Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Biểu thức đại số tính quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh đến Bạc Liêu là:

\(s = \left( {9x + 5} \right)\left( {x + 2} \right) = 9{x^2} + 18x + 5x + 10 = 9{x^2} + 23x + 10\,\,{\rm{(km)}}{\rm{.}}\)

Vậy biểu thức đại số tính quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh đến Bạc Liêu là \(9{x^2} + 23x + 10\,\,{\rm{(km)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Diện tích của khu vườn hình chữ nhật là:

\[{S_1} = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = {x^2} + 2x - x - 2 = {x^2} + x - 2\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Diện tích khu vườn hình vuông là:

\[{S_2} = {\left( {x + 1} \right)^2} = {x^2} + 2x + 1\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\]

Biểu thức đại số tính tổng diện tích của hai khu vườn trên là:

\[S = {S_1} + {S_2} = \left( {{x^2} + x - 2} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\]

\[ = {x^2} + x - 2 + {x^2} + 2x + 1\]

\[ = \left( {{x^2} + {x^2}} \right) + \left( {2x + x} \right) + \left( {1 - 2} \right)\]

\[ = 2{x^2} + 3x - 1\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Vậy biểu thức đại số tính tổng diện tích của hai khu vườn trên là \[2{x^2} + 3x - 1\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\]

Hướng dẫn giải

a) Đa thức biểu thị số tiền thầy Việt phải trả cho cửa hàng là:

\[\left( {x + 30} \right)\left( {y - 2\,\,000} \right)\; = xy-2\,\,000x + 30y-60\,\,000\].

b) Bậc của đa thức vừa tìm được ở câu a là bậc 2.

Thay \[x = 20\,;\,{\rm{ }}y = 7\,\,000\] vào biểu thức\[xy-2\,\,000x + 30y-60\,\,000\], ta được:

\[20 \cdot 7\,\,000-2\,\,000 \cdot 20 + 30 \cdot 7\,\,000-60\,\,000\]

\[ = 140\,\,000-40\,\,000 + 210\,\,000-60\,\,000 = 250\,\,000\] (đồng).

Vậy số tiền thầy Việt phải trả là \[250\,\,000\] đồng.

a) Chu vi mảnh đất làm nhà là: \(2\left( {x - 25 + x - 15} \right) = 2\left( {2x - 40} \right) = 4x - 80\).

Vậy đa thức biểu thị chu vi của mảnh đất làm nhà \(4x - 80\) (m).

b) Vì chu vi của mảnh đất dành để làm nhà bằng \[40\,\,{\rm{m}}\] nên ta có

\(4x - 80 = 40\) hay \(4x = 120\) nên \(x = 30\).

Diện tích của khu vườn hình vuông ban đầu là \[{30^2} = 900{\rm{ }}({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\]

Vậy diện tích của khu vườn hình vuông ban đầu là \[900{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]

Hướng dẫn giải

Chiều rộng sân cỏ hình chữ nhật là:

\(5x - 3y - 3 - 3 = 5x - 3y - 6\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}\)

Chiều dài sân cỏ hình chữ nhật là:

\(5x + 3y - 3 - 3 = 5x + 3y - 6\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích sân cỏ cỏ hình chữ nhật là:

\[S = \left( {5x - 3y - 6} \right)\left( {5x + 3y - 6} \right)\]

\[ = \left( {5x - 6 - 3y} \right)\left( {5x - 6 + 3y} \right)\]

\[ = {\left( {5x - 6} \right)^2} - {\left( {3y} \right)^2}\]

\[ = {\left( {5x - 6} \right)^2} - 9{y^2}\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}\]

Thay \(x = 10\,;\,\,y = 2\) vào biểu thức \(S\), ta được:

\[S = {\left( {5 \cdot 10 - 6} \right)^2} - 9 \cdot {2^2} = 1\,\,900\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}\]

Số tiền trồng cỏ cho mặt sân trên là:

\[1\,\,900 \cdot 50\,\,000 = 95\,\,000\,\,000\] (đồng).

