Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương VII. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
66 câu hỏi
\(\vec a = (2; - 3).\)
\(\vec a = ( - 2;3).\)
\(\vec a = (2;3).\)
\(\vec a = ( - 2; - 3).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(\vec a = 2\vec i - 3\vec j = \left( {2; - 3} \right)\).
\({M_1}\left( {x; - y} \right)\).
\({M_1}\left( { - x;y} \right)\).
\({M_1}\left( { - x; - y} \right)\).
\({M_1}\left( {x;y} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\({M_1}\) đối xứng với \(M\) qua trục hoành suy ra \({M_1}\left( {x; - y} \right)\).
\((1;6).\)
\(( - 9;6).\)
\(( - 1;6).\)
\(( - 5;0).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;6} \right)\].
\((2;7)\).
\((8;3)\).
\((0; - 1)\).
\(( - 8; - 3)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Giả sử \(D(a;b)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 3;2)\) và \(\overrightarrow {DC} = (5 - a;5 - b)\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 = 5 - a}\\{2 = 5 - b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 8}\\{b = 3{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy \(D(8;3)\).
\[\overrightarrow {OK} = 5\vec i - 2\vec j.\]
\[\overrightarrow {OK} = 2\vec i - 5\vec j.\]
\[\overrightarrow {OK} = - 3\vec i + 5\vec j.\]
\[\overrightarrow {OK} = - 5\vec j.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\overrightarrow {OK} = 2\vec i - 5\vec j.\]
\[M\left( { - 2; - 2} \right)\].
\[M\left( {1; - 4} \right)\].
\[M\left( {3;5} \right)\].
\[M\left( {0; - 2} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\overrightarrow {AM} = - 2\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 0 = - 2\left( {1 - 0} \right)\\{y_M} - 2 = - 2\left( {4 - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = - 2\\{y_M} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 2; - 2} \right)\].
\[\left( { - 1;2} \right)\].
\[\left( { - 1; - 2} \right)\].
\[\left( {1;2} \right)\].
\[\left( {1; - 2} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2} \right)\). Do đó vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2} \right)\) có tọa độ là \(\left( {1;2} \right)\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) được vẽ ở hình bên. Ta có các khẳng định sau:
a) \(\vec a = (2; - 3)\);
b) \(\vec b = ( - 3;0)\);
c) \(\vec c = (5;1)\);
d) \(\vec d = (4;0)\).
Số khẳng định đúng là:
0.
1.
2.
3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(\vec a = (3; - 2)\); \(\vec b = ( - 3;0)\); \(\vec c = (5;1)\); \(\vec d = (0;4)\).
\(k = - \frac{1}{2}\).
\(k = 2\).
\(k = - 2\).
Không tồn tại \(k\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4 = 2k}\\{2 = - k}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(k = - 2\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 66 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(m = - 1,n = 2\).
\(m = 2,n = - 1\).
\(m = 2,n = 1\).
Không tồn tại \(m,n\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\vec a = \vec b\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 2n = 5\\ - m - n = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 2\end{array} \right.\).
\(\left| {\vec a} \right| = 2.\)
\(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {13} .\)
\(\left| {\vec a} \right| = \sqrt 5 .\)
\(\left| {\vec a} \right| = \sqrt 2 .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {13} .\)
\(\vec a + \vec b = (2; - 3)\).
\(\vec a + \vec b = (1; - 1)\).
\(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).
\(\vec a + \vec b = ( - 1; - 2)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\vec a = (2; - 3),\vec b = (1; - 1)\). Suy ra \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).
\(5\).
\( - 2\).
\( - 5\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\vec u = m\vec a + n\vec b\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + n = 2\\ - 2m - 3n = - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{2}{5}\\n = \frac{8}{5}\end{array} \right.\).
Suy ra \(m - n = - 2\).
\(\overrightarrow a = \left( {22; - 32} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {22;32} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 22;32} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {\frac{{ - 11}}{2};8} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow a = - 4\overrightarrow {AB} = - 4\left( { - 2 - \frac{7}{2};5 + 3} \right) = \left( {22; - 32} \right)\).
