Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để hai đồ thị \[y = x + m + 1\] và $y=3+\left(m–1\right)x.$ cắt nhau thì \(m - 1 \ne 1,\) tức là \(m \ne 2.\)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) nằm trên trục hoành thì giao điểm này có tung độ bằng 0, tức \({y_A} = 0.\)

Thay \(x = {x_A}\), \(y = {y_A} = 0\) vào hàm số \[y = x + m + 1\] ta được: \[0 = {x_A} + m + 1,\] suy ra \({x_A} = - \left( {m + 1} \right).\)

Thay \(x = {x_A}\), \(y = {y_A} = 0\) vào hàm số $y=3+\left(m–1\right)x.$ ta được: $0=3+\left(m–1\right)x_A.\left(*\right)$

Thay \({x_A} = - \left( {m + 1} \right)\) vào \(\left( * \right)\) ta được $0=3+\left(m–1\right)\left[-\left(m+1\right)\right]$

\[0 = 3 - \left( {{m^2} - 1} \right)\]

\[{m^2} = 4\]

\(m = 2\) (không thỏa mãn) hoặc \(m = - 2\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - 2.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để hai đồ thị \[y = x + {m^2} + 1\] và $y=5+\left(m–1\right)x$ cắt nhau thì \(m - 1 \ne 1,\) tức là \(m \ne 2.\)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) nằm trên trục tung thì giao điểm này có hoành độ bằng 0, tức \({x_A} = 0.\)

Thay \(y = {y_A}\) và \(x = {x_A} = 0\) vào hàm số \[y = x + {m^2} + 1\] ta được: \[{y_A} = 0 + {m^2} + 1 = {m^2} + 1.\,\,\,\left( 1 \right)\]

Thay \(y = {y_A}\) và \(x = {x_A} = 0\) vào hàm số $y=5+\left(m–1\right)x$ ta được: $y_A=5+\left(m–1\right)\cdot 0=5.\left(2\right)$

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \({m^2} + 1 = 5.\)

Do đó \({m^2} = 4\) nên \(m = 2\) (không thỏa mãn) hoặc \(m = - 2\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - 2.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(d:y = \left( {m + 2} \right)x - 5\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right),\) nên ta có:

\(2 = \left( {m + 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) - 5\)

\(m + 2 = - 7.\)

Khi đó ta có đường thẳng \(d:y = - 7x - 5,\) đường thẳng này có hệ số góc là \( - 7.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hình chóp tam giác đều có đáy là một tam giác đều và các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau chung một đỉnh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hình chóp tam giác đều có 4 mặt, 6 cạnh.

Hình chóp tứ giác đều có 5 đỉnh, đáy là hình vuông.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích nửa chu vi đáy và trung đoạn:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Công thức tính thể tích hình chóp đều là: \(V = \frac{1}{3}Sh.\)

Suy ra, diện tích đáy của hình chóp đều là: \(S = \frac{{3V}}{h}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều đó là: \({S_{day}} = {4^2} = 16{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó là: \({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 4} \right) \cdot 5 = 40{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích tất cả các mặt của hình chóp đó là: \(S = {S_{day}} + {S_{xq}} = 16 + 40 = 56{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nửa chu vi đáy của hình chóp tứ giác đều đó là: \(\frac{{4 \cdot 48}}{2} = 96{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Độ dài trung đoạn của hình chóp tứ giác đều đó là: \(\frac{{3\,\,840}}{{96}} = 40{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều đó là: \(\frac{{3 \cdot 200}}{{12}} = 50{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều đó là: \(\sqrt {50} = 5\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: C

Gọi \(M\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(AB\). Khi đó \(\Delta ABC\) đều có đường cao \(CM\) đồng thời là đường trung tuyến, nên \(M\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC.\)

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(H\) là trọng tâm của tam giác, do đó \(HC = \frac{2}{3}MC\) nên \(MC = \frac{3}{2}HC = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt 3  = {\rm{3}}\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: D

Hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có các mặt bên là tam giác đều với cạnh dài 5 cm nên mặt đáy \(ABC\) cũng là tam giác đều có cạnh là 5 cm. Kẻ \(CM \bot AB,\) khi đó \(\Delta ABC\) đều có đường cao \(CM\) đồng thời là đường trung tuyến, nên \(M\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta MBC\) vuông tại \(M,\) theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = M{B^2} + M{C^2}\)

Suy ra \(M{C^2} = B{C^2} - M{B^2} = {5^2} - 2,{5^2} = 18,75 = \frac{{75}}{4}.\)

Do đó \(MC = \sqrt {\frac{{75}}{4}} = \sqrt {\frac{{{5^2} \cdot {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{2^2}}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mặt đáy \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}MC \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cdot 5 = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Thể tích của hình chóp tam giác đều đã cho là: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{4} \cdot 4 = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có các mặt bên là tam giác đều với cạnh dài 12 cm nên mặt đáy \(ABC\) cũng là tam giác đều có cạnh là 12 cm. Kẻ \(CM \bot AB,\) khi đó \(\Delta ABC\) đều có đường cao \(CM\) đồng thời là đường trung tuyến, nên \(M\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta MBC\) vuông tại \(M,\) theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = M{B^2} + M{C^2}\)