Vậy số tiền trồng cỏ cho mặt sân trên là \[95\,\,000\,\,000\] đồng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1.\)

b) Với \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1,\) ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)

c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 = - 1\)

Do đó \(x = - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = - 4\) (thỏa mãn điều kiện)

Thay \(x = - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(A = - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)

Hướng dẫn giải

a) Với mọi \(x\) ta có \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 4 \ge 4 > 0.\)

Do đó biểu thức \(P\) xác định khi và chỉ khi \(x - 10 \ne 0\) và \(x + 10 \ne 0\) hay \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10.\)

b) Với \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10,\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{5x + 2}}{{x - 10}} + \frac{{5x - 2}}{{x + 10}}} \right) \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}\)

 \( = \frac{{\left( {5x + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}}{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}} \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}\)

 \( = \frac{{5{x^2} + 50x + 2x + 20 + 5{x^2} - 50x - 2x + 20}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}\)

 \( = \frac{{10{x^2} + 40}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}\) \( = \frac{{10\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{10}}{{x + 10}}.\)

Vậy với \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10\) thì \(P = \frac{{10}}{{x + 10}}.\)

c) Thay \[x = \frac{2}{5}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P = \frac{{10}}{{x + 10}},\) ta được:

\(P = \frac{{10}}{{\frac{2}{5} + 10}} = \frac{{10}}{{\frac{{52}}{5}}} = \frac{{25}}{{26}}.\)

Vậy \(P = \frac{{25}}{{26}}\) khi \[x = \frac{2}{5}.\]

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[P\] là:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\{x^2} + 2x \ne 0\\{x^3} - 4x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 \ne 0}\\{x + 2 \ne 0}\\{x \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2\;\;}\\{x \ne - 2}\\{x \ne 0\;\;}\end{array}} \right.\].

b) Với \[x \ne 2\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne 0\], ta có:

\(P = \left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{4}{{{x^3} - 4x}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]:\frac{{x - 2}}{x}\)

\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

\( = \frac{{x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x + 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + x - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x - 2 + {x^2} - x - 2 - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2{x^2} - 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{2}{{x - 2}}\).

Hướng dẫn giải

Hình 1; hình 4 có thể gấp lại (theo các nét đứt) để được hình chóp tam giác đều .

Hướng dẫn giải

a) Khối rubik có dạng như hình bên thường được gọi là hình chóp tam giác đều.

b) Số mặt là 4; số cạnh là 6; số đỉnh là 1.

c) Có 13 tam giác đều có trên một mặt của chiếc rubik này.

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy của hình lăng trụ là: \(S = {6^2} = 36\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Thể tích hình lăng trụ là \(V = S \cdot h = 36 \cdot 7 = 252\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Khi đó, thể tích khối chóp \(O.A'B'C'D'\) là:

\({V_{O.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3} \cdot 252 = 84\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Vậy thể tích khối chóp \(O.A'B'C'D'\) là \(84\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là: \[30:2 = 15{\rm{ (cm)}}.\]

Thể tích của lòng đèn quả trám là: \(V = 2.\left( {\frac{1}{3}.\,20\,.\,20\,.\,\,15} \right) = 4\,\,000\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

b) Bạn Hà muốn làm 50 cái lòng đèn hình quả trám này cần phải chuẩn bị số mét thanh tre là:

\[50\,.\,\,\left( {20\,\,.\,\,4 + 32\,\,{\rm{.}}\,\,8} \right) = 16\,\,800 (cm) = 168\,\,(m)\]

