Dạng 2: Góc nội tiếp có đáp án
3 câu hỏi
Trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC về phía ngoài ta dựng hình vuông với tâm tại điểm O. Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc BAC^.
Vì O là tâm của hình vuông nên BOC^=90°.
Lại có BAC^=90° suy ra bốn điểm A,B,O,C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Đối với đường tròn này ta thấy BAO^=BCO^ (góc nội tiếp cùng chắn BO⏜).
Mà BCO^=45°⇒BAO^=45°.
Do BAC^=45°, nên CAO^=BAC^−BAO^=45°.
Vậy BAO^=CAO^, nghĩa là AO là tia phân giác của góc vuông BAC^ (đpcm).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ đỉnh A ta kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Chứng minh rằng BAH^=OAC^.
Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Ta thấy ACE^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Từ đó OAC^+AEC^=90°. (1)
Theo giả thiết bài ra, ta có: BAH^+ABC^=90°. (2)
Lại vì AEC^=ABC^ (cùng chắn AC⏜)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BAH^=OAC^ (đpcm).
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Đường phân giác trong góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại D. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh DB=DC=DI.
DB=DC=DI
<=> DB=DI <=> ΔDBI cân tại D <=> IBD^=BID^
Giải chi tiết
Ta luôn có DB=DC do AD là tia phân giác trong góc A. Ta sẽ chứng minh tam giác DIB cân tại D.
Thật vậy ta có: IBD^=IBC^+CBD^.
Mặt khác CBD^=CAD^ (góc nội tiếp chắn cung CD).
Mà BAD^=CAD^, IBC^=IBA^ (tính chất phân giác) suy ra IBD^=ABI^+BAI^.
Nhưng BID^=ABI^+BAI^ (tính chất góc ngoài của ΔABI). Suy ra IBD^=BID^.
Vậy tam giác BID cân tại D, suy ra DB=DI=DC.
Nhận xét
Thông qua bài toán này ta có thêm tính chất: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC là giao điểm của phân giác trong góc A với (O).