\(C\left( {1;\, - 4} \right)\).
\(C\left( {1;\,0} \right)\).
\(C\left( {1;\,4} \right)\).
\(C\left( {9;\, - 4} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điểm \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_I} - {x_A} - {x_B}\\{y_C} = 3{y_I} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3 - 3 - \left( { - 1} \right) = 1\\{y_C} = - 3 - \left( { - 1} \right) - 2 = - 4\end{array} \right.\).
Vậy điểm \(C\left( {1;\, - 4} \right)\).
\[D\left( {3, - 8} \right)\].
\[D\left( { - 3;8} \right)\].
\[D\left( {3; - 4} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(AD\).
Suy ra : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_D} = 2{y_B} - {y_A}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3\\{y_D} = - 8\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( {3;\, - 8} \right)\).
\(G\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\).
\(G\left( { - 4; - 4} \right)\).
\(G\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)\).
\(G\left( {4; - 4} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNP\).
Tọa độ điểm \(G\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = - \frac{4}{3}\\{y_G} = - \frac{4}{3}\end{array} \right.\).
\(\left( {0;4} \right)\).
\(\left( {2;0} \right)\).
\(\left( {2;4} \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(P\) thuộc trục \(Oy \Rightarrow P\left( {0;y} \right)\), \(G\) nằm trên trục \(Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)\)
\(G\) là trọng tâm tam giác \(MNP\)nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \frac{{( - 1) + ( - 3) + y}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\).
Vậy \(P\left( {0;4} \right)\).
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 40\].
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - 40\].
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 26\].
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - 26\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;11} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {AC} = \left( { - 7;3} \right)\].
Suy ra \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right) + 11.3 = 40\] .
\(\cos A = \frac{2}{{\sqrt {17} }}\).
\(\cos A = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\).
\(\cos A = - \frac{2}{{\sqrt {17} }}\).
\(\cos A = - \frac{1}{{\sqrt {17} }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;\, - 2} \right)\).
\(\cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{ - 3.2 + 5.2}}{{\sqrt {34} .2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\).
\[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;\, - 3} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;\,3} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;\,2} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_1}}= \left( { - 3;\,2} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;\, - 3} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 2} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{\rm{2}}; - {\rm{1}}} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng đi qua hai điểm \[A\left( {2;3} \right)\] và \[B\left( {4;1} \right)\] nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Do đó \[\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1} \right).\]
\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;1} \right).\]
\[\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;0} \right).\]
\[\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;1} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Trục Oy: \(x = 0\) có VTCP \(\vec j\left( {0;1} \right)\) nên một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là \(\vec j\left( {0;1} \right).\)
\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;2} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 3;6} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;6} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d có VTCP: \(\vec u\left( {2; - 1} \right) \Rightarrow \) VTPT \(\vec n\left( {1;2} \right)\) hoặc \(3\vec n = \left( {3;6} \right).\)
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 5 - 2t\end{array} \right.\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 + 5t\end{array} \right.\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = - 2 - 3t\end{array} \right.\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\left\{ \begin{array}{l}M\left( {1; - 2} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \left( {3;5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 + 5t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {6;0} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;0} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;6} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {0;1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right. \Rightarrow \]VTCP \(\vec u = \left( {0;6} \right) = 6\left( {0;1} \right)\) hay chọn \(\vec u = \left( {0;1} \right).\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 1;3} \right) \in AB\\{{\vec u}_{AB}} = \overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2} \right) = - 2\left( { - 2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5t\\y = 3 + t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1 + 3t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 - 5t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 5t\\y = t\end{array} \right..\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}B\left( {0;3} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 1} \right) = - 1.\left( {5;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5t\\y = 3 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3 + 5t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = - 7\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right..\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
M là trung điểm của AB nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;4} \right)\\B\left( {3;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC} = \left( {5;0} \right) = 5\left( {1;0} \right).\]
Do đó \[\left. \begin{array}{l}C\left( {7;3} \right) \in CM\\\overrightarrow {{u_{CM}}} = \left( {1;0} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CM:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}.\]
\[4x + 5y + 17 = 0\].
