Dạng 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si .
4 câu hỏi
Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy . Vẽ các đường tròn có đường kính MA và MB . Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích của hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất .
Đặt MA =x , MB = y
Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB)
Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích của hai hình tròn có đường kính là MA và MB .
Ta có: S +S’ = πx22+πy22= π.x2+y24
Ta có bất đẳng thức :x2+y2≥x+y22 nên :
S +S’ ≥π.x+y28=π.AB28
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do đó min (S+S’) = π.AB28. Khi đó M là trung điểm của AB.
Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB .Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB . Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D . Xác định vị trí của các điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất .
Ta có : SMCD = 12MC.MD
Đặt MA = a , MB = b
AMC^=BDM^= α
MC = acosα, MD =bsinα
SMCD = 12.abcosα.sinα
Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất ⇔ 2sina.cosa lớn nhất .
Theo bất đẳng thức 2xy ⩽ x2 +y2 ta có :
2sina.cosa ⩽ sin2a +cos2a = 1 nên SMCD ≥ ab
SMCD = ab ⇔ sina = cosa⇔ sina = sin(900-a) ⇔a = 900-a⇔a = 450
⇔ Tam giác AMC và tam giác BMD vuông cân.
Vậy min SMCD = ab. Khi đó các điểm C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM
Cho tam giác ABC , điểm M di động trên cạnh BC . Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và với AB , chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E.Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
SADME lớn nhất ⇔ SADMESABC lớn nhất
Kẻ BK vuông góc AC cắt MD ở H.
SADME = MD . HK
SABC = 12AC . BK
SADMESABC=2.MDAC.HKBK
Đặt MB = x , MC = y ,
MD//AC ta có : MDAC=BMBC=xx+y; HKBK=MCBC=yx+y
Theo bất đẳng thức xyx+y2≤14 ⇒SADMESABC=2xyx+y2≤12
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y
Vậy max SADME =12SABC khi đó M là trung điểm của BC.
Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a . Gọi D là trung điểm của AB. Điểm E di chuyển trên cạnh AC. Gọi H,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC . Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH . Khi đó hình thang trở thành hình gì ?
Ta có :
2SDEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) .HK
Mà (BH + KC) +HK =BC = a không đổi
Nên (BH + KC) .HK lớn nhất ⇔BH + KC) = HK =a2
Do đó :
max SDEKH =12.a2.a2=a28
Khi đó đường cao HK = a2 suy ra :
KC = BC -BH –HK = a -a2-a2=a4
Do đó DH = HB = a4 , EK = KC = a4 .
Hình thang DEKH là hình chữ nhật , E là trung điểm của AC.
