Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương VI: Một số yếu tố thống kê và xác suất

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số quy tròn số a là \(8141000\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì độ chính xác \(d = 3000\) nên ta quy tròn số \(94444200\) đến hàng chục nghìn.

Vậy số quy tròn của số \(94444200\) là \(94440000\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(a\) là số gần đúng của \(\overline a \) với độ chính xác \(d\) qui ước viết gọn là \(\overline a = a \pm d\). Vậy độ chính xác của phép đo là \(d = 0,2m.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\frac{8}{{17}} = 0,470588235294...\)

Sai số tuyệt đối của \(0,47\) là \(\left| {0,47 - \frac{8}{{17}}} \right| < \left| {0,47 - 0,471} \right| = 0,001\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có độ dài gần đúng của cầu là \(a = 996\) với độ chính xác \[d = 0,5\].

Vì sai số tuyệt đối \({\Delta _a} \le d = 0,5\) nên sai số tương đối \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}} \le \frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{0,5}}{{996}} \approx 0,05\% \).

Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là \(0,05\% \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\(\overline x = \frac{{1 + 2 + 4 + 5 + 9 + 10 + 11}}{7} = 6\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mẫu số liệu trên đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Mẫu số liệu trên có 7 số. Số thứ tư là 5. Do đó \({M_e} = 5\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trung vị của mẫu số liệu \({Q_2} = 5\).

Trung vị của dãy 1; 2; 4 là \({Q_1} = 2\).

Trung vị của dãy 9; 10; 11 là \({Q_3} = 10\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nhìn vào bảng tần số ta thấy giá trị 7 có tần số lớn nhất nên \({M_O} = 7\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Do kích thước mẫu N=100 là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của 2 giá trị đứng thứ \[\frac{N}{2} = 50\] và \[\frac{N}{2} + 1 = 51\]do đó \[{M_e} = \frac{{6 + 7}}{2} = 6,5\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên: \[50 - 38 = 12\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

\[2;{\rm{ }}8;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}10;{\rm{ }}11.\]

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 9.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: \[2;{\rm{ }}8;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9\]. Do đó Q1 = 8,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: \[9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}10;{\rm{ }}11.\]Do đó Q3 = 9,5.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ∆Q = 9,5 – 8,5 = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overline x = \frac{{9.1 + 10.1 + 11.3 + 12.5 + 13.8 + 14.13 + 15.19 + 16.24 + 17.14 + 18.10 + 19.2}}{{1 + 1 + 3 + 5 + 8 + 13 + 19 + 24 + 14 + 10 + 2}} = 15,23\).

\({s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_n}{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n} = 3,96.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\[{s_x} = \sqrt {s_x^2} = \sqrt {3,96} = 1,99\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Độ lệch chuẩn là căn bậc 2 số học của phương sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^3} = 8\).

Gọi biến cố A: “Kết quả của ba lần tung là như nhau”.

Suy ra \({\rm{A}} = \left\{ {SSS;NNN} \right\} \Rightarrow n\left( {\rm{A}} \right) = 2\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Kí hiệu S nếu tung được mặt sấp, N nếu tung được mặt ngửa. Các kết quả có thể xảy ra trong ba lần tung được thể hiện ở sơ đồ hình cây sau:

Có tất cả 8 kết quả có thể xảy ra trong đó có 4 kết quả thuận lợi cho A.

Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).

Biến cố xuất hiện hai lần gieo kết quả như nhau: \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).

Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^4} = 16\).

A là biến cố: “Cả bốn lần gieo xuất hiện mặt sấp”. Suy ra \(n\left( A \right) = 1\).

Vậy xác suất cần tính là \(P\left( A \right) = \frac{1}{{16}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).

Gọi A là biến cố: “Tích số chấm hai lần gieo là số chẵn”.

TH1: Gieo lần 1 số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì khi gieo lần 2 số chấm xuất hiện phải là số chẵn. Do đó có 3.3 = 9 cách.

TH2: Gieo lần 1 số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì có hai trường hợp xảy ra là số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo lần hai là số lẻ hoặc số chẵn. Khi đó có 3.3 + 3.3 = 18 cách.

Suy ra \(n\left( A \right) = 9 + 18 = 27\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{27}}{{36}} = \frac{3}{4}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Không gian mẫu được mô tả là \(\Omega = \left\{ {1;2;...;20} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 20.\)

Gọi A là biến cố: “Quả bóng nhận được ghi số chia hết cho 3”.

Ta có \({\rm{A}} = \left\{ {3;6;9;12;15;18} \right\}\)\( \Rightarrow {\rm{n}}\left( {\rm{A}} \right) = 6\).

Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6\).

Gọi biến cố A: “Bạn An lấy được bút nhớ màu đỏ”.

Suy ra \(n\left( {\rm{A}} \right) = 1\).

Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{1}{6}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2\).

Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 quả khác màu”.

Có \(n\left( A \right) = 4.6 = 24\).

Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{24}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^{50}}\).

Số cách chọn 20 lần trong 50 lần tung để được mặt ngửa là \(n\left( {\rm{A}} \right) = C_{50}^{20}\).

Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{C_{50}^{20}}}{{{2^{50}}}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có sơ đồ hình cây

Có tất cả 9 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).

Gọi A là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.

Biến cố \(\overline {\rm{A}} \): “Không xuất hiện mặt sáu chấm”

Do đó \(n\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 5.5 = 25\)\( \Rightarrow n\left( {\rm{A}} \right) = 36 - 25 = 11\).

Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{11}}{{36}}\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm

111   112   112   113   114   114   114   115   115    116

a) Số trung vị của mẫu số liệu là \({M_e} = 114\).

b) Mốt của mẫu số liệu là \(114\).

c) \(\overline x = \frac{{1.111 + 2.112 + 1.113 + 3.114 + 2.115 + 1.116}}{{10}} = 113,6\).

d) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm

111   112   112   113   114   114   114   115   115    116

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có \(\overline x = \frac{{161 + 162 + 163 + 164 + 165 + 166 + 167 + 168 + 169 + 170 + 171}}{{11}} = 166\).

b) \({M_e} = 166\).

c) \({Q_3}\) là trung vị của dãy 167; 168; 169; 170; 171 nên \({Q_3} = 169\).

d) Có \(\overline x = {M_e} = 166\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).

b) Ta có \(A = \left\{ {\left( {2;2} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;6} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;6} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;4} \right)\left( {6;6} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 9\).

c) Ta có \(B = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;5} \right);\left( {3;1} \right);\left( {3;3} \right);\left( {3;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;3} \right)\left( {5;5} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 9\).

d) Ta có \(C = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 6\)

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495\).

b) Gọi \(A\) là biến cố “Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 1 bi xanh” .

Suy ra \(\overline A \) là biến cố “Trong 4 viên bi được chọn không có bi xanh” \( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_9^4 = 126\).

Do đó \(n\left( A \right) = 495 - 126 = 369\).

c) Gọi \(B\) là biến cố “Trong 4 viên bi được chọn có đúng 1 viên bi đỏ”

\( \Rightarrow n\left( B \right) = C_4^1.C_8^3 = 224\).

d) Gọi \(C\) là biến cố “Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 2 bi đỏ”

\( \Rightarrow n\left( C \right) = C_4^2.C_8^2 + C_4^3.C_8^1 + C_4^4 = 201\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) \(n\left( \Omega \right) = C_{40}^2 = 780\) cách.

b) Gọi \(A\) là biến cố: “Không bạn nào trong nhóm siêu quậy được gọi” .

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{36}^2 = 630\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{630}}{{780}} = \frac{{21}}{{26}}\).

c) Gọi \(B\) là biến cố: “Một bạn trong nhóm siêu quậy được gọi”

\( \Rightarrow n\left( B \right) = C_4^1.C_{36}^1 = 144\).

Do đó \(P\left( B \right) = \frac{{144}}{{780}} = \frac{{12}}{{65}}\).

d) Gọi \(C\) là biến cố “Cả hai bạn được gọi đều nằm trong nhóm siêu quậy”

\( \Rightarrow n\left( C \right) = C_4^2 = 6\).

Do đó \(P\left( C \right) = \frac{6}{{780}} = \frac{1}{{130}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) \(n\left( \Omega \right) = {2^3} = 8\).

b) Gọi \(A\) là biến cố “Thu được 3 mặt giống nhau” \( \Rightarrow A = \left\{ {SSS;NNN} \right\}\).

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2\). Do đó \(P\left( A \right) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

c) Gọi \(B\) là biến cố “thu được ít nhất một mặt ngửa”

Suy ra \(\overline B \) là biến cố “không thu được mặt ngửa nào” \( \Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = 1\)

\( \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{1}{8} \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\).

d) \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{1}{8}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

Ta có \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).

a) Gọi \(A\) là biến cố “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 2 chấm”.

Suy ra \(A = \left\{ {\left( {1;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {3;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {6;4} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 8\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{8}{{36}} = \frac{2}{9}\).

b) Gọi \(B\) là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5” .

Suy ra \(B = \left\{ {\left( {1;5} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( B \right) = 11\).