\[4x - 5y + 17 = 0\].
\[4x + 5y - 17 = 0\].
\[4x - 5y - 17 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:\[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 5t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3;1} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \left( { - 5;4} \right) \Rightarrow {{\vec n}_d} = \left( {4;5} \right)\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow d:4\left( {x - 3} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow d:4x + 5y - 17 = 0.\]
Trùng nhau.
Song song.
Vuông góc với nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 1 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{6}\not = \frac{1}{{ - 10}} \Rightarrow {d_1}||{d_2}.\)
Trùng nhau.
Song song.
Vuông góc với nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\left. \begin{array}{l}{\Delta _1}:7x + 2y - 1 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {7;2} \right)\\{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - 5t\end{array} \right. \to \,\,{{\vec u}_2} = \left( {1; - 5} \right) \to {{\vec n}_2} = \left( {5;1} \right)\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{5}\not = \frac{2}{1}\\{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}\not = 0\end{array} \right. \to {\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) cắt nhau nhưng không vuông góc.
Trùng nhau.
Song song.
Vuông góc với nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\left\{ \begin{array}{l}{{\vec u}_{AB}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1;4} \right)\\{{\vec u}_{CD}} = \overrightarrow {CD} = \left( { - 4; - 1} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{ - 4}}\not = \frac{4}{{ - 1}}\\{{\vec u}_{AB}} \cdot {{\vec u}_{CD}}\not = 0\end{array} \right. \to AB,\,\,CD\) cắt nhau nhưng không vuông góc.
\(m = 1.\)
\(m = - 1.\)
\(m = 2.\)
\(m = 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với loại \(m = 4.\)
Với \(m\not = 4\) thì
\[m = \frac{1}{2}\].
\[m = \frac{9}{8}\].
\[m = - \frac{9}{8}\].
\(m = - \frac{5}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x - 3y - 10 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {2; - 3} \right)\\{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 1 - 4mt}\end{array} \to {{\vec n}_2} = \left( {4m; - 3} \right)} \right.\end{array} \right.\]
\(\left( {2;5} \right).\)
\(\left( {10;25} \right).\)
\(\left( { - 1;7} \right).\)
\(\left( {5;2} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[a = 1.\]
\[a = - 1.\]
\[a = 2.\]
\[a = - 2.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(Ox \cap {d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 3t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow Ox \cap {d_2} = A\left( { - 2;0} \right) \in {d_1}\)
\( \Rightarrow - 2a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = - 2.\)
\(3x + 6y - 5 = 0\).
\(6x + 12y - 5 = 0\).
\(6x + 12y + 10 = 0\).
\(x + 2y + 10 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x + 3y - 1 = 0\\{d_2}:x - 3y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} \cap {d_2} = A\left( {3; - \frac{2}{3}} \right).\)
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}A \in d\\d \bot {d_3}:2x - y + 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \in d\\d:x + 2y + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow 3 + 2.\left( { - \frac{2}{3}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{5}{3}.\)
Vậy \(d:x + 2y - \frac{5}{3} = 0 \Leftrightarrow d:3x + 6y - 5 = 0.\)
\({30^{\rm{o}}}.\)
\({45^{\rm{o}}}.\)
\({60^{\rm{o}}}.\)
\({135^{\rm{o}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\( \to \varphi = 45^\circ .\)
\({30^{\rm{o}}}.\)
\({45^{\rm{o}}}.\)
\({60^{\rm{o}}}.\)
\({90^{\rm{o}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\].
\[\frac{{\sqrt 2 }}{3}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[\sqrt 3 \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[a = \frac{2}{7}\] hoặc \(a = - 14.\)
\[a = \frac{7}{2}\] hoặc \[a = - 14\].
\[a = 5\] hoặc \(a = - 14.\)
\[a = \frac{2}{7}\] hoặc \(a = 5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có
\( \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 14\\a = \frac{2}{7}\end{array} \right..\)
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0}} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{a{x_0} + b{y_0}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
\[2\sqrt {10} \].
\[\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\].
\[\frac{{\sqrt {10} }}{5}\].
