\(4249\).
\(4250\).
\(5005\).
\(805\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số cách chọn \(6\) học sinh bất kỳ trong \(15\) học sinh là \(C_{15}^6 = 5005\).
Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(12\) là \(C_6^6 = 1\) cách.
Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(10\) và \(11\) là \(C_9^6 = 84\) cách.
Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(10\) và \(12\) là \(C_{11}^6 - C_6^6 = 461\) cách.
Số cách chọn \(6\) học sinh chỉ có khối \(11\) và \(12\) là \(C_{10}^6 - C_6^6 = 209\) cách.
Do đó số cách chọn \(6\) học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất \(1\) học sinh là \(5005 - 1 - 84 - 461 - 209 = 4250\) cách.
Viết khai triển theo công thức nhị thức newton \[{\left( {x + 1} \right)^5}\].
\[{x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\].
\[{x^5} - 5{x^4} - 10{x^3} + 10{x^2} - 5x + 1\].
\[{x^5} - 5{x^4} + 10{x^3} - 10{x^2} + 5x - 1\].
\[5{x^5} + 10{x^4} + 10{x^3} + 5{x^2} + 5x + 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[{\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5 = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\].
Khai triển của nhị thức \[{\left( {3x + 4} \right)^5}\] là
\[{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].
\[243{x^5} + 405{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].
\[243{x^5} - 1620{x^4} + 4320{x^3} - 5760{x^2} + 3840x - 1024\].
\[243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[{\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}\]\[ = 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].
Đa thức \(P\left( x \right) = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} + 10x - 1\) là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
\({\left( {1 - 2x} \right)^5}.\)
\({\left( {1 + 2x} \right)^5}.\)
\({\left( {2x - 1} \right)^5}.\)
\({\left( {x - 1} \right)^5}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy \(P\left( x \right)\) có dấu đan xen nên loại đáp án B.
Hệ số của \({x^5}\) bằng \(32\) nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là \(32{x^5}\)).
Khai triển theo công thức nhị thức Newton \({\left( {x - y} \right)^4}\).
\({x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\).
\({x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4{x^1}{y^3} - {y^4}\).
\({x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4{x^1}{y^3} + {y^4}\).
\({x^4} - 4{x^3}y - 6{x^2}{y^2} - 4{x^1}{y^3} + {y^4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({\left( {x - y} \right)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}\)
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?
\[6\].
\[3\].
\[5\].
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có \[4 + 1 = 5\] số hạng.
Trong khai triển \({\left( {2a - b} \right)^5}\), hệ số của số hạng thứ \(3\) bằng:
\[ - 80 \cdot \]
\[80 \cdot \]
\[ - 10 \cdot \]
\[10 \cdot \]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\begin{array}{l}{\left( {2a - b} \right)^5}\, = \,{\left( {2a} \right)^5} - 5{\left( {2a} \right)^4}b + 10{\left( {2a} \right)^3}{b^2} - 10{\left( {2a} \right)^2}{b^3} + 5\left( {2a} \right){b^4} - {b^5}\\{\rm{ = 32}}{a^5} - 80{a^4}b + 80{a^3}{b^2} - 40{a^2}{b^3} + 10a{b^4} - {b^5}\end{array}\)
Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của nhị thức \({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\).
\( - 10\).
\( - 5\).
\(10\).
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {{x^3}} \right)^5} - 5{\left( {{x^3}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 10{\left( {{x^3}} \right)^3}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 10{\left( {{x^3}} \right)^2}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5\left( {{x^3}} \right){\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} - {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\\{\rm{ }} = {x^{15}} - 5{x^{10}} + 10{x^5} - 10 + 5\frac{1}{{{x^5}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}.\end{array}\).
Số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là \(\left( { - 10} \right)\).
Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4}\) là:
\(216.\)
\( - 216\).
72.
\( - 72\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}\).
Số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}\) là 6. \({(3x)^2} \cdot {( - 2)^2} = 216{x^2}\).
Vậy hệ số của \({x^2}\) là 216.
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là:
\( - 8\).
40.
80.
10.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là \(5 \cdot {x^4} \cdot 2 = 10{x^4}\).
Vậy hệ số của \({x^4}\) là 10.
Cho \({(3x - 1)^7} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + \ldots + {a_7}{x^7}\). Tính tổng \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_7}\).
\({3^7}\).
1.
