Chủ đề 2: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông có đáp án

Gọi chiều cao cột đèn là AB, bóng của nó trên mặt đất là AC.

Ta có BAC^=900.

Theo giả thiết, ta có BCA^=420.

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABC vuông ở A, ta có:

tanBCA^=ABAC⇒AB=AC.tanBCA^≈7,5.tan420≈6,75 (cm).

Vậy chiều cao của cột đèn là 6,75 (cm).

Gọi A là vị trí của trực thăng, B là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt đất. C và D là hai điểm đầu cầu.

Ta có

tanBAD^=BDAB

⇒BD=AB.tanBAD^=920.tan370

≈920.0,754≈693,68 (m).

Mặt khác

tanBAC^=BCAB

⇒BC=AB.tanBAC^=920.tan310≈920.0,6≈552 (m).

Vậy chiều dài của cây cầu là:

CD=BD−BC≈693,68−552=141,68 (m).

Ta có: AH2=AB2−BH2=102−62=100−36=64.

Vậy AH=64=8 (cm).

Do đó sinB=AHAB=810=45.

Ta có: 1AH2=1AB2+1AC2.

⇒1AC2=1AH2−1AB2=AB2−AH2AH2.AB2=102−82102.82=366400.

Vậy AC=640036=806≈13,3 (cm).

Theo định lí Pythagore, ta có: BC2=AB2+AC2≈102+13,32=276,89

Suy ra BC=276,89≈16,64 (cm).

Vì vậy: sinC=ABBC=1016,64≈0,6.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông AHB vuông tại H, ta có:

AB2=AH2+BH2=122+52=144+25=169.

Do đó AB=169=13 (cm).

Suy ra: sinB=AHAB=1213.

Ta có 1AH2=1AB2+1AC2.

1AC2=1AH2−1AB2=AB2−AH2AH2.AB2=132−122132.122=2524336.

Vậy AC=2433625≈31,2 (cm).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H:

HC2=AC2−AH2≈31,22−122=829,44.

Vậy HC=829,44≈28,8 (cm).

Ta có: BC=BH+HC=5+28,8=33,8 (cm).

Vậy: sinC=ABBC=1333,8.

Ta có: cosB=ABBC=1213.

Áp dụng công thức

sin2B+cos2B=1, ta được:

sin2B=1−cos2B=1−12132=1−144169=25169

Từ đó, ta có: sinB=25169=513 (do sinB > 0)

Mặt khác, tanB=sinBcosB=5131213=513.

ABAC=158.

Ta có: cotanB=ABAC=158⇒tanB=1cotanB=1158=815.

Theo công thức lượng giác, ta được:

1sin2B=cotan2B+1=1582+1=22564+1=28964

Từ đây, suy ra: sinB=64289=817 (do sinB > 0).