Dạng 4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai .
2 câu hỏi
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Trên các cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Tam giác AHE = tam giác BEF = tam giác CFG = tam giác DGH
⇒ HE = EF = FG = GH , HEF = 900
⇒ HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất .
Đặt AE = x thì HA = EB = 4-x
Tam giác HAE vuông tại A nên :
HE 2 = AE2 +AE2 = x2 + (4 - x)2 = 2x2 - 8x +16 = 2(x - 2)2 +8 ≥ 8
HE = 8 =22 ⇔ x = 2
Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 82cm , khi đó AE = 2 cm .
Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm. M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME.
ADME là hình chữ nhật .
Đặt AD = x thì ME = x
ME //AB ⇒ EMAB=CECA⇒x6=CE8⇒CE=43x
⇒ AE = 8 -43x
Ta có : SADME = AD .AE = x ( 8 -43x ) = 8x -43 x2 = -43(x - 3)2 +12 ≤ 12
SADME = 12 cm2 ⇔ x =3
Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12 cm2 ,khi đó D là trung điểm của AB , M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.
