Dạng 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.

Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Kẻ BH vuông góc với AC .

Ta có : S_ABCD = 2S_ABC  = AC.BH

Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó :

S_ABCD ≤ 8.3 = 24 (cm²)

S_ABCD = 24 cm² ⇔ BH ≡ BO ⇔ H ≡ O ⇔ BD vuông góc với AC

Vậy max S_ABCD = 24 cm² . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm².

Tam giác HAE = tam giác EBF = tam giác FCG = tam giác GHD

⇒ HE = EF = FG = GH

⇒ EFGH là hình thoi .

⇒  AHE^=BEF^

⇒AHE^+AEH^=900

⇒  BEF^+AEH^=900⇒HEF^=900

⇒ EFGH là hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH.

DHOE vuông cân : HE² = 2OE² ⇒ HE = OE2

Chu vi EFGH = 4HE = 42OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất ⇔ OE nhỏ nhất

Kẻ OK vuông góc với AB ⇒ OE ≥OK ( OK không đổi )

OE = OK ⇔ E ≡ K

Do đó min OE = OK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của AB , BC, CD, DA.

Gọi K là giao điểm của CM và DB

MA = MB ; A^=B^=900;AMC^=BMK^,

⇒ Tam giác MAC = MBK ⇒ MC = MK

Mặt khác DM vuông góc với CK

⇒ tam giác DCK cân ⇒D^1=D^2

Kẻ MH vuông góc với CD .

 ⇒Tam giác MHD = MBD ⇒ MH = MB = a

⇒ S_MCD =12CD.MH ≥ 12AB.MH =12.2a.a= a²

S_MCD = a² ⇔ CD vuông góc với Ax khi đó AMC^ = 45⁰ ; BMD^ =45⁰.

Vậy min S_MCD = a² . Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BD =a .

Gọi S là diện tích DABC Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có :

S_ABD + S_ACD = S

Kẻ BE vuông góc AD , CF vuông góc AD

⇒12 AD.BE +12AD.CF = S

⇒ BE +CF = 2SAD

Do đó BE + CF lớn nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔hình chiếu HD nhỏ nhất

Do HD ≥ HB ( do ABD^ >90⁰ ) và HD = HB ⇔ D ≡ B

Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất .