Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

a) \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) - x\left( {x + 6} \right) = 4\)

\({x^2} + 3x + 2x + 6 - {x^2} - 6x = 4\)

\( - x + 6 = 4\)

\( - x = - 2\)

\(x = 2\).

Vậy \(x = 2.\)

b) \(\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + x\left( {3 - {x^2}} \right) = x\)

\(\left( {{x^3} - {2^3}} \right) + \left( {3x - {x^3}} \right) - x = 0\)

\(2x - 8 = 0\)

\(2x = 8\)

\(x = 4\).

Vậy \(x = 4\).

c) \({x^2} - 5x = 0\)

\(x\left( {x - 5} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x - 5 = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x = 5\)

Vậy \(x = 0\); \(x = 5\).

d) \[x\left( {x - 4} \right) - x + 4 = 0\]

\(x\left( {x - 4} \right) - \left( {x - 4} \right) = 0\)

\(\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(x - 4 = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\)

\(x = 4\) hoặc \(x = 1\).

Vậy \(x = 4\); \(x = 1\).

e) \({x^2} - 4 - \left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - 1} \right) = 0\)

\[\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\]

\(x - 2 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 2\) hoặc \(x = - 1\).

Vậy \(x = 2\); \(x = - 1\).

f) \({\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\)

\[\left( {x + 2 + 2x - 1} \right)\left( {x + 2 - 2x + 1} \right) = 0\]

\[\left( {3x + 1} \right)\left( { - x + 3} \right) = 0\]

\(3x + 1 = 0\) hoặc \( - x + 3 = 0\)

\(3x = - 1\) hoặc \( - x = - 3\)

\(x = - \frac{1}{3}\) hoặc \(x = 3\)

Vậy \(x = - \frac{1}{3}\); \(x = 3\).

g) \[4{\left( {x - 2} \right)^2} = 25{\left( {1 - 3x} \right)^2}\]

\[{\left[ {2\left( {x - 2} \right)} \right]^2} = {\left[ {5\left( {1 - 3x} \right)} \right]^2}\]

\[{\left( {2x - 4} \right)^2} - {\left( {5 - 15x} \right)^2} = 0\]

\[\left( {2x - 4 + 5 - 15x} \right)\left( {2x - 4 - 5 + 15x} \right) = 0\]

\[\left( { - 13x + 1} \right)\left( {17x - 9} \right) = 0\]

\[ - 13x + 1 = 0\] hoặc \[17x - 9 = 0\]

\( - 13x = - 1\) hoặc \(17x = 9\)

\(x = \frac{1}{{13}}\) hoặc \(x = \frac{9}{{17}}\).

Vậy \(x = \frac{1}{{13}}\); \(x = \frac{9}{{17}}\).

h) \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\)

\(2{x^2} - 2x - 3x + 3 = 0\)

\(\left( {2{x^2} - 2x} \right) - \left( {3x - 3} \right) = 0\)

\(2x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(2x - 3 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\)

Vậy \(x = 1\); \(x = \frac{3}{2}\).

a) \(\frac{9}{{x - 3}} + \frac{{3x}}{{3 - x}} = \frac{9}{{x - 3}} - \frac{{3x}}{{x - 3}}\)

\( = \frac{{9 - 3x}}{{x - 3}} = \frac{{ - 3\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = - 3.\)

b) \[\frac{{xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{{{x^2}}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{xy}}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\]

\[ = \frac{{xy + {x^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{x}{{x - y}}.\]

c) \[\frac{{x + 5}}{{2x - 3}} - \frac{{2x - 7}}{{3 - 2x}} - \frac{{x + 4}}{{3 - 2x}}\]

\[ = \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} + \frac{{2x - 7}}{{2x - 3}} + \frac{{x + 4}}{{2x - 3}}\]\[ = \frac{{x + 5 + 2x - 7 + x + 4}}{{2x - 3}} = \frac{{4x + 2}}{{2x - 3}}.\]

d) \[\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\]

\[ = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} - \frac{{2x - 2{x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\]

\[ = \frac{{4 - {x^2} - 2x + 2{x^2} + 5 - 4x}}{{x - 3}}\]
\[ = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{x - 3}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x - 3}} = x - 3.\]

e) \[\frac{{2{x^2} - 20x + 50}}{{3x + 3}} \cdot \frac{{{x^2} - 1}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\]

\[ = \frac{{2{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} = \frac{{x - 1}}{{6\left( {x - 5} \right)}}.\]

f) \(\frac{{x - 2}}{{x + 1}}:\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} - 2x - 3}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \cdot \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - 5x + 6}}\)

\( = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \cdot \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = 1.\)

g) \[\frac{x}{{x - 2y}} + \frac{x}{{x + 2y}} + \frac{{4xy}}{{4{y^2} - {x^2}}}\]

\[ = \frac{x}{{x - 2y}} + \frac{x}{{x + 2y}} - \frac{{4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\]

\[ = \frac{{x\left( {x + 2y} \right) + x\left( {x - 2y} \right) - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 2xy + {x^2} - 2xy - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\]

\[ = \frac{{2{x^2} - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\]

\[ = \frac{{2x\left( {x - 2y} \right)}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{2x}}{{x + 2y}}.\]

h) \[\frac{1}{{x - y}} + \frac{{3xy}}{{{y^3} - {x^3}}} + \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\]

\[ = \frac{1}{{x - y}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + xy + {y^2} - 3xy + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\]

\[ = \frac{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\]\[ = \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\].

i) \(\left( {\frac{2}{{x + 2}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2} - 1}}\)

\( = \frac{{2x - 2 + 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}.\)

j) \(1 + \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right)\)

\( = 1 + \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left[ {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right]\)

\( = 1 - \frac{{x\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{1 + x - 1}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\)
\( = 1 - \frac{{x\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\)

\( = 1 - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{{{x^2} + 1}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(9 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 9} \right) = - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x + 3 \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0,\) tức là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3.\)

b) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3,\) ta có:

\(A = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} - \frac{{18}}{{9 - {x^2}}}\)\( = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{{x^2} - 9}}\)

   \( = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{3 \cdot \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

   \( = \frac{{3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

   \( = \frac{{3x - 9 + x + 3 + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x - 3}}.\)

Vậy với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3,\) thì \(A = \frac{4}{{x - 3}}.\)

c) Với \(x = - 1\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(A = \frac{4}{{x - 3}},\) ta được:

\(A = \frac{4}{{ - 1 - 3}} = \frac{4}{{ - 4}} = - 1.\)

Vậy \(A = - 1\) khi \(x = - 1.\)

d) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3,\) thì \(A = \frac{4}{{x - 3}}.\)

Để \(A = - 4\) thì\(\frac{4}{{x - 3}} = - 4\), do đó \(x - 3 = - 1,\) nên \(x = 2\) (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy với \(x = 2\) thì \(A = - 4.\)

Hướng dẫn giải

a) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) ta có:

\(B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x + 1}}\).

Vậy với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

b) Với \(x = - \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(B = \frac{4}{{x + 1}},\) ta được:

\(B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.\)

Vậy với \(x = - \frac{1}{2}\) thì \(B = 8.\)

c) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x\) là số nguyên, để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) là ước của \(4.\)

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

\(x + 1\)	\(1\)	\( - 1\)	\(2\)	\( - 2\)	\(4\)	\( - 4\)
\(x\)	\(0\)	\( - 2\)	\(1\)	\( - 3\)	\(3\)	\( - 5\)
Đối chiếu \(x \in \mathbb{Z},\) \(x \ne 1,\,\,x \ne - 1\)	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Không thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn	Thỏa mãn

Do đó: \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Vậy để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[{x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 = x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right).\]

\(2 - x = - \left( {x - 2} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là \(x + 3 \ne 0\) và \(x - 2 \ne 0\), tức là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

Vậy biểu thức \(C\) xác định khi \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

b) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[C = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}\]\[ = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}\]

     \[ = \frac{{\left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) - 5 - 1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{{x^2} - 4 - 5 - x - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

     \[ = \frac{{{x^2} - x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

     \[ = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

Vậy \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) thì \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

c) Ta có: \[{x^2} - 9 = 0\]

              \[\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

               \[x = 3\] (thoả mãn điều kiện) hoặc \[x = - 3\] (không thỏa mãn điều kiện).