Do đó \(P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}\).

c) Gọi \(C\) là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn”

Suy ra

\(C = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1;2} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right)\\\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)\end{array} \right\}\)

 \( \Rightarrow n\left( C \right) = 27\). Do đó \(P\left( C \right) = \frac{{27}}{{36}} = \frac{3}{4}\).

d) Gọi \(D\) là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ” .

\(D = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1;2} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;5} \right);\\\left( {5;2} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;5} \right)\end{array} \right\}\).

\( \Rightarrow n\left( D \right) = 18\). Do đó \(P\left( D \right) = \frac{{18}}{{36}} = \frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Ta có \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).

a) Gọi \(A\) là biến cố “Số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng nhau” .

Suy ra \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

b) Gọi \(B\) là biến cố “Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện” .

Suy ra \(B = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\)\[ \Rightarrow n\left( B \right) = 10\].

Do đó \(P\left( B \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}\).

c) Gọi \(C\) là biến cố “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện”

Suy ra \(C = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( C \right) = 11\).

Do đó \(P\left( C \right) = \frac{{11}}{{36}}\).

d) Gọi \(D\) là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 9” .

Suy ra \(\overline D \) là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 9” .

Suy ra \(\overline D = \left\{ {\left( {3;6} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( {\overline D } \right) = 10\).

Do đó \(P\left( {\overline D } \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}\)\( \Rightarrow P\left( D \right) = 1 - \frac{5}{{18}} = \frac{{13}}{{18}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) \(n\left( \Omega \right) = C_3^1.C_2^1.C_2^1 = 12\).

b) Gọi \(A\) là biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ màu đỏ” .

Suy ra \(\overline A \) là biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra không có thẻ màu đỏ” \( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_2^1.1.1 = 2\).

Do đó \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{5}{6}\).

c) Gọi \(B\) là biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra có nhiều nhất 1 thẻ màu xanh” .

Suy ra \(\overline B \) là biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra có 2 thẻ màu xanh” \( \Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = 1.1.C_2^1 = 2\).

\( \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).

d) Trong 3 thẻ lấy ra tất cả đều là màu đỏ nghĩa là mỗi hộp ta đều phải lấy được thẻ màu đỏ.

Suy ra \(P = \frac{1}{{12}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Xác suất để được 3 quả cầu toàn màu xanh bằng \(\frac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}\).

b) Xác suất để được 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu trắng bằng \(\frac{{C_4^2.C_6^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{3}{{10}}\).

c) Xác suất để được 3 quả cầu cùng màu bằng \(\frac{{C_4^3 + C_6^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{5}\).

d) Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu trắng bằng

\(\frac{{C_4^2.C_6^1 + C_4^1.C_6^2 + C_6^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{{29}}{{30}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Số cách chọn ra 3 bạn trong lớp 10A là \(C_{46}^3 = 15180\) cách.

b) Xác suất của các biến cố “Ba bạn được chọn đều là nam” bằng \(\frac{{C_{25}^3}}{{C_{46}^3}} = \frac{5}{{33}}\).

c) Xác suất của các biến cố “Ba bạn được chọn đều là nữ” bằng \(\frac{{C_{21}^3}}{{C_{46}^3}} = \frac{{133}}{{1518}}\).

d) Xác suất của các biến cố “Trong ba học sinh được chọn có hai bạn nam và một bạn nữ” bằng

\(\frac{{C_{25}^2.C_{21}^1}}{{C_{46}^3}} = \frac{{105}}{{253}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

Từ 1 đến 15 có 7 số chẵn, 8 số lẻ.

a) Xác suất để các số ghi trên 3 thẻ đều là số lẻ bằng \(\frac{{C_8^3}}{{C_{15}^3}} = \frac{8}{{65}}\).

b) Xác suất để các số ghi trên 3 thẻ có hai số chẵn và một số lẻ bằng \(\frac{{C_7^2.C_8^1}}{{C_{15}^3}} = \frac{{24}}{{65}}\).

c) Gọi \(A\) là biến cố “tổng các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn”.

TH1: Cả 3 thẻ đều mang số chẵn nên có \(C_7^3 = 35\) cách.

TH2: 2 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn nên có \(C_8^2.C_7^1 = 196\).

Do đó \(n\left( A \right) = 35 + 196 = 231\).

Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{231}}{{C_{15}^3}} = \frac{{33}}{{65}}\).

d) Gọi \(B\) là biến cố “tổng các số trên 3 thẻ là một số chia hết cho 3”.

Từ 1 đến 15 có: 5 số chia hết cho 3; 5 số chia cho 3 dư 1 và 5 số chia cho 3 dư 2.

