Dạng 4: Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn có đáp án
9 câu hỏi
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy các điểm I và K sao cho IA⏜=AK⏜. Dây IK cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.
a) Chứng minh rằng ADK^=ACB^.
a) Ta thấy ADK^ là góc có đỉnh D nằm trong đường tròn O nên:
ADK^=12sđAK⏜+sđIB⏜=12sđAI⏜+sđIB⏜=12sđAB⏜. (1)
Mà ACB^ là góc nội tiếp chắn cung AB⏜ nên: ACB^=12sđAB⏜. (2)
Từ (1) và (2) suy ra ADK^=ACB^.
b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì tứ giác DECB là hình thang cân.
b) Tứ giác DECB là hình thang cân
⇔DECB là hình thang và C^=B^
⇔DE//BCC^=B^⇔ADE^=ABC^C^=B^⇔C^=B^⇔ΔABC cân tại A.
Vậy tam giác ABC phải là tam giác cân tại A thì tứ giác DECB là hình thang cân.
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) Tam giác AMN là tam giác cân.
a) Theo giả thiết BD là tia phân giác của góc ABC^ nên D là điểm chính giữa của cung AC⏜⇒DA⏜=DC⏜. (1)
Tương tự ta cũng có E là điểm chính giữa của cung AB⏜
⇒EA⏜=EB⏜. (2)
Góc AMN^ và ANM^ là hai góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O) nên:
sđAMN^=12sđAD⏜+sđEB⏜ và sđANM^=12sđDC⏜+sđEA⏜.(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AMN^=ANM^⇒ΔAMN cân tại A.
b) Các tam giác EAI và DAI là những tam giác cân.
b) Ta có EAI^=EAB^+BAI^; AIE^=ICA^+IAC^ (góc ngoài của tam giác AIC). (4)
EAB^=ECA^ (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau là EB⏜,EA⏜). (5)
Vì I giao điểm hai đường phân giác của ΔABC, suy ra AI là đường phân giác của góc BAC^
⇒BAI^=CAI^. (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra EAI^=EIA^⇒ΔEAI cân tại E.
Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có IAD^=AID^⇒ΔAID cân tại D.
c) Tứ giác AMIN là hình thoi.
c) Vì AI là đường phân giác của ΔAMN cân tại A nên AI vuông góc với MN tại trung điểm của MN.
Tương tự, ΔDAI cân tại D nên MN vuông góc với AI tại trung điểm của AI.
Do đó AMIN là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Trong tam giác ABC, đường phân giác của BAC^ cắt cạnh BC tại D. Giả sử (T) là đường tròn tiếp xúc với BC tại và đi qua điểm D. Gọi M là giao điểm thứ hai của (T) và AC, P là giao điểm thứ hai của (T) và BM, E là giao điểm của AP và BC.
a) Chứng minh rằng EAB^=MBC^.
a) Gọi N là giao điểm thứ hai của AB với đường tròn (T).
Do AD là phân giác của BAC^⇒ND⏜=MD⏜.
Ta có MBC^=12sđDM⏜−sđDP⏜=12sđDN⏜−sđDP⏜=12sđNP⏜=EAN^.
⇒MBC^=EAB^ (đpcm).
b) Chứng minh hệ thức BE2=EP.EA.
b) Xét ΔEBP và ΔEAB có: MBC^=EAB^ (chứng minh trên).
AEB^ chung.
Suy ra ΔEBP~ΔEABg.g⇒BEEP=EABE hay BE2=EP.EA (đpcm).
Cho bốn điểm A,D,C,B theo thứ tự đó nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A,B trên đường thẳng CDA. Tia AD cắt tia BC tại I. Biết AE+BF=R3.
a) Tính số đo AIB^.
a) Kẻ OH⊥CDH∈CD, ta thấy OH là đường trung bình của hình thang ABFE, suy ra
OH=12AE+BF=R32.
Tam giác vuông DOH có: sinODH^=OHOD=R32R=32⇒ODH^=60°.
Do đó tam giác OCD đều, suy ra COD^=60°⇒sđCKD⏜=60°.
Ta thấy AIB^ có đỉnh nằm ngoài đường tròn (O) nên:
AIB^=12sđAB⏜−sđCKD⏜=12180°−60°=60°.
b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K. Gọi giao điểm của KA,KB với DC lần lượt là M và N. Tìm giá trị lớn nhất của MN khi K di động trên cung nhỏ CD.
b) Ta có: MKN^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒KMN^+KNM^=90°. (1)
Trong tam giác vuông EMA có: EAM^+EMA^=90°. (2)
Mà KMN^=EMA^ (đối đỉnh); KMN^=BNF^ (đối đỉnh). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra EAM^=BNF^.
Xét ΔAEM và ΔNFB có: AEM^=BFC^=90° (giả thiết)
EAM^=BNF^ (chứng minh trên).
⇒ΔAEM~ΔNFBg.g⇒EMFB=AENF⇒EM.NF=AE.BF (không đổi).
Lại có: MN=EF−EM+NF.
Do đó MN lớn nhất khi và chỉ khi EM+NF nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: EM+NF≥2EM.NF=2AE.BF.
Đẳng thức xảy ra khi EM=FN=AE.BF.
Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng EF−2AE.BF.