Thay \[x = 3\] vào biểu thức \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}},\] ta được: \[C = \frac{{3 - 4}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.\]

Vậy \[C = - 1\] khi \[{x^2} - 9 = 0.\]

d) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có: \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 2}}{{x - 2}} = 1 - \frac{2}{{x - 2}}.\]

Với \(x\) là số nguyên, để \[C\] cũng có giá trị nguyên thì \[x - 2\] là ước của \(2.\)

Mà Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\, - 2;\,\,2} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

\[x - 2\]	\[ - 1\]	\[1\]	\[ - 2\]	\[2\]
\[x\]	\[1\] (thoả mãn)	\[3\] (thoả mãn)	\[0\] (thoả mãn)	\[4\] (thoả mãn)
\[C = 1 - \frac{2}{{x - 2}}\]	\[C = 1 - \frac{2}{{ - 1}} = 3\]	\[C = 1 - \frac{2}{1} = - 1\]	\[C = 1 - \frac{2}{{ - 2}} = 2\]	\[C = 1 - \frac{2}{2} = 0\]

Do đó, để \(C\) có giá trị là số nguyên dương lớn nhất thì \(C = 3.\)

Vậy \(x = 1\) thì \(C\) đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là \(C = 3.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁\({x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).\)

⦁\[\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\]

Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)\]

     \[ = \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]\]

     \[ = \frac{{x - 4 + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}:\frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\]

     \[ = \frac{{3x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\]

     \[ = \frac{{3x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\]

Vậy với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\)

b) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có: \(D > 0\) khi \(\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,\) do đó \( - 3x + 4 > 0\) (vì \(4 > 0).\)

Suy ra \(3x < 4,\) nên \(x < \frac{4}{3}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta được \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0.\)

Vậy với \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0\) thì \(D > 0.\)

c) Để \(D\) là số nguyên âm lớn nhất thì \(D = - 1,\) khi đó:

\(\frac{{ - 3x + 4}}{4} = - 1\)

\( - 3x + 4 = - 4\)

\( - 3x = - 8\)

\(x = \frac{8}{3}\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy với \(x = \frac{8}{3}\) thì \(D\) có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - \frac{{4x}}{x}} \right) + 1\]

\[ = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4 - 4x}}{x} + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{x} + 1\]

\[ = \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\]

Vậy với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\)

b) Ta có \[\left| {4 - x} \right| = 2\]

Trường hợp 1. \[4 - x = 2\]  \(x = 2\) (không thoả mãn).

Trường hợp 1. \[4 - x = - 2\]  \(x = 6\) (thoả mãn).

Thay \[x = 6\] vào biểu thức \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}},\) ta được:

\[M = \frac{{{6^2} + 6 - 2}}{{{6^2}}} = \frac{{36 + 6 - 2}}{{36}} = \frac{{10}}{9}.\]

Vậy \(M = \frac{{10}}{9}\) khi \[\left| {4 - x} \right| = 2.\]

c) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có \[M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}.\]

Đặt \[\frac{1}{x} = t\,\,\,\left( {t \ne 0;\,\,t \ne \frac{1}{2}} \right),\] khi đó:

\[M = 1 + t - 2{t^2} = - 2\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}} \right) = - 2\left( {{t^2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)\]

\[ = - 2\left[ {{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right] = \frac{9}{8} - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2}.\]

Vì \[{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[ - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le 0,\] do đó \[P \le \frac{9}{8}.\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi \[t - \frac{1}{4} = 0,\] tức là \[t = \frac{1}{4}\] (thoả mãn).

Với \(t = \frac{1}{4},\) ta có \[\frac{1}{x} = \frac{1}{4},\] suy ra \[x = 4.\]

Vậy giá trị lớn nhất của \[M\] là \[\frac{9}{8}\] khi \[x = 4.\]

Hướng dẫn giải a) Với \(m = 0,\) ta có \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\] ⦁ Xét hàm số \[y = 2x + 4\] có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\) Cho \(x = 0,\) ta được \(y = 4.\) Cho \(x = - 2,\) ta được \(y = 0.\) Đồ thị hàm số \[y = 2x + 4\] là đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;4} \right)\) và \(\left( { - 2;0} \right)\) (hình vẽ). ⦁ Xét hàm số \[y = - 2x\] có đồ thị là đường thẳng \[\left( {d'} \right).\]

Cho \(x = 0,\) ta được \(y = 0.\)

Cho \(x = - 1,\) ta được \(y = 2.\)

Đồ thị hàm số \[y = - 2x\] là đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\) (hình vẽ).

b) Với \(m = 0,\) ta có \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\]

Xét hai đường thẳng \[\left( d \right):y = 2x + 4\] và \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\]

Hai đường thẳng trên cắt nhau do có hệ số khác nhau.

