Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 1

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[M = A + B\]

Suy ra \[M = \left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3xy - 3} \right) + \left( { - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1} \right)\]

                 \[ = {x^3} - 3{x^2}y + 3xy - 3 - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1\]

                 \[ = \left( {{x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( { - 3{x^2}y - {x^2}y} \right) + \left( {3xy + xy} \right) + \left( { - 3 + 1} \right)\]

                 \[ = - {x^3} - 4{x^2}y + 4xy - 2.\]

Đa thức \[M = - {x^3} - 4{x^2}y + 4xy - 2\] có bậc bằng 3 vì tổng các lũy thừa cao nhất của biến có trong các hạng tử của \[M\] bằng 3.

b) Ta có: \[N = B - A\]

Suy ra \[N = \left( { - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1} \right) - \left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3xy - 3} \right)\]

               \[ = - 2{x^3} - {x^2}y + xy + 1 - {x^3} + 3{x^2}y - 3xy + 3\]

               \[ = \left( { - 2{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - {x^2}y + 3{x^2}y} \right) + \left( {xy - 3xy} \right) + \left( {1 + 3} \right)\]

               \[ = - 3{x^3} + 2{x^2}y - 2xy + 4\]

Với \(x = 1;y = - 1\) thì \[N = - 3 \cdot {1^3} + 2 \cdot {1^2} \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 4\]

\[ = - 3 - 2 + 2 + 4 = 1.\]

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức \[P\]

\[P = xy\left( {{x^2}y - 5x - {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - y} \right)\left( {x{y^2} - 3{x^2}y + 1} \right) + 5{x^2}y + 3{x^2}{y^2}\]

 \[ = {x^3}{y^2} - 5{x^2}y - x{y^3} - \left( {{x^3}{y^2} - 3{x^4}y + {x^2} - x{y^3} + 3{x^2}{y^2} - y} \right) + 5{x^2}y + 3{x^2}{y^2}\]

 \[ = {x^3}{y^2} - 5{x^2}y - x{y^3} - {x^3}{y^2} + 3{x^4}y - {x^2} + x{y^3} - 3{x^2}{y^2} + y + 5{x^2}y + 3{x^2}{y^2}\]

 \[ = \left( {{x^3}{y^2} - {x^3}{y^2}} \right) + \left( { - 5{x^2}y + 5{x^2}y} \right) + \left( { - x{y^3} + x{y^3}} \right) + \left( { - 3{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2}} \right) + 3{x^4}y - {x^2} + y\]

 \[ = 3{x^4}y - {x^2} + y\].

b) Với \[x = - 1;\,\,y = 1\] thay vào biểu thức \(P\) đã thu gọn, ta được:

\[P = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^4} \cdot 1 - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 3 - 1 + 1 = 3.\]

Hướng dẫn giải

Ta có:

⦁\({x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\);

⦁\({\left( {x + 1} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\);

⦁\(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^2} - 9\);

⦁\({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 = {\left( {x - 2} \right)^3}\);

⦁\(\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} + 5x + 25} \right) = {x^3} - 125\);

⦁\({x^2} - 12x + 36 = {\left( {x - 6} \right)^2}\);

⦁\({\left( {x + 7} \right)^2} = {x^2} + 14x + 49\).

Vậy, ta nối như sau:

1 – C, 2 – H, 3 – A, 4 – G, 5 – B, 6 – K, 7 – D.

a) \(3{x^2}y\left( {x - y} \right) + 2x\left( {{x^2}y + x{y^2}} \right)\)

\( = 3{x^3}y - 3{x^2}{y^2} + 2{x^3}y + {x^2}{y^2}\)

\( = \left( {3{x^3}y + 2{x^3}y} \right) + \left( { - 3{x^2}{y^2} + {x^2}{y^2}} \right)\)

\( = 5{x^3}y - 2{x^2}{y^2}.\)

b) \(xy\left( {x - y} \right) - \left( {2x - xy} \right)\left( {xy + x{y^2}} \right)\)

\( = {x^2}y - x{y^2} - \left[ {2x\left( {xy + x{y^2}} \right) - xy\left( {xy + x{y^2}} \right)} \right]\)

\( = {x^2}y - x{y^2} - \left[ {2{x^2}y + 2{x^2}{y^2} - {x^2}{y^2} - {x^2}{y^3}} \right]\)

\( = {x^2}y - x{y^2} - \left[ {2{x^2}y + {x^2}{y^2} - {x^2}{y^3}} \right]\)