TH1: Chọn được 3 số từ 5 số chia hết cho 3 nên có \(C_5^3 = 10\) số.

TH2: Chọn được 3 số từ 5 số chia cho 3 dư 1 nên có \(C_5^3 = 10\) số.

TH3: Chọn được 3 số từ 5 số chia cho 3 dư 2 nên ta có \(C_5^3 = 10\) số.

Suy ra \(n\left( B \right) = 10 + 10 + 10 = 30\) số.

Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{30}}{{C_{15}^3}} = \frac{6}{{91}}\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,54

Ta có \(n = 5 + 8 + 11 + 10 + 6 = 40\).

Số trung bình \(\frac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1\).

Phương sai là

\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {5{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2} + 11{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]\)

\( \Rightarrow {s^2} = 1,54\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 9

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được

21   24     25    27     28    30     33     34     35     36.

Ta có \({Q_1} = 25;{Q_3} = 34\).

Suy ra \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 34 - 25 = 9\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 31

\(B\) là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3”.

Khi đó \(B = \left\{ {6;9;12;...;93;96\} } \right.\). Suy ra \(n\left( B \right) = \frac{{96 - 6}}{3} + 1 = 31\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 645

Biến cố \(X\): “Chọn 4 viên bi không có đủ 3 màu”.

Suy ra \(\overline X \): “Chọn 4 viên bi có đủ 3 màu”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(\overline X \) là \(n\left( {\overline X } \right) = C_4^2.C_5^1.C_6^1 + C_4^1.C_5^2.C_6^1 + C_4^1.C_5^1.C_6^2 = 720\).

Suy ra \(n\left( X \right) = C_{15}^4 - 720 = 645\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,39

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^5 = 3003\).

Gọi \(A\) là biến cố “Trong 5 học sinh được chọn có đúng 2 nữ”.

Ta có \(n\left( A \right) = C_7^2.C_8^3 = 1176\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{1176}}{{3003}} \approx 0,39\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 15

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^3} = 8\).

Gọi \(A\) là biến cố “trong ba lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

 \(\overline A \) là biến cố “trong ba lần gieo không có lần nào xuất hiện mặt sấp”.

\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = 1\)\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{8}\).

Do đó \(P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). Suy ra \(a = 7;b = 8\). Vậy \(a + b = 15\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 69

Không gian mẫu là \(\Omega \), ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495\).

Biến cố \(A\): “trong bốn viên bi được lấy không có viên bi đỏ nào”.

Ta có \(n\left( A \right) = C_9^4 = 126\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{126}}{{495}} = \frac{{14}}{{55}}\).

Suy ra \(a = 14;b = 55\). Do đó \(a + b = 69\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,51

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^3 = 220\).

Gọi \(A\) là biến cố “trong 3 bóng lấy được có 1 bóng hỏng”.

Suy ra \(n\left( A \right) = C_4^1.C_8^2 = 112\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{112}}{{220}} \approx 0,51\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,75

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 36\).

Gọi \(A\) là biến cố: “tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn”.

Có \(A = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1;2} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;6} \right);\\\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)\end{array} \right\}\)

Suy ra \(n\left( A \right) = 27\). Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{27}}{{36}} = \frac{3}{4} = 0,75\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 49

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495\).

Gọi \(A\) là biến cố “4 viên được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh”.

Trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\):

TH1: Chọn được 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nên \(C_5^2.C_3^1.C_4^1 = 120\)cách.

TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi xanh nên có \(C_5^2.C_4^2 = 60\) cách.

TH3: Chọn 3 bi đỏ, 1 bi xanh nên có \(C_5^3.C_4^1 = 40\) cách.

TH4: Chọn 1 bi đỏ, 3 bi xanh nên có \(C_5^1.C_4^3 = 20\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 120 + 60 + 40 + 20 = 240\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{240}}{{495}} = \frac{{16}}{{33}}\). Suy ra \(a = 16;b = 33\). Vậy \(a + b = 49\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,51

Số phần tử của không gian mẫu là \(A_7^4 = 840\) cách.

Gọi \(A\) là biến cố: “số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”.

Trong tập \(A\) có 4 số chẵn và 3 số lẻ.

Chọn 2 chữ số chẵn có \(C_4^2 = 6\) cách.

Chọn 2 chữ số lẻ có \(C_3^2 = 3\) cách.

Suy ra \(n\left( A \right) = 6.3.4! = 432\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{432}}{{840}} = \frac{{18}}{{35}} \approx 0,51\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,3

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 30\).

Gọi \(A\) là biến cố: “thẻ được lấy ghi một số nguyên tố”.