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng trên là nghiệm của phương trình:

\(2x + 4 = - 2x\)

\(4x = 4\)

\(x = 1.\)

Thay \(x = 1\) vào hàm số \[y = - 2x\] ta được: \(y = - 2 \cdot 1 = - 2.\)

Vậy tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \[\left( {d'} \right)\] là \(\left( {1; - 2} \right).\)

c) Để \[\left( d \right)\] song song với \[\left( {d'} \right)\] thì \(m - 2 = 2\) và \(m \ne 4\), tức là \(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4)\)

Do đó không có giá trị nào của \(m\) để hai đường thẳng \[\left( d \right)\] và \[\left( {d'} \right)\] song song với nhau.

d) Để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( {d'} \right)\] thì \(m - 2 \ne 2,\) hay \(m \ne 4.\)

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng trên.

Để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( {d'} \right)\] tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) thuộc trục hoành thì \({y_A} = 0.\)

Thay \(x = {x_A}\) và \(y = {y_A} = 0\) vào hàm số \[y = 2x + 4\] ta được \(0 = 2{x_A} + 4,\) suy ra \({x_A} = - 2.\)

Thay \(x = {x_A} = - 2\) và \(y = {y_A} = 0\) vào \[y = \left( {m-2} \right)x + m\] ta được:

\(0 = \left( {m - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + m\)

\( - 2m + 4 + m = 0\)

\(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng \[y = \left( {3-m} \right)x + 3m + 2\] đi qua điểm \[\left( {1;3} \right)\] thì \(x = 1\) và \(y = 3\) thỏa mãn hàm số trên.

Do đó ta có: \[3 = \left( {3-m} \right) \cdot 1 + 3m + 2\]

\[3 = 3-m + 3m + 2\]

\[2m =  - 2\]

 \(m =  - 1.\)

Vậy \(m =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Để đường thẳng \[y = \left( {3-m} \right)x + 3m + 2\] cắt đường thẳng \[y = x-1\] thì \(3 - m \ne 1,\) hay \(m \ne 2.\)

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng.

Để hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) nằm trên trục tung thì \({x_A} = 0.\)

Thay \(x = {x_A} = 0\) và \(y = {y_A}\) vào hàm số \[y = x--1\] ta được \({y_A} = 0 - 1 =  - 1.\)

Thay \(x = {x_A} = 0\) và \(y = {y_A} =  - 1\) vào hàm số \[y = \left( {3--m} \right)x + 3m + 2\] ta được:

\[ - 1 = \left( {3-m} \right) \cdot 0 + 3m + 2\]

\[ - 1 = 3m + 2\]

\[m =  - 1\] (thỏa mãn \(m \ne 2).\)

Vậy \(m =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - 2x = 1,5x + 7\)

\( - 3,5x = 7\)

\(x =  - 2.\)

Thay \(x =  - 2\) vào hàm số \(y =  - 2x,\) ta được \(y =  - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 4.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( { - 2;4} \right).\)

b) Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_1}} \right)\) thì \( - 2m \ne  - 2,\) hay \(m \ne 1.\)

Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) thì \( - 2m \ne 1,5,\) hay \(m \ne  - \frac{3}{4}.\)

Khi đó, để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau tại một điểm thì đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) cần đi qua giao điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

Do đó \(4 =  - 2m \cdot \left( { - 2} \right) + 5\)

\(4m =  - 1\)

\(m =  - \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m =- \frac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm A3;–1 nên ta có:

\[ - 1 = a \cdot 3 + b,\] do đó \(b = - 3a - 1.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm B2;–5 nên ta có:

\[ - 5 = a \cdot 2 + b\,\,\left( * \right)\]

Thay \(b = - 3a - 1\) vào \(\left( * \right)\) ta được:

\[ - 5 = a \cdot 2 - 3a - 1\]

\(a = 4.\)

Suy ra b=−3⋅4−1=−13.