\( = {x^2}y - x{y^2} - 2{x^2}y - {x^2}{y^2} + {x^2}{y^3}\)

c) \[ - 3{x^2}{y^5}{z^3}:\left( {7x{y^3}{z^2}} \right) = \frac{{ - 3}}{7}x{y^2}z\].

d) \[\left( {7{x^7}{y^3} + \frac{1}{3}{x^2}{y^5} - \frac{2}{5}{x^3}{y^2}} \right):\frac{2}{3}{x^2}{y^2}\]

\[ = \left( {7{x^7}{y^3}:\frac{2}{3}{x^2}{y^2}} \right) + \left( {\frac{1}{3}{x^2}{y^5}:\frac{2}{3}{x^2}{y^2}} \right) - \left( {\frac{2}{5}{x^3}{y^2}:\frac{2}{3}{x^2}{y^2}} \right)\]

\[ = \frac{{21}}{2}{x^5}y + \frac{1}{2}{y^3} - \frac{3}{5}x.\]

e) \(\left( {{x^2} - y} \right)\left( {3x + {y^2}} \right) - \left( {6{x^4}y - 2x{y^4}} \right):2xy\)

\[ = {x^2}\left( {3x + {y^2}} \right) - y\left( {3x + {y^2}} \right) - \left[ {6{x^4}y:\left( {2xy} \right) - 2x{y^4}:\left( {2xy} \right)} \right]\]

\[ = 3{x^3} + {x^2}{y^2} - 3xy - {y^3} - \left( {3{x^3} - {y^3}} \right)\]

\[ = 3{x^3} + {x^2}{y^2} - 3xy - {y^3} - 3{x^3} + {y^3}\]

\[ = \left( {3{x^3} - 3{x^3}} \right) + {x^2}{y^2} - 3xy + \left( { - {y^3} + {y^3}} \right)\]

\[ = {x^2}{y^2} - 3xy.\]

f) \({\left( {5x + 2y} \right)^2} - {\left( {5x - 2y} \right)^2}\)

\[ = \left( {5x + 2y + 5x - 2y} \right)\left( {5x + 2y - 5x + 2y} \right)\]

\[ = 10x \cdot 4y = 40xy.\]

a) \[{\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\]

\( = \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)\)

\( = {x^2} - 6x + 9 - {x^2} + 1\)

\( = - 6x + 10.\)

b) \(\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - {\left( {x - 1} \right)^3}\)

\( = {x^3} - 8 - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right)\)

\( = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + 3{x^2} - 3x + \left( { - 8 + 1} \right)\)

\( = 3{x^2} - 3x - 7\).

c) \({\left( {3x - 1} \right)^2} + 2\left( {1 - 3x} \right)\left( {4 + 3x} \right) + {\left( {3x + 4} \right)^2}\)

\( = {\left( {1 - 3x} \right)^2} + 2\left( {1 - 3x} \right)\left( {3x + 4} \right) + {\left( {3x + 4} \right)^2}\)

\( = {\left( {1 - 3x + 3x + 4} \right)^2}\)

\( = {5^2} = 25.\)

d) \( - 3x{\left( {x + 2} \right)^2} + \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {\left( {2x - 3} \right)^2}\)

\( = - 3x\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)\)

\[ = - 3{x^3} - 12{x^2} - 12x + {x^3} - x + 3{x^2} - 3 - 4{x^2} + 12x - 9\]

\[ = - 2{x^3} - 13{x^2} - x - 12.\]

a) \[A = \left( {6x - 4} \right)\left( {2x + 1} \right) - 3x\left( {4x - 3} \right) - 7x - 6\]

\[ = 12{x^2} + 6x - 8x - 4 - 12{x^2} + 9x - 7x - 6\]

\[ = \left( {12{x^2} - 12{x^2}} \right) + \left( {6x - 8x + 9x - 7x} \right) + \left( { - 4 - 6} \right)\]

\[ = - 10\].

Vậy biểu thức \[A\] không phụ vào giá trị của biến.

b) \(B = \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 5} \right) - \left( {4x - 12} \right)\)

\( = \left( {2{x^2} + 7x - 6x - 21} \right) - \left( {2{x^2} - 5x + 2x - 5} \right) - \left( {4x - 12} \right)\)

\( = 2{x^2} + x - 21 - 2{x^2} + 3x + 5 - 4x + 12\)

\[ = \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {x + 3x - 4x} \right) + \left( { - 21 + 5 + 12} \right)\]

\[ = - 4\].