\({2^7}\).
0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 1\) vào khai triển \({(3x - 1)^7} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + \ldots + {a_7}{x^7}\).
Ta được: \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_7} = {(3.1 - 1)^7} = {2^7}\).
Một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 9 bạn nữ trong đó có Lan và Hùng tham gia một cuộc thi.
Số cách chọn 4 học sinh sao cho trong đó có ít nhất một trong hai bạn Lan và Hùng là 1729.
Số cách chọn 5 học sinh sao cho trong đó nhất thiết phải có bạn Lan và Hùng là 560.
Số cách chọn 5 học sinh trong đó có cả bạn nam và nữ là 4221.
Số cách chọn 4 học sinh gồm 2 nam và 2 nữ là \(C_7^2.C_9^2\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Số cách chọn 4 học sinh sao cho trong đó không có hai bạn Lan và Hùng là: \(C_{14}^4 = 1001\).
Số cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất một trong hai bạn Lan và Hùng là \(C_{16}^4 - 1001 = 819\) cách.
b) Số cách chọn 5 học sinh sao cho trong đó nhất thiết phải có bạn Lan và Hùng là \(C_{14}^3 = 364\) cách.
c) Số cách chọn 5 học sinh trong đó có cả bạn nam và nữ là
\(C_7^1.C_9^4 + C_7^2.C_9^3 + C_7^3.C_9^2 + C_7^4.C_9^1 = 4221\) cách.
d) Số cách chọn 4 học sinh gồm 2 nam và 2 nữ là \(C_7^2.C_9^2\) cách.
Cho biểu thức \({\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5}\) với \(x\)là số thực dương khác 0.
Có 6 số hạng trong khai triển của biểu thức trên.
Hệ số của hạng tử không chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là 14.
Nếu \({\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5} = \frac{{{a_0}}}{{{x^5}}} + \frac{{{a_1}}}{{{x^3}}} + \frac{{{a_2}}}{x} + {a_3}x + {a_4}{x^3} + {a_5}{x^5}\) thì \({a_0} + {a_1} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = 59049\).
Hệ số của hạng tử chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là 3290.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
\({\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5} = {\left( {2x} \right)^5} + 5.{\left( {2x} \right)^4}.\frac{7}{x} + 10.{\left( {2x} \right)^3}.{\left( {\frac{7}{x}} \right)^2} + 10.{\left( {2x} \right)^2}.{\left( {\frac{7}{x}} \right)^3} + 5.\left( {2x} \right).{\left( {\frac{7}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{7}{x}} \right)^5}\)
\( = 32{x^5} + 560{x^3} + 3920x + \frac{{13720}}{x} + \frac{{24010}}{{{x^3}}} + \frac{{16807}}{{{x^5}}}\).
a) Có 6 số hạng trong khai triển trên.
b) Trong khai triển trên không có số hạng không chứa \(x\).
c) Ta có \({a_0} + {a_1} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = 16807 + 24010 + 13720 + 3920 + 560 + 32 = 59049\).
d) Hệ số của hạng tử chứa \(x\) trong khai triển của biểu thức trên là 3920.
Một người có 7 đôi tất trong đó có 3 đôi tất trắng và 5 đôi giày trong đó có 2 đôi giày đen. Người này không thích đi tất trắng cùng với giày đen.
Người này có 9 cách chọn một đôi tất trắng và một đôi giày không phải màu đen.
Người này có 4 cách chọn đôi tất không phải màu trắng.
Người này có 17 cách chọn đôi tất không phải màu trắng và một đôi giày bất kỳ.
Người đó có 29 cách chọn tất và giày sao cho tất trắng không đi cùng với giày đen.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Chọn một đôi tất trắng có 3 cách.
Chọn một đôi giày không phải đôi giày màu đen có 3 cách.
Suy ra có \(3.3 = 9\)cách chọn một đôi tất trắng và một đôi giày không phải màu đen.
b) Chọn đôi tất không phải màu trắng có 4 cách.
c) Chọn đôi tất không phải màu trắng có 4 cách.
Chọn một đôi giày bất kỳ có 5 cách.
Suy ra có \(4.5 = 20\) cách chọn đôi tất không phải màu trắng và một đôi giày bất kỳ.
d) Có \(20 + 9 = 29\)cách chọn tất và giày sao cho tất trắng không đi cùng với giày đen.
Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh và 7 viên bi trắng. Tất cả các bi có kích thước và khối lượng như nhau.
Có 10 cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp chứa.
Có 125 cách chọn 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng từ hộp chứa.
Có 3510 cách chọn 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng từ hộp.
Có 3360 cách chọn 6 viên bi có đủ 3 màu đồng thời số bi xanh và số bi trắng bằng nhau.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp chứa là \(C_5^2 = 10\) cách.
b) Số cách chọn 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng từ hộp chứa là \(C_5^4.C_7^3 = 175\).
c) Số cách chọn 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng từ hộp là \(C_5^3.C_6^2.C_7^2 = 3150\).
d) TH1: Chọn 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng.
Do đó trường hợp này có \(C_5^2.C_6^2.C_7^2 = 3150\) cách.
TH2: Chọn 4 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh và 1 viên bi trắng.
Do đó trường hợp này có \(C_5^4.C_6^1.C_7^1 = 210\) cách.
Suy ra số cách lấy trong cách này là: \(3150 + 210 = 3360\).
Từ một hộp chứa 12 quả cầu trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả.
Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là 792 cách.
Số cách chọn ra 3 quả cầu có đủ cả ba màu là 36 cách.
Số cách chọn ra 3 quả cầu chỉ có một màu là 108 cách.
Số cách để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu là 139 cách.
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) Đ
a) Số cách lấy 3 quả bất kì là \(C_{12}^3 = 220\).
b) Số cách lấy 3 quả đủ 3 màu là \(C_8^1.C_3^1.C_1^1 = 24\).
c) Số cách lấy 3 quả chỉ có 1 màu là \(C_8^3 + C_3^3 = 57\).
d) Số cách lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu là \(220 - 24 - 57 = 139\).
Cho các chữ số 0; 2; 3; 8; 9.
Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 16.
Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 20.
Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 10.
Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khách nhau được lập từ năm chữ số trên là 8.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) Gọi số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là \(\overline {ab} \).
Số cách chọn số \(a\)khác \(0\) là 4 cách.
Số cách chọn số \(b\) khác \(a\) là 4 cách.
Vậy có \(4.4 = 16\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 16.
c) Gọi số tự nhiên lẻ có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là \(\overline {ab} \).
Số cách chọn số \(b\)là 2 cách.
Số cách chọn số \(a\) khác 0 và khác \(b\) là 3 cách.
Vậy có \(2.3 = 6\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d) Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 6.
Một trường THPT có 20 bạn học sinh tham gia Tọa đàm về tháng thanh niên do Huyện đoàn tổ chức. Vị trí ngồi của trường là khu vực gồm 4 hàng ghế, mỗi hàng có 6 ghế.
Số cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên là \(C_{20}^6\).
Sau khi xếp hàng ghế đầu tiên, có \(A_{14}^6\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai.
Sau khi xếp hàng ghế thứ hai, có \(A_8^6\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba.
Sau khi xếp hàng ghế thứ hai, có \(C_6^2\) cách xếp các bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Số cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên là \(A_{20}^6\).
b) Sau khi xếp hàng ghế đầu tiên, có \(A_{14}^6\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai.
c) Sau khi xếp hàng ghế thứ hai, có \(A_8^6\) cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba.
d) Sau khi xếp hàng ghế thứ hai, có \(A_6^2\) cách xếp các bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng.
Khai triển \({(x + 2y)^3} + {(2x - y)^3}\). Khi đó
Hệ số của của \({x^3}\) là \(9\).
Hệ số của của \({y^3}\) là \(7\).
Hệ số của \({x^2}y\) là \(6\).
Tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của \(x\) lớn hơn lũy thừa của \(y\) bằng \( - 3\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
Ta có:
\({(x + 2y)^3} + {(2x - y)^3} = C_3^0{x^3} + C_3^1{x^2}(2y) + C_3^2x{(2y)^2} + C_3^3{(2y)^3}\)\( + C_3^0{(2x)^3} + C_3^1{(2x)^2}( - y) + C_3^2(2x){( - y)^2} + C_3^3{( - y)^3}\) \( = {x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3} + 8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3} = 9{x^3} - 6{x^2}y + 18x{y^2} + 7{y^3}\).
a) Hệ số của \({x^3}\) là 9.
b) Hệ số của \({y^3}\) là 7.
c) Hệ số của \({x^2}y\) là −\(6\).
d) Có hai số hạng mà lũy thừa của \(x\) lớn hơn lũy thừa của \(y\) là \(9{x^3} - 6{x^2}y\).