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right. \to A\left( { - 1;1} \right) \to d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}.\)
\(2.\)
\(\frac{2}{5}.\)
\[\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}.\]
\[\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 4t}\end{array}} \right. \to \Delta :4x - 3y + 2 = 0 \to d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {8 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + 9} }} = 2.\]
Tọa độ của \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow i \) là \(\left( { - 3;8} \right)\).
Biết tam giác \(ABD\) có trọng tâm là gốc tọa độ \(O\), tọa độ điểm \(D\) là \(\left( { - 2;2} \right)\).
Tọa độ điểm \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) là \(I\left( {1;1} \right)\).
Tọa độ điểm \(K\) thuộc trục \(Ox\) sao cho độ dài \(AK\) ngắn nhất là \(K\left( {0;2} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4} \right)\), \(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right)\). Do đó \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow i = \left( { - 3;8} \right)\).
b) Có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3{x_O} - {x_A} - {x_B}\\{y_D} = 3{y_O} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3.0 - 2 - 0 = - 2\\{y_D} = 3.0 + 1 - 3 = - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 2; - 2} \right)\).
c) Có \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB\). Do đó \(I\left( {1;1} \right)\).
d) Vì \(K \in Ox \Rightarrow K\left( {a;0} \right)\).
Ta có \(AK\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên trục \(Ox\). Suy ra \(K\left( {2;0} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục tung, trục hoành lần lượt là \({A_1}\left( {0;1} \right),{A_2}\left( {2;0} \right)\).
Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\).
\(3\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \).
Nếu \(E\left( { - 1;1} \right),F\left( {2;5} \right)\) và \(M\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\) thuộc trên trục hoành thì chu vi \(\Delta EMF\) nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) Đ
a) Hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục tung là \({A_1}\left( {0;2} \right)\), trên trục hoành là \({A_2}\left( {1;0} \right)\).
b) Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
c) Ta có \(\overrightarrow {CA} = \left( {2;0} \right);\overrightarrow {CB} = \left( {6; - 4} \right)\). Suy ra \(3\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \left( {12; - 4} \right)\).
d) Do \(M\) trên trục hoành \( \Rightarrow M\left( {x;0} \right),\overrightarrow {EF} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow EF = 5\).
Ta có \(\overrightarrow {EM} = \left( {x + 1; - 1} \right),\overrightarrow {MF} = \left( {2 - x;5} \right)\).
Ta có chu vi tam giác \(EMF\):
\({P_{EFM}} = 5 + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {1^2}} + \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {5^2}} \ge 5 + \sqrt {{{\left( {x + 1 + 2 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 + 5} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow {P_{ABM}} = 5 + 3\sqrt 5 \).
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{{x + 1}}{{2 - x}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).
Đường thẳng \(AB\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} (2;5)\).
Đường thẳng \(AB\)có vectơ pháp tuyến là \(\vec n(2; - 5)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là \(2x - 5y + 14 = 0\).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M( - 1;1)\) và song song với \(AB\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Đường thẳng \(AB\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} (5;2)\).
b) Đường thẳng \(AB\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} (5;2)\) nên nhận \(\vec n(2; - 5)\) là một vectơ pháp tuyến.
c) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua \(A( - 2;2)\) và có vectơ pháp
tuyến \(\vec n(2; - 5)\) là: \(2(x + 2) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y + 14 = 0\).
d) Đường thẳng này song song với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {5;2} \right)\)là một vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M( - 1;1)\) và có vectơ chỉ phương
\(\overrightarrow {AB} (5;2)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 5t}\\{y = 1 + 2t}\end{array}} \right.\).
