Dạng 2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc.
2 câu hỏi
Cho góc xOy^ và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất .
Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho yOm^=xOA^ . Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA . Các điểm D và A cố định .
OD =OA, OC = OB , COD^=BOA^
⇒ Tam giác DOC = tam giác AOB ⇒ CD = AB
Do đó AC +AB = AC +CD
Mà AC +CD ≥ AD
⇒AC +AB ≥ AD
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C thuộc AD
Vậy min(AC+AB) =AD . Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, B thuộc tia Ox sao cho OB = OC.
Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12).
tam giác AEF vuông tại A có AI là trung tuyến ⇒ AI=12EF
Tam giác CGH vuông tại C có CM là trung tuyến ⇒ CM=12GH
IK là đường trung bình của DEFG ⇒ IK=12FG
KM là đường trung bình của DEGH ⇒ KM=12EH
Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)
Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC
Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )
Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC Û A,I,K,M,C thẳng hàng.
Khi đó ta có EH//AC,FG//AC, AEI^=EAI^=ADB^ nên EF//DB , tương tự GH//DB . Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD (h.13).