Tổng hệ số của chúng: \(9 + ( - 6) = 3\).
Khai triển \({(x + 1)^5}\). Khi đó
Hệ số của \({x^4}\) là 5.
Số hạng không chứa \(x\) là 1.
\(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\).
\(32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
Ta có: \({(x + 1)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5\left( * \right)\)
\( = 1 + 5x + 10{x^2} + 10{x^3} + 5{x^4} + {x^5}\).
a) Hệ số của \({x^4}\) là 5.
b) Số hạng không chứa \(x\) là 1.
c) Từ khai triển (*) trong câu a), thay \(x = 1\), ta được:
\({(1 + 1)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot 1 + C_5^5\) \( = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\).
Vậy \(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}\).
d) Từ khai triển (*) của câu a), thay \(x = 2\), ta được:
\(\begin{array}{l}{(2 + 1)^5} = C_5^0 \cdot {2^5} + C_5^1 \cdot {2^4} + C_5^2 \cdot {2^3} + C_5^3 \cdot {2^2} + C_5^4 \cdot 2 + C_5^5\\ \Rightarrow 32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\end{array}\).
Khai triển \({(x - 1)^4} + {(x + 1)^4}\). Khi đó:
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển là \(2\).
Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển là \(2\).
Hệ số lớn nhất trong tất cả các hệ số là \(12\).
Số hạng không chứa \(x\) là \(2\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
\({(x - 1)^4} + {(x + 1)^4} = \left( {{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {{x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1} \right)\)\( = 2{x^4} + 12{x^2} + 2.{\rm{ }}\)
a) Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển là \(2\).
b) Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển là 12.
c) Hệ số lớn nhất trong tất cả các hệ số là \(12\).
d) Số hạng không chứa \(x\) là \(2\).
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 .
Trả lời: 7440
Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321,
TH1: Số cần lập có bộ ba số 123 .
Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng \(\overline {123abcd} \).
Có \(A_7^4 = 840\) cách chọn bốn số \(a,b,c,d\) nên có \(A_7^4 = 840\) số.
Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123 ,
Có 6 cách chọn số đứng đầu và có \(A_6^3 = 120\) cách chọn ba số \(b,c,d\),
Theo quy tắc nhân có \(6 \cdot 4 \cdot A_6^3 = 2880\) số.
Theo quy tắc cộng có \(840 + 2880 = 3720\) số.
TH2: Số cần lập có bộ ba số 321 .
Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có \(2(840 + 2880) = 7440\).
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 38
Mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Tập lập số từ tập hợp \(\left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\).
Số chia hết cho 15 là số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Do đó tận cùng nó là 0 hoặc 5.
TH1: Số cần lập có dạng \(\overline {abc0} \) với \(a;b;c \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).
Tổng \(a + b + c + 0\) phải chia hết cho 3 \( \Rightarrow a + b + c\) chia hết cho 3.
Có 4 tập hợp \(\left\{ {a;b;c} \right\}\)có tổng các phần tử chia hết cho 3: \(\left\{ {1;2;3} \right\};\left\{ {2;3;4} \right\};\left\{ {3;4;5} \right\};\left\{ {1;3;5} \right\}\).
Suy ra có \(4.3! = 24\) số.
TH2: Số cần lập có dạng \(\overline {abc5} \) với \(a;b;c \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).
Tổng \(a + b + c + 5\) phải chia hết cho 3 \( \Rightarrow a + b + c\) chia cho 3 dư 1.
Có 3 tập hợp \(\left\{ {a;b;c} \right\}\) có tổng các phần tử chia 3 dư 1: \(\left\{ {0;1;3} \right\};\left\{ {0;3;4} \right\};\left\{ {1;2;4} \right\}\).
Suy ra có \(2\left( {3! - 2!} \right) + 3! = 14\) số.
Vậy có \(24 + 14 = 38\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5;6\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?
Trả lời: 180
Số cách chọn ra chữ số hàng trăm là 6 cách.
Với chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, mỗi cách chọn ra 2 số chính là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử.
Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được là: \(6 \cdot A_6^2 = 180\) số.