Suy ra \(M{C^2} = B{C^2} - M{B^2} = {12^2} - {6^2} = 108.\)

Do đó \(MC = \sqrt {108} = \sqrt {{{36}^2} \cdot {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}} = 6\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Vì các mặt của hình chóp đã cho đều là tam giác đều nên trung đoạn của hình chóp này cũng bằng \(6\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mặt đáy \(ABC\) là:

Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) là: \[{S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {3 \cdot 12} \right) \cdot 6\sqrt 3 = 108\sqrt 3 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Diện tích tất cả các mặt của hình chóp là:

Diện tích giấy cần dùng là: \(144\sqrt 3 \cdot \left( {100\% + 15\% } \right) = 165,6\sqrt 3 \approx 287{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\), ta được: \(M{N^2} = N{P^2} + M{P^2}\).

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: D Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AC = AB = 2{\rm{\;cm}}\). Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\), ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8.\) Do đó \(BC = \sqrt 8  = \sqrt {4 \cdot 2}  = \sqrt {{2^2} \cdot {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: A Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\). Suy ra \(A{B^2} = A{C^2} - B{C^2} = {13^2} - {12^2} = 25.\) Do đó \(AB = \sqrt {25} = 5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Vì \[{11^2} \ne {7^2} + {8^2}\] nên theo định lí Pythagore đảo thì tam giác có độ dài ba cạnh 11 cm, 7 cm, 8 cm không phải là tam giác vuông.

⦁ Vì \[{18^2} \ne {12^2} + {5^2}\] nên theo định lí Pythagore đảo thì tam giác có độ dài ba cạnh 12 dm, 15 dm, 18 dm không phải là tam giác vuông.

⦁ Vì \[{15^2} = {12^2} + {9^2}\] nên theo định lí Pythagore đảo thì tam giác có độ dài ba cạnh 9 m, 12 m, 15 m là tam giác vuông.

⦁ Vì \[{9^2} \ne {6^2} + {7^2}\] nên theo định lí Pythagore đảo thì tam giác có độ dài ba cạnh 6 mm, 7 mm, 9 mm không phải là tam giác vuông.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: A Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC.\) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) hay \({\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} = 2A{B^2}\) nên \(A{B^2} = 16\), suy ra \(AB = 4{\rm{\;cm}}\). Chu vi của hình vuông là: \[4 \cdot 4 = 16{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tứ giác \(ABCD\) ta có: \(\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 360^\circ \)

Suy ra \[\widehat {C\,} = 360^\circ - \left( {\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ - \left( {65^\circ + 130^\circ + 58^\circ } \right) = 107^\circ .\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,PQ\) nên \(\widehat {N\,} + \widehat {P\,} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {N\,} = 180^\circ - \widehat {P\,} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ .\)

Vì \(MNPQ\) là hình thang cân nên \(\widehat {M\,} = \widehat {N\,} = 110^\circ .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giả sử ta có tứ giác \(ABCD\).

⦁ Nếu tứ giác \(ABCD\) có 4 góc nhọn thì \(\widehat {A\,} < 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} < 90^\circ ,\,\,\widehat {C\,} < 90^\circ ,\,\,\widehat {D\,} < 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} < 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ \) (mâu thuẫn với định lí tổng các góc của một tứ giác).

⦁ Tương tự, nếu tứ giác \(ABCD\) có 4 góc tù thì \(\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} > 360^\circ \) (mâu thuẫn với định lí tổng các góc của một tứ giác).

⦁ Tương tự, nếu tứ giác \(ABCD\) có 1 góc vuông và 3 góc nhọn thì \(\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} < 360^\circ \) (mâu thuẫn với định lí tổng các góc của một tứ giác).

⦁ Nếu tứ giác \(ABCD\) có 4 góc vuông thì \(\widehat {A\,} = \widehat {B\,} = \widehat {C\,} = \widehat {D\,} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ \) (đúng với định lí tổng các góc của một tứ giác).

Vậy các góc của một tứ giác có thể là 4 góc vuông.

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: C Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) trung tuyến \(AM\) ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC\) hay \(BC = 2AM = 2 \cdot 5 = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hình bình hành luôn có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên phương án A là khẳng định sai.

Hình chữ nhật luôn có hai đường chéo bằng nhau nên phương án B là khẳng định sai.

Hình chữ nhật luôn có các góc là góc vuông nên phương án C là khẳng định sai.

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. Do đó phương án D là khẳng định đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. Do đó phương án A là nhận định đúng.

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Do đó phương án B là nhận định đúng.

Hình thoi luôn có hai cạnh kề bằng nhau. Do đó phương án C là nhận định sai.

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. Do đó phương án D là nhận định đúng.

Đáp án đúng là: D

Hình bình hành, hình thoi có hai góc đối bằng nhau nên phương án A, B, C là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành không có hai đường chéo bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành luôn có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó phương án A là nhận định sai.

Hình thoi luôn có mỗi đường chéo là đường phân giác của một góc. Do đó phương án B là nhận định sai.

Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. Do đó phương án C là nhận định đúng.

Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông. Do đó phương án D là nhận định sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.

Tứ giác có 4 góc bằng nhau (bằng \(90^\circ )\) là hình chữ nhật.

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau là hình vuông.

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau không phải là hình bình hành.