Vậy biểu thức \(B\) không phụ thuộc vào biến.

c) \(C = {\left( {x + 2} \right)^3} + {\left( {x - 2} \right)^3} - 2x\left( {{x^2} + 12} \right)\)

 \[ = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - 2{x^3} - 24x\]

\[ = \left( {{x^3} + {x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( {6{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( {12x + 12x - 24x} \right) + \left( {8 - 8} \right)\]

 \[ = 0\].

Vậy biểu thức \(C\) không phụ thuộc vào biến.

d) \(D = {\left( {x - 1} \right)^3} - {\left( {x + 1} \right)^3} + 6\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\)

\( = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 - \left( {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1} \right) + 6\left( {{x^2} - 1} \right)\)

\( = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 - {x^3} - 3{x^2} - 3x - 1 + 6{x^2} - 6\)

\( = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - 3{x^2} - 3{x^2} + 6{x^2}} \right) + \left( {3x - 3x} \right) + \left( { - 1 - 1 - 6} \right)\)

\( = - 8\).

Vậy biểu thức \(D\) không phụ thuộc vào biến.

e) \(E = {\left( {x - 1} \right)^3} - \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 3\left( {1 - x} \right)x\)

\[ = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 - \left( {{x^3} - 1} \right) - \left( {3 - 3x} \right)x\]

\( = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 - {x^3} + 1 - 3x + 3{x^2}\)

\( = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - 3{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( {3x - 3x} \right) + \left( { - 1 + 1} \right)\)

\( = 0\).

Vậy biểu thức \(E\) không phụ thuộc vào biến.

a) \(5x + 5y - {x^2} - xy\)

\( = \left( {5x + 5y} \right) - \left( {{x^2} + xy} \right)\)

\( = 5\left( {x + y} \right) - x\left( {x + y} \right)\)

\( = \left( {x + y} \right)\left( {5 - x} \right).\)

b) \({x^2} - {y^2} - 3x + 3y\)

\[ = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) - \left( {3x - 3y} \right)\]

\[ = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 3\left( {x - y} \right)\]

\[ = \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 3} \right).\]

c) \({x^2} - 16 + 4{y^2} + 4xy\)

\( = \left( {{x^2} + 4xy + 4{y^2}} \right) - 16\)

\( = {\left( {x + 2y} \right)^2} - {4^2}\)

\( = \left( {x + 2y - 4} \right)\left( {x + 2y + 4} \right).\)

d) \[15x\left( {2x - y} \right) - 9y\left( {y - 2x} \right)\]

\[15x\left( {2x - y} \right) + 9y\left( {2x - y} \right)\]

\( = \left( {2x - y} \right)\left( {15x + 9y} \right)\)

\( = 3\left( {2x - y} \right)\left( {5x + 3y} \right)\).

e) \({x^2}y - {x^3} - 4y + 4x\)

\[ = \left( {{x^2}y - {x^3}} \right) - \left( {4y - 4x} \right)\]

\[ = {x^2}\left( {y - x} \right) - 4\left( {y - x} \right)\]

\[ = \left( {y - x} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\]

\[ = \left( {y - x} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\].

f) \({x^2} - 6xy - 4 + 9{y^2}\)

\( = \left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) - 4\)

\( = {\left( {x - 3y} \right)^2} - {2^2}\)

\( = \left( {x - 3y - 2} \right)\left( {x - 3y + 2} \right)\).

g) \({x^2} - 2x - 4{y^2} - 4y\)

\( = \left( {{x^2} - 4{y^2}} \right) - \left( {2x + 4y} \right)\)

\( = \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) - 2\left( {x + 2y} \right)\)

\( = \left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y - 2} \right)\).

h) \({\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - 4{x^2}\)

\( = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {\left( {2x} \right)^2}\)

\( = \left( {{x^2} + 1 - 2x} \right)\left( {{x^2} + 1 + 2x} \right)\)

\( = {\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^2}.\)

i) \[3{x^2} - x - 3{y^2} - y\]

\[ = \left( {3{x^2} - 3{y^2}} \right) - \left( {x + y} \right)\]

\[ = 3\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - \left( {x + y} \right)\]

\[ = 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)\]

\[ = \left( {x + y} \right)\left[ {3\left( {x - y} \right) - 1} \right]\]

\[ = \left( {x + y} \right)\left( {3x - 3y - 1} \right)\].

j) \[{x^2} - 6x + 8\]

\[ = {x^2} - 4x - 2x + 8\]

\[ = \left( {{x^2} - 4x} \right) - \left( {2x - 8} \right)\]

\[ = x\left( {x - 4} \right) - 2\left( {x - 4} \right)\]

\[ = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\].