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 mà mỗi số có ba chữ số khác nhau?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 328
Gọi số có ba chữ số cần tìm là \(\overline {abc} (a \ne 0)\).
TH1: \(c = 0\)
Có 1 cách chọn c.
Có \(A_9^2 = 72\) cách chọn 2 số \(a,b\).
Vậy trong trường hợp này có 72 số.
TH2: \(c \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}\).
Có 4 cách chọn c.
Có 8 cách chọn a và 8 cách chọn b.
Vậy trong trường hợp này có \(8.8.4 = 256\) số.
Vậy có tất cả \(256 + 72 = 328\) số.
Một tổ học sinh có 12 bạn, gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn một nhóm 3 học sinh của tổ đó để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam và nữ?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 175
TH1: Nhóm 3 học sinh cần chọn có 1 nam và 2 nữ.
Chọn 1 nam từ 7 nam có \(C_7^1 = 7\) cách.
Chọn 2 nữ từ 5 nữ có \(C_5^2 = 10\) cách.
Vậy có \(7.10 = 70\) cách.
TH2: Nhóm 3 học sinh cần chọn có 2 nam và 1 nữ
Chọn 2 nam từ 7 nam có \(C_7^2 = 21\) cách.
Chọn 1 nữ từ 5 nữ có \(C_5^1 = 5\) cách.
Vậy có \(21.5 = 105\) cách.
Do đó có tất cả các cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(70 + 105 = 175\) cách.
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 36
Để chọn chương trình biểu diễn, ta thực hiện 3 hành động liên tiếp:
Hành động 1: Chọn 1 vở kịch từ 2 vở kịch, có 2 cách.
Hành động 2: Chọn 1 điệu múa từ 3 điệu múa, có 3 cách.
Hành động 3: Chọn 1 bài hát từ 6 bài hát, có 6 cách.
Vậy số cách chọn là \(2.3.6 = 36\) cách.
Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển của đa thức \(x{(2x + 1)^4} + {(x + 2)^5}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 64
Ta có: \(x{(2x + 1)^4} + {(x + 2)^5}\)
\(\begin{array}{l} = x\left( {16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1} \right) + \left( {{x^5} + 10{x^4} + 40{x^3} + 80{x^2} + 80x + 32} \right)\\ = 16{x^5} + 32{x^4} + 24{x^3} + 8{x^2} + x + {x^5} + 10{x^4} + 40{x^3} + 80{x^2} + 80x + 32\\ = 17{x^5} + 42{x^4} + 64{x^3} + 88{x^2} + 81x + 32.\end{array}\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển của đa thức \(x{(2x + 1)^4} + {(x + 2)^5}\) là \(64\).
Tính tổng các hệ số trong khai triển \({(1 - 2x)^5}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: −1
Đặt \({(1 - 2x)^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_5}{x^5}\).
Cho \(x = 1\) ta có tổng các hệ số \({a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_5} = {(1 - 2)^5} = - 1\).
Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn: \(C_n^1 + C_n^2 = 15\). Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^n}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 10
Điều kiện: \(n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ta có: \(C_n^1 + C_n^2 = 15 \Leftrightarrow n + \frac{{n(n - 1)}}{2} = 15 \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 5}\\{n = - 6}\end{array} \Rightarrow n = 5} \right.\).
Khi đó \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {2^k}{x^{5 - k}} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {2^k}{x^{5 - 5k}}\).
Số hạng không chứa \(x\) tương ứng \(5 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 1\).
Suy ra số hạng không chứa \(x\) là: \(C_5^1 \cdot {2^1} = 10\).
Xác định hệ số của \({x^4}{y^3}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {{x^2} + 2y} \right)^5}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 80
Ta có: \({\left( {{x^2} + 2y} \right)^5} = {\left( {{x^2}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {{x^2}} \right)^4} \cdot 2y + 10 \cdot {\left( {{x^2}} \right)^3} \cdot {(2y)^2} + 10 \cdot {\left( {{x^2}} \right)^2} \cdot {(2y)^3} + 5 \cdot {x^2} \cdot {(2y)^4} + {(2y)^5}\) \( = {x^{10}} + 10{x^8}y + 40{x^6}{y^2} + 80{x^4}{y^3} + 80{x^2}{y^4} + 32{y^5}\).
Suy ra hệ số của \({x^4}{y^3}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {{x^2} + 2y} \right)^5}\) là 80 .