Ta có \(A = \left\{ {2;3;5;7;11;13;17;19;23;29} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 10\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{10}}{{30}} \approx 0,3\).

Hướng dẫn giải

Ta tính thời gian chạy trung bình của mỗi nhóm:

Thời gian chạy trung bình của nhóm A là:

\(\frac{{12,2 + 13,5 + 12,7 + 13,1 + 12,5 + 12,9 + 13,2 + 12,8}}{8} = 12,8625\) (giây)

Thời gian chạy trung bình của nhóm B là:

\(\frac{{12,1 + 13,4 + 13,2 + 12,9 + 13,7}}{5} = 13,06\) (giây)

Vì \(12,8625 < \,13,06\) nên thời gian chạy \[100\] mét trung bình của nhóm \[{\rm{A}}\] ít hơn nhóm \[{\rm{B}}\].

Điều đó có nghĩa là thành tích chạy của nhóm \[{\rm{A}}\] tốt hơn.

Hướng dẫn giải

a) Ta lập bảng phân bố tần số như sau:

Ta có:\[\begin{array}{l}\overline x = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}} \right)\\ = \frac{1}{{25}}\left( {1.30 + 1.35 + 1.39 + 1.41 + 1.45 + 1.48 + .... + 1.60 + 3.61 + 2.65 + 1.68 + 3.72 + 2.75 + 1.80 + 1.83 + 1.84} \right)\\ = 60,2\end{array}\]

Phương sai: \(s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {n_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right] = 216,8\).

Độ lệch chuẩn \({s_x} = \sqrt {s_x^2} = \sqrt {216,8} = 14,724\).

Nhận xét: mức độ chênh lệch điểm giữa các giá trị là khá lớn

b) Khoảng biến thiên \(84 - 30 = 54\)

Nửa số liệu bên trái là gồm 12 giá trị, hai phần tử chính giữa là 48,50 .

Do đó, \({Q_1} = (48 + 50):2 = 49\).

Nửa số liệu bên phải là gồm 12 giá trị, hai phần tử chính giữa là 72,72.

Do đó, \({Q_3} = (72 + 72):2 = 72\).

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = 72 - 49 = 23\).

c) Không có giá trị bất thường.

Hướng dẫn giải

Xếp 6 số đã cho vào 4 vị trí \(\overline {abcd} \) có \(A_6^4 = 360\) nên số phần tử của không gian mẫu là 360.

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{12}^3 = 220\).

Gọi \(A\) là biến cố: "3 quả cầu được lấy có ít nhất 2 quả xanh".

Xét 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1 : Chọn 2 quả cầu xanh, 1 quả cầu vàng có \(C_7^2 \cdot C_5^1 = 105\) cách.

Trường hợp 2: Chọn 3 quả cầu xanh có \(C_7^3 = 35\) cách.

Suy ra \(n\left( A \right) = 105 + 35 = 140\)

Vậy xác suất cần tìm là \(p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{140}}{{220}} = \frac{7}{{11}}\).

Hướng dẫn giải

Đặt \(A = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}\)

Gọi số tự nhiên lẻ có 6 chữ số là \(x = \overline {abcdef} \) với \(a,b,c,d,e,f\) thuộc \(A,a \ne 0\) và \(f \in B = \left\{ {1,3,5,7,9} \right\}\)

Vì \(x < 600.000\) nên \(a \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\).

* Trường hợp 1:

\(a \in \left\{ {1,3,5} \right\} \Rightarrow a\) có 3 cách chọn.

\(f \ne a\) và \(f \in B \Rightarrow f\) có 4 cách chọn.

Mỗi bộ \(\overline {bcde} \) là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử còn lại thuộc tập \(A \Rightarrow \) có \(A_8^4\) cách chọn.

Trường hợp này có \(3 \cdot 4 \cdot A_8^4 = 20160\) số.

* Trường hợp 2 :

\(a \in \left\{ {2,4} \right\} \Rightarrow a\) có 2 cách chọn.

\(f \in B \Rightarrow f\) có 5 cách chọn.

Mỗi bộ \(\overline {bcde} \) là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử còn lại của tập \(A \Rightarrow \) có \(A_8^4\) cách chọn.

Trường hợp này có \(2.5 \cdot A_8^4 = 16800\) số.

Vậy có tất cả \(20160 + 16800 = 36960\) số tự nhiên lẻ có 6 chữ số.

Gọi \({\rm{C}}\) là biến cố bạn An nhập một lần theo gợi ý của bác Bình mà đúng mật khẩu mở điện thoại.

Ta có \(n(\Omega ) = 36960;\,\,n(C) = 1\).

Vậy \(P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(C)}} = \frac{1}{{36960}}\).