Vậy bạn Hà muốn làm 50 cái lòng đèn hình quả trám này cần phải chuẩn bị 168 mét thanh tre.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích xung quanh của chiếc đèn thả trần đó là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2}\,.\,C\,.\,d = \frac{1}{2}\,.\,\left( {3\,.\,20} \right)\,.\,\,17,32 = 519,6\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

b) Diện tích xung quanh của hình chóp là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2}\,.\,C\,.\,d = \frac{1}{2}\,.\,\left( {3\,.\,4} \right)\,.\,5 = 30\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Thể tích kim tự tháp là: \[V = \frac{1}{3}.\,{34^2}.\,21 = 8\,\,092\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].

b) Diện tích một viên gạch hình vuông là: \[S = {\left( {0,6} \right)^2} = 0,36\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Số viên gạch hình vuông cần dùng là: \(\frac{{1\,\,000}}{{0,36}} \approx 2\,\,778\) (viên)

c) Số tấm kính hình thoi trên mỗi mặt là: \(\frac{{17\,.\,\left( {17 + 1} \right)}}{2} = 153\) (tấm)

Vậy có 153 tấm kính hình thoi trên mỗi mặt.

Hướng dẫn giải

Thể tích của khối bê tông dạng hình hộp chữ nhật là:

\({V_1} = S \cdot h = {4^2} \cdot 2,5 = 40{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Phần trên của khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh của mặt đáy là \(4{\rm{ dm,}}\) chiều cao là \({\rm{10 dm}}{\rm{.}}\)

Do đó, thể tích của khối bê tông hình chóp này là:

\({V_2} = \frac{1}{3}S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot {4^2} \cdot 10 = \frac{{160}}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Thể tích của khối bê tông trên gồm hai khối là khối hình hộp chữ nhật và khối hình chóp tứ giác đều.

Vậy thể tích của khối bê tông này là: \(40 + \frac{{160}}{3} = \frac{{280}}{3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Diện tích đáy hình vuông của lều là: .

Thể tích không khí bên trong lều là:

V=13Sđáy⋅h=13⋅9⋅2,8=8,4  m3.

Vậy thể tích không khí bên trong của chiếc lều là \[8,4\;\;{{\rm{m}}^3}.\]

b) Diện tích xung quanh của lều là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3,18 = 19,08\;\;\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Diện tích cần sơn phủ cho lều là: \(S = 19,08 - 5 = 14,08\;\;\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Số tiền cần phải trả để hoàn thành việc sơn phủ cho lều là:

\(14,08 \cdot 35\,\,000 = 492\,\,800\) (đồng).

Vậy số tiền cần phải trả để hoàn thành việc sơn phủ cho lều là \(492\,\,800\) đồng.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pytthagore vào tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\).

Suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\)

Do đó \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {3,{7^2} - 1,{2^2}} = 3,5\;\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{3,5}}{{1,2}} \approx 2,9\).

Mà \(2,9 > 2,2\) nên khoảng cách đặt thang cách chân tường là không an toàn.

Hướng dẫn giải

Từ \(D\) vẽ \(Dx \bot CD\) cắt tia \(AB\) tại \(E.\)

Xét tứ giác \(BCDE\) có \(\widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {CBE} = 90^\circ \) nên \(BCDE\) là hình chữ nhật.

Do đó \(DE = BC = 12{\rm{\;cm}},\,\,BE = CD = 6{\rm{\;cm}}.\)

Có \(AE = AB + BE = 10 + 6 = 16{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ADE\) vuông tại \(E,\) ta được: \(A{D^2} = A{E^2} + D{E^2} = {16^2} + {12^2} = 400.\)

Suy ra \[AD = \sqrt {400} = 20{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Thời gian viên bi lăn theo đoạn thẳng \(AD\) là \(\frac{{20 \cdot 21}}{{28}} = 15\) (giây).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác \[ABC\] ta có:

\(B{C^2} = {5^2} = 25;\)\(A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\).