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nhận \(\overrightarrow {EF} \)là một vectơ chỉ phương.
Phương trình đường cao kẻ từ \(D\) là: \(x + y = 0.\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(DF\). Toạ độ của điểm \(I\) là \((2;2)\).
Đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có phương trình là: \(x - 2 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nhận \(\overrightarrow {EF} \)là một vectơ pháp tuyến.
b) Đường cao kẻ từ \(D\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nên nhận
\(\overrightarrow {EF} (1;4)\) là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường cao kẻ từ \(D\) có phương trình là: \((x - 1) + 4(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 4y + 3 = 0.\)
c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DF\). Toạ độ của điểm \(I\) là \((2;2)\).
d) Đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {EI} (0;1)\) nên nhận \(n(1;0)\) là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có phương trình là: \(x - 2 = 0\).
Một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\) là \(\overrightarrow {BC} \).
Phương trình đường cao \(AH\) là \(x + y - 2 = 0\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là \( - x + y - 2 = 0\).
Tọa độ điểm \(H\) là \(\left( {0;2} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Vì \(AH \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\).
b) Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;4} \right) = 4\left( {1;1} \right)\).
Đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\).
c) Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {0; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) nên sẽ nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \( - x + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 2 = 0\).
d) \(H\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\) nên tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\). Vậy tọa độ điểm \(H\left( {2;0} \right)\).
Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{{6\sqrt {10} }}{{10}}\).
Đường thẳng \(\Delta \) và \(d: - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y - 2 = 0\) song song với nhau.
Đường thẳng đi qua \(M\) và song song với đường thẳng \(\Delta \) là \( - 3x - y + 2 = 0\).
Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) là \(x - 3y - 4 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Ta có \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + \left( { - 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }} = \frac{{6\sqrt {10} }}{{10}}\).
b) Ta có \(d: - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y + 4 = 0\).
Do đó đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d\) trùng nhau.
c) Đường thẳng song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x + y + d = 0\left( {d \ne 4} \right)\).
Vì đường thẳng \(3x + y + d = 0\) đi qua \(M\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có \(3.1 - 1 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 2\left( {{\rm{tm}}} \right)\).
Do đó \(3x + y - 2 = 0 \Leftrightarrow - 3x - y + 2 = 0\).
d) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3} \right)\).
Đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) nhận vectơ chỉ phương của \(\Delta \) làm vectơ pháp tuyến có dạng: \( - x + 3y + d = 0\).
Vì đường thẳng \( - x + 3y + d = 0\) đi qua \(M\left( {1; - 1} \right)\) nên \( - 1 + 3.\left( { - 1} \right) + d = 0 \Leftrightarrow d = 4\).
Do đó \( - x + 3y + 4 = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4 = 0\) là đường thẳng cần tìm.
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).
Đường trung trực đoạn thẳng \(AB\) có hệ số góc là \(k = - \frac{4}{3}\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\) cắt trục \(Ox,Oy\) tương ứng tại \(E,F\) thỏa mãn \(\frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{F^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} = 1\).
Vectơ có tọa độ \(\left( {4;5} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Vì \(MN//AB\) nên \(AB\) nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
b) Đường trung trực của \(AB\) đi qua điểm \(P\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;3} \right)\) có phương trình là \(4\left( {x - 5} \right) + 3\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 38 = 0\)\(y = \frac{{ - 4}}{3}x + \frac{{38}}{3} = 0\).
Suy ra đường trung trực đoạn thẳng \(AB\) có hệ số góc là \(k = - \frac{4}{3}\).
c) Giả sử đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(E\left( {a;0} \right),F\left( {0;b} \right)\) có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
Đường thẳng \[\Delta \] đi qua \(M\) nên \(\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1\).
Ta có \(\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) \ge {\left( {\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{1}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = - a\\\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\end{array} \right.\).
