Dạng 6: Hệ thức trong  hình học có đáp án
Đề thi

Dạng 6: Hệ thức trong hình học có đáp án

A
Admin
ToánLớp 9127 lượt thi
1 câu hỏi
1.Tự luận
• 1 điểm
Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: 1PQ=1PB-1PC
Xem đáp án
Cách giải 1: (Hình 1)
Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 1)

Trên đoạn AP lấy hai điểm N và M sao cho BN = BP và PM = PC

Khi đó ta có các tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác cân
Vì APB^=ACB^=60∘ và MPC^=ABC^=60∘ (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác đều
Xét hai tam giác △CQP và △BQN có: BQN^=CQP^ (Hai góc đổi đỉnh)
                                                               BNQ^=CPQ^=60∘
Nên △CQP~△BQN⇒CPPQ=BNNQ=BNBN-PQ⇒1CP=BN-PQPQ.BN
1PQ=1PB-1PC (Đpcm)

Cách giải 2: (Hình 2)

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 2)

Trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC
Ta có: CPD^=60∘ ( Vì CPB^=120∘ góc nội tiếp chắn cung 120∘)
nên tam giác CPD là tam giác đều ⇒APB^=CDP^=60∘
Vì vậy AP // CD ⇒△BPQ ~△BDC.

⇒BPPQ=BDCD=BP+PCCP⇒1PQ=BP+PCCP.BP⇒1PQ=1BP+1CP
=> 1PQ=1PB-1PC (Đpcm)

Bạn có thích hoạt động này không?

Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.

Khám phá các nguồn tài nguyên miễn phí, phù hợp với tiêu chuẩn trong vài giây

Gợi ý cho bạn

Xem tất cả

Học liệu phổ biến Lớp 9

Xem tất cả

Học liệu phổ biến Toán

Xem tất cả