Do đó \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.\)

Theo định lý Pythagore đảo thì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\]

Vậy hai phần móng đó vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông \(AMO,\,\,ONC,\,\,OMD,\,\,OBE,\) ta tính được:

⦁ \(O{A^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) hay \(OA = 5{\rm{\;m;}}\)

⦁ \(O{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) hay \(OC = 10{\rm{\;m}};\)

⦁ \(O{D^2} = {3^2} + {8^2} = 73\) hay \(OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}};\)

⦁ \(O{B^2} = {4^2} + {6^2} = 52\) hay \(OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

Ta thấy \[OA = 5{\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OC = 10{\rm{\;m}} > 9{\rm{\;m}}\,{\rm{.}}\]

Do đó, chú cún có thể đến các vị trí \(A,\,\,D,\,\,B\) nhưng không thể đến được vị trí \(C.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \[VT = \left( {x + y} \right)\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right)\]

\[ = {x^5} - {x^4}y + {x^3}{y^2} - {x^2}{y^3} + x{y^4} + y{x^4} - {x^3}{y^2} + {x^2}{y^3} - x{y^4} + {y^5}\]

\[ = {x^5} + \left( { - {x^4}y + y{x^4}} \right) + \left( {{x^3}{y^2} - {x^3}{y^2}} \right) + \left( { - {x^2}{y^3} + {x^2}{y^3}} \right) + \left( {x{y^4} - x{y^4}} \right) + {y^5}\]

\[ = {x^5} + {y^5} = VP\].

Hướng dẫn giải

Ta có \(A = - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3.\)

Suy ra \( - A = {x^2} - 2xy + 4{y^2} - 2x - 10y + 3\)

\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + 4{y^2} - 10y + 3 - {\left( {y + 1} \right)^2}\)

\( = \left[ {{x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] + 3{y^2} - 12y + 2\)

\[ = {\left[ {x - \left( {y + 1} \right)} \right]^2} + 3\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) - 10\]

\[ = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 3{\left( {y - 2} \right)^2} - 10\].

Do đó \[A = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10\].

Nhận xét: \[ - {\left( {x - y - 1} \right)^2} \le 0;\,\,\, - 3{\left( {y - 2} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x,y\).

Suy ra \[A = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10 \le 10\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - y - 1} \right)^2} = 0\\ - 3{\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\], tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 10 khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(A = 4\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\,\,\,...\,\,\left( {{3^{64}} + 1} \right)\)

Suy ra \(2A = 2 \cdot 4\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\,\left( {{3^8} + 1} \right)\,\,...\,\,\left( {{3^{64}} + 1} \right)\)

\( = \left( {3 - 1} \right)\left( {3 + 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\,\,\,...\,\,\left( {{3^{64}} + 1} \right)\)

\( = \left( {{3^2} - 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\,\left( {{3^8} + 1} \right)\,\,...\,\,\left( {{3^{64}} + 1} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {{3^2}} \right)}^2} - 1} \right]\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\,\,\,...\,\,\left( {{3^{64}} + 1} \right)\)

\( = \left( {{3^4} - 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\,\left( {{3^8} + 1} \right)\,...\,\,\left( {{3^{64}} + 1} \right)\)

\( = \,\left[ {{{\left( {{3^4}} \right)}^2} - 1} \right]\,\left( {{3^8} + 1} \right)\,...\,\,\left( {{3^{64}} + 1} \right)\)

\( = \,\left( {{3^8} - 1} \right)\,\left( {{3^8} + 1} \right)\,...\,\,\left( {{3^{64}} + 1} \right)\)

\( = {\left( {{3^{64}}} \right)^2} - 1\)\( = {3^{128}} - 1.\)

Do đó \(A = \frac{{{3^{128}} - 1}}{2}\).

Hướng dẫn giải

Vì \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\) nên \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd = 0\). (*)

Ta có \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd\)

\( = \left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + \left( {{c^4} - 2{c^2}{d^2} + {d^4}} \right) + \left( {2{a^2}{b^2} - 4abcd + 2{c^2}{d^{^2}}} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {{a^2}} \right)}^2} - 2{a^2}{b^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {{c^2}} \right)}^2} - 2{c^2}{d^2} + {{\left( {{d^2}} \right)}^2}} \right] + 2\left[ {{{\left( {ab} \right)}^2} - 2ab.cd + {{\left( {cd} \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2}\).