Vậy đường thẳng cần lập có dạng \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} = 1\).
d) Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(P\left( {5;6} \right)\)nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;4} \right)\] có phương trình là: \( - 3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 3x + 4y - 9 = 0\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua \(N\left( {3;4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {MP} = \left( {6;5} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5;6} \right)\) có phương trình là \( - 5\left( {x - 3} \right) + 6\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 5x + 6y - 9 = 0\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 4y - 9 = 0\\ - 5x + 6y - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 9\end{array} \right.\). Suy ra \(A\left( {9;9} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 10; - 8} \right)\). Suy ra đường trung tuyến \(AM\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {5;4} \right)\).
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm.
\(d\left( {I,{d_1}} \right) = \frac{{13}}{9}\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(I\) và song song với đường thẳng \({d_2}\) là: \(x + 2y - 4 = 0\).
Cho \(b \ge 1\) điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \({d_2}\) sao cho \(IM = 1\). Khi đó \(a + b = 3\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 12y + 11 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{{11}}\\y = \frac{{13}}{{11}}\end{array} \right.\).
Do đó \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm.
b) Ta có \(d\left( {I,{d_1}} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 12.1 + 11} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{13}}\).
c) Đường thẳng song song với \({d_2}\) có dạng \(x + 2y + d = 0\left( {d \ne - 3} \right)\).
Vì đường thẳng \(x + 2y + d = 0\) đi qua \(I\left( {2;1} \right)\) nên \(2 + 2.1 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 4\) (thỏa mãn).
Vậy đường thẳng cần tìm là \(x + 2y - 4 = 0\).
d) Vì \(M \in {d_2}\) nên \(M\left( {3 - 2b;b} \right)\). Ta có \(IM = 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - 2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 5{b^2} - 6b + 2 = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).
Vì \(b \ge 1\) nên \(M\left( {1;1} \right)\). Suy ra \(a + b = 2\).
\(\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 3} \right)\).
\(AC = 2\sqrt 5 \).
Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(A\left( {1;2} \right)\) là \(2x + 3y - 8 = 0\).
Phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh \(BC\) là \(2x + 3y - 14 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;3} \right)\).
b) Ta có \(AC = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).
c) Đường cao kẻ từ \(A\left( {1;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0\).
d) Trung điểm \(M\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\) là trung điểm của \(BC\).
Đường trung trực của \(BC\) đi qua \(M\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\) và có \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - \frac{{31}}{2} = 0\).
Điểm \(M\) có tọa độ là \(\left( { - 2;3} \right)\).
Điển \(N\)có tọa độ là \(\left( { - 1;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(NP\) là \(2x - y + 3 = 0\).
Phương trình đường thẳng \(MP\) là \(2x + 3y - 5 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Tọa độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 3\end{array} \right.\).
Suy ra điểm \(M\left( { - 2;3} \right)\).
b) Tọa độ của điểm \(N\)là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\3x - y + 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\).
Suy ra điểm \(N\left( { - 1;1} \right)\).
c) Các đường cao \(MK\) và \(NQ\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; - 1} \right)\).
Do đó các đường thẳng \(NP\), \(MP\) lần lượt nhận \(\overrightarrow {{n_3}} \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_4}} \left( {1;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(NP\) đi qua điểm \(N\left( { - 1;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}} \left( {1; - 1} \right)\) là \(\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\).
d) Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(MP\) đi qua điểm \(M\left( { - 2;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}} \left( {1;3} \right)\) là \(\left( {x + 2} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
Ta có \(\overrightarrow {BD} = \left( {a;b - 1} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3 - a; - b} \right)\).
Suy ra \(2\overrightarrow {BD} = 5\overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 5\left( {3 - a} \right)\\2\left( {b - 1} \right) = - 5b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{15}}{7}\\b = \frac{2}{7}\end{array} \right.\).
Suy ra \(a + 3b = \frac{{15}}{7} + \frac{6}{7} = 3\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 17
Vì \(P \in Ox\) nên \(P\left( {x;0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 8;2} \right)\), \(\overrightarrow {MP} = \left( {x - 5; - 3} \right)\).
