Dạng 3: Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây có đáp án
20 câu hỏi
Cho đường tròn tâm O, bán kính bằng 5 cm và dây AB=8cm.
a) Tính khoảng cách từ O đến AB.
a) Kẻ OE⊥ABE∈AB, suy ra E là trung điểm của AB
⇒EB=EA=AB2=4 cm (quan hệ đường kính và dây cung).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OEB, ta có:
OE2+EB2=OB2⇒OE=OB2−EB2=52−42=3 cm. (1)
Vậy khoảng cách từ O đến AB là 3 cm.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1 cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh CD=AB.
b) Ta có IE=AE−AI=4−1=3 cm.
Mà tứ giác OEIF là hình chữ nhật nên OF=IE=3 cm. (2)
Từ (1) và (2) suy ra OE=OF hay khoảng cách từ tâm đến hai dây AB và CD bằng nhau.
⇒AB=CD (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B lên CD.
Chứng minh CH=DK.
Kẻ OE⊥CDE∈CD⇒E là trung điểm của CD (quan hệ đường kính và dây cung)
⇒EC=ED. (1)
Ta có: AH//BK (cùng vuông góc với CD) nên tứ giác AHBK là hình thang.
Lại có OE//AH//BK và O là trung điểm của AB nên OE là đường trung bình của hình thang AHBK
⇒E là trung điểm của HK⇒EH=EK (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH=DK (đpcm).
Cho đường tròn O;R. Vẽ hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA,OBlần lượt lấy các điểm M,Nsao cho OM=ON. Vẽ dây CDđi qua M,N(Mnằm giữa Cvà N).
a) Chứng minh CM=DN.
a) Kẻ OH⊥CDH∈CD⇒HC=HD (quan hệ đường kính và dây cung). (1)
Theo giả thiết OM=ON nên ∆OMN cân tại O⇒HM=HN (2)
Lại có CH=CM+MH; DH=DN+NH (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra CM=DN.
b) Giả sử AOB^=90°. Tính OM theo R sao cho CM=MN=ND.
b) Giả sử CM=MN=ND. Đặt OH=xx>0. Ta có: OM=x2 (vì ΔOMN vuông cân);
MN=NH=x; HD=3HN=3x.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông HOD có:
OH2+HD2=OD2⇔x2+3x2=R2⇔10x2=R2⇔x=R10⇒OM=R5.
Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 075 km. Hãy tính bán kính của Trái Đất.
Đáp số: R≈6378,1 km.
Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 20 cm và số đo cung là 30°.
Đáp số: S=100π3cm2.
Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu tăng bán kính lên gấp ba lần?
Từ công thức diện tích hình tròn S=πR2, suy ra nếu bán kính tăng lên gấp 3 lần thì diện tích hình tròn sẽ tăng lên 9 lần.
Biết chu vi hình tròn là 16π cm. Tính diện tích hình quạt tròn có số đo cung là 50°.
Đáp số: R=8cm, S=80π9cm2.
Một máy cày có hai bánh xe sau lớn hơn hai bánh xe trước. Biết khi bơm căng, bánh xe trước có đường kính 0,8 m, bánh xe sau có đường kính 1,5 m. Hỏi bánh xe sau lăn được 16 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Bánh xe lăn được một vòng nghĩa là nó đã đi được một độ dài bằng chu vi của bánh xe.
Chu vi bánh xe trước là: C1=πd=0,8π m.
Chu vi bánh xe sau là: C2=πd=1,5π m.
Bánh xe sau lăn được 16 vòng nghĩa là nó đi được quãng đường: s=1,5π.16=24π m.
Khi đó bánh xe trước sẽ lăn được số vòng là: 24π0,8π=30vòng.
Cho tứ giác ABCD có C^+D^=90°. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BD,DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q nằm trên một đường tròn.
Gọi I=DA∩CB. Theo giả thiết C^+D^=90°⇒DIC=90°.
Ta có MN//PQ (vì cùng song song với AD).
Và MN=PQ=12AD.
Suy ra MNPQ là hình bình hành.
Lại có MN//AD,MQ//BC nên NMQ^=DIC^=90° (góc có cạnh tương ứng song song).
Do đó MNPQ là hình chữ nhật. Vậy bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc đường tròn đường kính NQ.
Cho hình thoi ABCD có A ^=60°. Gọi E,F,G,Hlần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. Chứng minh 6 điểm E,F,G,H,B,D cùng nằm trên một đường tròn.
Cho hình thang ABCDAB//CD,AB<CD có C^=D^=60°, CD=2AD. Chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn.
Gọi I là trung điểm của CD. Theo giả thiết suy ra ID=IC=AD⇒ΔIAD cân tại D.
Mà D^=60° nên ΔIAD đều ⇒IA=ID=IC. (1)
⇒ΔACD vuông tại A⇒DAC^=90°.
Lại có ΔACD=ΔBDCc.g.c
⇒CBD^=DAC^=90°⇒ΔBCD vuông tại B.
Mà có IB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD nên IB=IC=ID. (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA=IB=IC=ID hay 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc đường tròn tâm I.
Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK.
a) Chứng minh: B,K,H và C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
a) Dễ thấy ΔBHCvà ∆BCK là hai tam giác có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm B,C,H,K cùng thuộc đường tròn tâm I là trung điểm của BC.
b) So sánh KH và BC.
b) BC và HK lần lượt là đường kính và dây cung của đường tròn I.
Do đó HK<BC.
Cho đường tròn O;R có AB là đường kính, H là trung điểm của BC. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H, K là trung điểm của AC và I là điểm đối xứng của A qua H.
a) Bốn điểm C,H,O,K cùng thuộc một đường tròn.
a) Dễ thấy ΔBHCvà ΔBCK là hai tam giác có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm B,C,H,K cùng thuộc đường tròn tâm I là trung điểm của BC.
b) ADIClà hình thoi. Tính diện tích theo R.
Cho đường tròn O;R có hai dây AB,CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA=2 cm, IB=4 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
Ta có: AB=IA+IB=6 cm. Do H là trung điểm của AB nên AH=3 cm.
Lại có IH=AH−AI=1 cm⇒OK=IH=1 cm (do OHIK là hình chữ nhật).
Do hai dây AB và CD bằng nhau nên OH=OK=1 cm.
Cho đường tròn O;R đường kính AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của OA,OB. Qua M,N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB).
a) Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật.
a) Kẻ OH⊥CDH∈CD⇒CH=DH (quan hệ đường kính và dây cung).
Gọi K=OH∩EF. Do ΔOHM=ΔOKN⇒OH=OK⇒CD=EF (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).
Mà CD//EF nên suy ra CDEF là hình bình hành.
ΔHOD=ΔKOE⇒D,O,E thẳng hàng.
CDEF là hình chữ nhật.
b) Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn 30°. Tính diện tích hình chữ nhật CDFE.
b) Ta có OM=R2; OC=R. Trong tam giác vuông HMO có:
HMO^=30°; OH=OM.sin30°=R4⇒DF=HK=2OH=R2.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CHO có:
OH2+CH2=OC2⇒CH=OC2−OH2=R2−R216=R154⇒CD=2CH=R152.
Vậy diện tích hình chữ nhật CDFE là: SCDFE=CD.EF=R152.R2=R2154.