Vậy \(a = 4\) và \(b = - 13.\)

b) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = a \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\) Khi đó ta có hàm số \(y = ax + 5.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + 5{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\) nên ta có:

\(0 = a \cdot \left( { - 1} \right) + 5,\) do đó \(a = 5.\)

Vậy \(a = 5\) và \(b = 5.\)

c) Do đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24,\) nên ta có \(a = \frac{3}{2}\) và \(b \ne - 24.\) Khi đó ta có hàm số \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right).\]

Hoành độ giao điểm của \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và \[\left( {{d_2}} \right):y = 2x--3\] là nghiệm của phương trình:

\(x + 1 = 2x - 3\)

\(x = 4.\)

Thay \(x = 4\) vào hàm số \(y = x + 1\) ta được \(y = 4 + 1 = 5.\)

Do đó hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại điểm \(\left( {4;5} \right).\)

Do đường thẳng \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right)\] đi qua điểm \(\left( {4;5} \right)\) nên ta có:

\[5 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b,\] do đó \(b = - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = - 1.\)

d) Do đường thẳng \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x + 9\) nên ta có \(a \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - 1,\) suy ra \(a = 4\) (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số \(y = 4x + b.\)

Đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = 4 \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b = 5.\)

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng y=3–2mx+m+4. song song với trục hoành thì \(3 - 2m = 0\) và \(m + 4 \ne 0.\)

Do đó \(m = \frac{3}{2}\) và \(m \ne - 4.\)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng y=3–2mx+m+4 luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

Khi đó tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hàm số y=3–2mx+m+4. với mọi giá trị của \[m.\]

Tức là, y0=3–2mx0+m+4 đúng với mọi \(m\)

y0=3x0–2mx0+m+4 đúng với mọi \(m\)

2x0−1m=3x0−y0+4 đúng với mọi \(m\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \[2{x_0} - 1 = 0\] và \[3{x_0} - {y_0} + 4 = 0\]

Tức là \({x_0} = \frac{1}{2}\) và \({y_0} = 3{x_0} + 4 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}.\)

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m\] là \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right).\)

 

c) Để hai đường thẳng y=3–2mx+m+4 và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] cắt nhau thì \(3 - 2m \ne 2,\) do đó \(m \ne \frac{1}{2}.\)

Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng y=3–2mx+m+4. và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] là nghiệm của phương trình:

3–2mxM+m+4=2xM−2m2+2m+4

3–2m−2xM+m+4+2m2−2m−4=0

1–2mxM+2m2−m=0 *

Vì \(m \ne \frac{1}{2}\) nên ta có \(1 - 2m \ne 0,\) khi đó từ \(\left( * \right)\) ta có:

\[{x_M} = - \frac{{2{m^2} - m}}{{1--2m}} = \frac{{m\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = m.\]

Thay \[{x_M} = m\] vào hàm số \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4,\] ta được: \[{y_M} = 2m - 2{m^2} + 2m + 4 = - 2{m^2} + 4m + 4\]

Do đó \({y_M} = - 2x_M^2 + 4{x_M} + 4.\)

Vậy giao điểm \(M\) của hai đồ thị đã cho là một điểm nằm trên đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2} + 4x + 4.\)

Hướng dẫn giải

a) Nhiệt lượng chì tỏa ra để giảm nhiệt độ từ \(100^\circ {\rm{C}}\) xuống \(t^\circ {\rm{C}}\) là:

\({Q_{chi}} = 0,31 \cdot 130 \cdot \left( {100 - t} \right) = - 40,3t + 4\,\,030\) (J).

Công thức trên là hàm số bậc nhất với hệ số \(a = - 40,3\) và \(b = 4\,\,030.\)

b) Nhiệt lượng chì thu vào để tăng nhiệt độ từ \(58,5^\circ {\rm{C}}\) lên \(t^\circ {\rm{C}}\) là:

\({Q_{chi}} = 0,25 \cdot 4\,\,200 \cdot \left( {t - 58,5} \right) = 1\,\,050t - 61\,\,425\) (J).

Khi cân bằng nhiệt, nhiệt lượng tỏa ra bằng với nhiệt lượng thu vào nên ta có: \({Q_{nuoc}} = {Q_{chi}}\)

Do đó \(1\,\,050t - 61\,\,425 = - 40,3t + 4\,\,030\)

\(1\,\,090,3t = 65\,\,455\)

\(t \approx 60\)

Vậy nhiệt độ của nước và chì khi đạt trạng thái cân bằng nhiệt là khoảng \(60^\circ {\rm{C}}.\)