Để ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 8 = k\left( {x - 5} \right)\\2 = k.\left( { - 3} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17\\k = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\).
Vậy \(P\left( {17;0} \right)\). Suy ra \(a + b = 17\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
Gọi \(C(x;0) \in Ox\). Ta có \(\overrightarrow {AC} = (x + 1; - 2),\overrightarrow {BC} = \left( {x - \frac{9}{2}; - 3} \right)\).
\(\Delta ABC\) vuông tại \(C \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow (x + 1)\left( {x - \frac{9}{2}} \right) + ( - 2)( - 3) = 0\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\). Vì \(C\) có tọa độ nguyên nên \(C(3;0)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 10
Đường thẳng \(\Delta \) song song \(d\) có phương trình \(2x + 6y + d = 0\left( {d \ne 3} \right)\).
Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;\;2} \right)\) nên \(2.1 + 6.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 14\).
Suy ra \(\Delta :2x + 6y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).
Do đó \(a = 1;b = 3\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 10\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Ta có \({\vec n_1}(a; - 1)\) và \({\vec n_2}(1;1)\). Theo bài ra \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \(60^\circ \) nên:
\(\cos 60^\circ = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt {{a^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{a^2} + 1} }} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 1} = \sqrt 2 |a - 1|\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 + \sqrt 3 }\\{a = 2 - \sqrt 3 {\rm{. }}}\end{array}} \right.\) Vậy có hai giá trị của \(a\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 5
Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {12.5 - 5.0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{65}}{{13}} = 5\).
Có hai con tàu cùng chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình rađa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) với đơn vị trên hai trục tính theo kilômét), tàu số 1 chuyền động đều theo đường thẳng \(\Delta \) từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\). Tàu số 2 sắp hết nhiên liệu, đang ở vị trí \(B\) muốn gặp tàu số 1 để tiếp nhiên liệu. Hỏi tàu số 2 phải đi đoạn đường ngắn nhất là bao nhiêu kilômét?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 4,6
Ta có \(A( - 5;4),B(4;3),C(3; - 2)\). Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\vec u = \overrightarrow {AC} = (8; - 6) = 2(4; - 3)\). Suy ra vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\vec n = (3;4)\).
Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là \(3(x + 5) + 4(y - 4) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 1 = 0.\)
Đoạn đường ngắn nhất tàu số 2 phải đi để gặp tàu số 1 là: \(d(B,\Delta ) = \frac{{|3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 - 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4,6(\;{\rm{km}}).\)
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Vì \(M \in \Delta \) nên giả sử \(M(2m - 1;m)\).
Tam giác \(MAB\) cân tại \(M\) nên \(MA = MB \Leftrightarrow {( - 2 - 2m)^2} + {(3 - m)^2} = {( - 2m)^2} + {(5 - m)^2} \Leftrightarrow m = 1\).
Vậy \(M(1;1)\). Do đó hoành độ điểm \(M\) là 1.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,3
Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\) là \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\).
Khi đó đường thẳng \(BC\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {4;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\) là \(2\left( {x - 4} \right) - \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0\).
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 4\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {4;\frac{{11}}{3}} \right)\).
Ta có \(d\left( {G,BC} \right) = \frac{{\left| {2.4 - \frac{{11}}{3} - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}} \approx 0,3\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\).
Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .
Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).
Suy ra \(a + b + c = 3\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0
\(N \in \Delta \) để \(ON\) nhỏ nhất thì \(ON \bot \Delta \)
\(N \in \Delta \Rightarrow N(1 + t;1 + 2t)\)
\(\overrightarrow {ON} = (1 + t;1 + 2t)\)
Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (1;2)\)
Vì \(ON \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {ON} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {ON} \cdot \overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow 1(1 + t) + 2(1 + 2t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 3}}{5} \Rightarrow N\left( {\frac{2}{5};\frac{{ - 1}}{5}} \right)\).
Suy ra \(a + 2b = 0\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