Từ (*) suy ra \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2} = 0\). (**)

Mà \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} \ge 0\,,\,\,{\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} \ge 0\,,\,\,2{\left( {ab - cd} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\).

Do đó (**) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 0\\{c^2} - {d^2} = 0\\ab - cd = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 0\\\left( {c + d} \right)\left( {c - d} \right) = 0\\ab - cd = 0\end{array} \right.\).

Khi đó .

Mà \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số dương nên \(a = b = c = d\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

Để đa thức \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\) chia hết cho đơn thức \( - 4{x^m}{y^n}\) thì mọi hạng tử của đa thức \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\) đều phải chia hết cho đơn thức \( - 4{x^m}{y^n}\).

Khi đó ta cần có: Số mũ của \(x\) và số mũ của \(y\) trong \( - 4{x^m}{y^n}\) nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của \(x\) và số mũ của \(y\) trong mọi hạng tử của \(4{x^6}{y^7} - 10{x^5}{y^6} + 8{x^4}{y^5}\), tức là phải có \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 6\\m \le 5\\m \le 4\\n \le 7\\n \le 6\\n \le 5\end{array} \right.\).

Khi đó ta tìm được \(m \le 4\) và \(n \le 5\).

Mà \(m,\,\,n \in \mathbb{N}\), do đó \(m \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4} \right\}\) và \(n \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5} \right\}\).

Vậy \(m \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4} \right\}\) và \(n \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Ta có \({x^2} + {y^2} - 3x - 3y + xy + 3 = 0\)

\(2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 6y + 2xy + 6 = 0\)

\({\left( {x + y - 2} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\).

Từ đó suy ra \[x = y = 1.\]

Thay \(x = y = 1\) vào biểu thức Q ta được \(Q = {\left( {1 - 1} \right)^{2023}} + {\left( {1 - 2} \right)^{2024}} + {1^{2025}} = 0 + 1 + 1 = 2\).

Vậy \[Q = 2.\]

Hướng dẫn giải

Ta có \[M = 9{x^2} + 6{y^2} + 18x - 12xy - 12y - 27\]

\[ = 9{x^2} + 6{y^2} + 18x - 12xy - 12y - 27\]

\[ = 9{x^2} + 18x - 12xy + 9 - 12y + 4{y^2} + 2{y^2} - 36\]

\[ = 9{x^2} + 2 \cdot 3x\left( {3 - 2y} \right) + {\left( {3 - 2y} \right)^2} + 2{y^2} - 36\]

\[ = {\left[ {3x + \left( {3 - 2y} \right)} \right]^2} + 2{y^2} - 36\]

\[ = {\left[ {3x + \left( {3 - 2y} \right)} \right]^2} + 2{y^2} - 36 \ge - 36\] (vì \[{\left[ {3x + \left( {3 - 2y} \right)} \right]^2} \ge 0\]; \[2{y^2} \ge 0\]).

Dấu khi \[{\left[ {3x + \left( {3 - 2y} \right)} \right]^2} = 0\] và \[2{y^2} = 0\], do đó \[x = - 1\] và \[y = 0\].

Vậy giá trị nhỏ nhất củabiểu thức \[M\]là \[ - 36\] khi \[x = - 1\] và \[y = 0\].

Hướng dẫn giải

Vì \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\) và \(a + b + c + ab + bc + ca = 6.\)

Suy ra \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 1} \right) = 2\left( {ab + bc + ca + a + b + c} \right)\]

\[3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 3 = 2ab + 2bc + 2ca + 2a + 2b + 2c\]

\[\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2a + 1} \right) + \left( {{b^2} - 2b + 1} \right) + \left( {{c^2} - 2c + 1} \right) = 0\]

\[{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 0\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {b - c} \right)^2} = {\left( {c - a} \right)^2} = 0\\{\left( {a - 1} \right)^2} = {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {c - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a - b = b - c = c - a = 0\\a - 1 = b - 1 = c - 1 = 0\end{array} \right.\]

\[a = b = c = 1\].

Do đó \[A = \frac{{{a^9} + {b^{11}} + {c^{2025}}}}{{{a^{2023}} + {b^{2024}} + {c^{2025}}}} = \frac{{{1^9} + {1^{11}} + {1^{2025}}}}{{{1^{2023}} + {1^{2024}} + {1^{2025}}}} = \frac{{1 + 1 + 1}}{{1 + 1 + 1}} = 1.\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 2x + 6 = {x^2} - 2x + 1 + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 5\).

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 5 \ge 5\).

Để phân thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức \({x^2} - 2x + 5\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó, \(A = \frac{{35}}{{{x^2} - 2x + 6}} = \frac{{35}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 5}} \le \frac{{35}}{5} = 7\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = 1\).

 Vậy giá trị lớn nhất của phân thức \(A\) là 7 khi \(x = 1\).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \[B = \frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}}\].

Ta có \(12 - 4x - {x^2} = - {x^2} - 4x - 4 + 16 = - {\left( {x + 4} \right)^2} + 16\).

Vì \( - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 0\) nên \( - {\left( {x + 4} \right)^2} + 16 \le 16\).

Để phân thức \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức \[12 - 4x - {x^2}\] đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó, \[B = \frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}} = \frac{{12}}{{ - {{\left( {x + 4} \right)}^2} + 16}} \le \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\].

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0\) hay \(x = - 4\).

 Vậy giá trị lớn nhất của phân thức \(B\) là \[\frac{3}{4}\] khi \(x = - 4\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\left( {a - \frac{1}{b}} \right)\left( {b - \frac{1}{c}} \right)\left( {c - \frac{1}{a}} \right)\]\[ = \left( {\frac{{ab - 1}}{b}} \right)\left( {\frac{{bc - 1}}{c}} \right)\left( {\frac{{ac - 1}}{a}} \right)\]

\[ = \frac{{\left( {ab - 1} \right)\left( {bc - 1} \right)\left( {ac - 1} \right)}}{{abc}}\]\[ = \frac{{\left( {a{b^2}c - ab - bc + 1} \right)\left( {ac - 1} \right)}}{{abc}}\]

\[ = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2} - a{b^2}c - {a^2}bc + ab - ab{c^2} + bc + ac + 1}}{{abc}}\]

\[ = abc - a - b - c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{abc}}\]

\[ = abc - (a + b + c) + \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{{abc}}\]

Để \(\left( {a - \frac{1}{b}} \right)\left( {b - \frac{1}{c}} \right)\left( {c - \frac{1}{a}} \right) \in \mathbb{N}*\) thì \(a\,,\,\,b\,,\,\,c \in \mathbb{N}*\) và \[abc \in \] Ư\[\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\}.\]

Với \[a = b = c = 1\], ta có: \[abc - (a + b + c) + \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{{abc}}\]

\[ = 1 \cdot 1 \cdot 1 - \left( {1 + 1 + 1} \right) + \left( {1 + 1 + 1} \right) + 1 = 2\].

Vậy \[a = b = c = 1\].

