Dạng 6. Sử dụng tỉ số lượng giác.
2 câu hỏi
Chứng minh rằng trong các tam giác cân có cùng diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn.
Xét các tam giác ABC cân tại A có cùng diện tích S. Kẻ đường cao AH . Đặt BAC^ = a
Tam giác AHC vuông tại H, ta có :
HAC^=α2
AH = HC .cotg α2 =12BC.cotg α2
Do đó : S = 12BC.AH = 12BC.12BC.cotg α2 =14BC2cotg α2
⇒ BC = 4Scotgα2=2S.tgα2
Do S không đổi nên :
BC nhỏ nhất ⇔ tg α2 nhỏ nhất ⇔ α2 nhỏ nhất ⇔a nhỏ nhất ⇔ BAC^ nhỏ nhất
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao cho BK : KC = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc KAM^ lớn nhất .
( Cho công thức biến đổi tan( x +y )= tanx+tany1−tanx.tany)
Đặt BAK^=x, DAM^=y ( x + y < 900 )
KAM^ lớn nhất ⇔ BAK^+DAM^ nhỏ nhất
⇔ x + y nhỏ nhất ⇔ tan (x + y) nhỏ nhất
Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0)
tan x =BKAB=BKBC.BCAB=4m5
tan y =DMAD=DMDC.DCAD=15m
tan( x +y )= tanx+tany1−tanx.tany=4m5+15m:1−4m5.15m=2521.4m5+15m
tan (x + y) nhỏ nhất ⇔ 4m5+15m nhỏ nhất
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
4m5+15m ≥ 24m5.15m=45
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ 4m5=15m ⇔ m = 12
Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m = 12
Do đó KAM^ lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1a