Hướng dẫn giải

Với \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) ta xét \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\)\(\left( 1 \right)\)

Do \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) nên \(a + b + c \ne 0.\)

Khi đó ta nhân hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(a + b + c\) thì được:

\(\frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Hay \(\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {a + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Nên \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c\)

Suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Hướng dẫn giải

Diện tích của ao hình chữ nhật là: \({S_1} = x\left( {x + 200} \right) = {x^2} + 200x\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích miếng đất hình vuông là:

\({S_2} = {\left( {x + 400} \right)^2} = {x^2} + 800x + 160\,\,000\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích phần đất còn lại sau khi đã đào ao là:

\[S = {S_2} - {S_1}\]\[ = \left( {{x^2} + 800x + 160\,\,000} \right) - \left( {{x^2} + 200x} \right)\]

\[ = {x^2} + 800x + 160\,\,000 - {x^2} - 200x\]

\[ = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + 800x + \left( {160\,\,000 - 200x} \right)\]

\[ = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {800x - 200x} \right) + 160\,\,000\]

\[ = 600x + 160\,\,000\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\].

Vậy tính diện tích phần đất còn lại sau khi đào ao là \[600x + 160\,\,000\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật của bác Nam cần cải tạo để trồng rau.

Khi đó, chiều dài của khu đất đó là \(40 - 2x\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Diện tích của khu đất trồng rau là: \(S = x\left( {40 - 2x} \right)\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Ta có \(S = x\left( {40 - 2x} \right) = - 2{\left( {x - 10} \right)^2} + 200.\)

Vì \( - 2{\left( {x - 10} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x\) nên \( - 2{\left( {x - 10} \right)^2} + 200 \le 200\) với mọi \(x\).

Do đó \(S \le 200\) với mọi \(x\). Dấu”=” xảy ra khi \(x = 10.\)

Vậy diện tích lớn nhất bác Nam có thể cải tạo để vây kín lưới ba mặt là \(200\,\,{{\rm{m}}^2}\) khi chiều rộng của khu đất cần cải tạo dài 10 m.

Hướng dẫn giải

b) Độ dài đoạn \(BM\) là: \(BM = AB - AM = 100 - 5 = 45\;\;({\rm{km)}}\).

Xét \(\Delta MBC\) vuông tại \(B\), áp dụng định lý Pythagore ta có:

\(CM = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {{{60}^2} + {{45}^2}} = \sqrt {5\,\,625} = 75\) km.

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), áp dụng định lý Pythagore ta có:

\(AC = \sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{60}^2} + {{100}^2}} = \sqrt {13\,\,600} \approx 116,62\;{\rm{km}}\).

Tổng số tiền xây dựng theo phương án 1:

\({T_1} = 130\,\,000 \cdot 116,62 = 15\,\,160\,\,474,93\) (USD)

Tổng số tiền xây dựng theo phương án 2:

\({T_2} = 40\,\,000 \cdot 55 + 130\,\,000 \cdot 75 = 11\,\,950\,\,000\) (USD)

Tổng số tiền xây dựng theo phương án 3:

\({T_3} = 40\,\,000 \cdot 100 + 130\,\,000 \cdot 60 = 11\,\,800\,\,000\) (USD)

Do \({T_1} > {T_2} > {T_3}\) nên phương án 3 là phương án xây dựng đường ống mà tiết kiệm chi phí nhất.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot SI = \frac{1}{2} \cdot \left( {5 + 5 + 5} \right) \cdot 6 = 45{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên đường trung tuyến \(CI\) đồng thời là đường cao.

Xét \(\Delta ACI\) vuông tại \(I\) có \(A{C^2} = A{I^2} + C{I^2}\).

Suy ra \(C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = {5^2} - {\left( {\frac{1}{2} \cdot 5} \right)^2} = 25 - \frac{{25}}{4} = \frac{{75}}{4}\).

Do đó \(CI = \sqrt {\frac{{75}}{4}}  \approx 4,33{\rm{\;(cm)}}.\)

Diện tích đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

Sđáy=12⋅CI⋅AB≈12⋅4,33⋅5≈10,83 cm2.

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

Stp=Sxq+Sđáy≈45+10,83=55,83  cm2.

Vậy hình chóp \(S.ABC\) có diện tích xung quanh là \(45{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\) và diện tích toàn phần là \(55,83{\rm{\;}}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)