Đáp số: 584.

Chia khối đã cho thành hai khối hộp chữ nhật có kích thước \(4\;{\rm{cm}},6\;{\rm{cm}},15\;{\rm{cm}}\) và \(4\;{\rm{cm}},7\;{\rm{cm}},8\;{\rm{cm}}.\)

Thể tích của khối đã cho là \(4 \cdot 6 \cdot 15 + 4 \cdot 8 \cdot 7 = 584\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Đáp số: 180.

Khối đã cho được tạo thành từ khối chóp tứ giác đều và khối hộp chữ nhật.

Thể tích của khối chóp là \(\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 72\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Thể tích khối hộp chữ nhật là \(6 \cdot 6 \cdot 3 = 108\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Thể tích của khối đã cho là \(180\;{{\rm{m}}^3}.\)

Đáp số: 1265.

Khối đã cho được tạo thành từ khối lăng trụ và khối hộp chữ nhật.

Thể tích khối lăng trụ là \(\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 10 = 385\) (đvtt).

Thể tích khối hộp chữ nhật là \(11 \cdot 10 \cdot 8 = 880\) (đvtt).

Thể tích của khối đã cho là \(385 + 880 = 1265\) (đvtt).

Đáp số: 84.

Khối đã cho được tạo thành từ khối lăng trụ và khối hộp chữ nhật.

Thể tích khối lăng trụ là \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 = 24\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Thể tích khối hộp chữ nhật là \(4 \cdot 5 \cdot 3 = 60\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Thể tích của khối đã cho là \(84\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

Đáp số: 3200.

Độ dài đường cao khối chóp tứ giác đều là \(\sqrt {{{26}^2} - {{10}^2}} = 24(\;{\rm{cm}}).\)

Thể tích khối chóp \(\frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 20 \cdot 20 = 3200\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Đáp số: 703.

Khối đã cho là khối lăng trụ nên có thể tích là

\({\rm{V}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{12}^2} - {{\left( {\frac{{15}}{2}} \right)}^2}} \cdot 15 \cdot 10 = \frac{{225\sqrt {39} }}{2} \approx 703\) (đvtt).

Đáp số: 19,6.

Gọi các kích thước của khối hộp chữ nhật lần lượt là \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}({\rm{cm}}).\) Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ab = 4}\\{{\rm{bc}} = 8}\\{{\rm{ca}} = 12}\end{array}} \right. \Rightarrow {({\rm{abc}})^2} = 384 \Rightarrow abc = 8\sqrt 6 \left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Đáp số: 60.

Khi gấp giấy ta được khối hộp có thể tích là \(2 \cdot 5 \cdot 6 = 60\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Đáp số: 1.

Đáp số: 1.

Đáp số: 60.

Vì \({\rm{AB}}//{{\rm{A}}^\prime }{{\rm{B}}^\prime }\) nên góc giữa hai đường thẳng AB và \({{\rm{B}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }\) bằng góc giữa hai đường thẳng \({{\rm{A}}^\prime }{{\rm{B}}^\prime }\) và \({{\rm{B}}^\prime }{{\rm{C}}^\prime }.\)

Đáp số: 45.

Vì \({\rm{AB}}//{{\rm{A}}^\prime }{\rm{B}}\) ' nên góc giữa hai đường thẳng AB và \({{\rm{B}}^\prime }{{\rm{D}}^\prime }\) bằng góc giữa hai đường thẳng \({{\rm{A}}^\prime }{{\rm{B}}^\prime }\) và \({{\rm{B}}^\prime }{{\rm{D}}^\prime }.\)

Đáp số: 45.

Vì \({{\rm{B}}^\prime }{\rm{B}} \bot ({\rm{ABCD}})\) nên góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng \(({\rm{ABCD}})\) bằng góc giữa hai đường thẳng \({\rm{A}}{{\rm{B}}^\prime }\) và AB.

Đáp số: 45.

Vì \({{\rm{B}}^\prime }{\rm{B}} \bot ({\rm{ABCD}})\) nên góc nhị diện \(\left[ {{\rm{A}},{\rm{BB}},{{\rm{D}}^\prime }} \right]\) có số đo bằng \(\widehat {{\rm{ABD}}}.\)

Đáp số: 3.

Gọi \(O\) là hình chiếu của \(S\) trên \((ABCD)\), \(O\) là trung điểm của cả AC và BD.

Ta có \({\rm{SA}} = 5\;{\rm{cm}},{\rm{AO}} = 4\;{\rm{cm}},{\rm{SO}} = 3\;{\rm{cm}}.\)

Đáp số: 1.

Gọi \(O\) là trung điểm của \({A^\prime }D.\) Ta có \(d\left( {AB,{A^\prime }D} \right) = AO = 1(\;{\rm{cm}}).\)

Đáp số: 9000.

Đáy của hình hộp là hình bình hành. Gọi kích thước của hai đáy là \(x(\;{\rm{cm}})\) và \(y(\;{\rm{cm}}),{\rm{x}} > 0,{\rm{y}} > 0.\)

Diện tích xung quanh \((2x + 2y) \cdot 40 = 2400\), suy \({\rm{rax}} + {\rm{y}} = 30(\;{\rm{cm}}),{\rm{y}} = 30 - {\rm{x}}.\)

Diện tích của đáy không vượt quá xy.

Thể tích khối hộp không vượt quá

\(40{\rm{xy}} = 40{\rm{x}}(30 - {\rm{x}}) = - 40\left[ {{{({\rm{x}} - 15)}^2} - 225} \right]\) \( = - 40{(x + 15)^2} + 9000 \le 9000.\)

Đáp số: 0,75.

+) \(\frac{{{\rm{d}}({\rm{B}},({\rm{SDE}}))}}{{{\rm{d}}({\rm{A}},({\rm{SDE}}))}} = \frac{{{\rm{BE}}}}{{{\rm{AE}}}} = 3 \Rightarrow {\rm{d}}({\rm{B}},({\rm{SDE}})) = 3\;{\rm{d}}(\;{\rm{A}},({\rm{SDE}})).\)(1)

+) Kẻ \({\rm{AM}} \bot {\rm{DE}}({\rm{M}} \in {\rm{DE}});{\rm{AH}} \bot {\rm{SM}}({\rm{H}} \in {\rm{SM}})\)

\( \Rightarrow {\rm{AH}} \bot ({\rm{SDE}}) \Rightarrow {\rm{d}}({\rm{A}},({\rm{SDE}})) = {\rm{AH}}.\)(2)

+) Ta có: \(\frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{H}}^2}}} = \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{S}}^2}}} + \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{M}}^2}}} = \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{S}}^2}}} + \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{D}}^2}}} + \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{E}}^2}}}\)\( = \frac{1}{{{{(a\sqrt 3 )}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\)

\( \Rightarrow {\rm{AH}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{4}\)(3)

 Từ \((1),(2),(3) \Rightarrow d(B,(SDE)) = \frac{{3\sqrt 3 a}}{4} = 0,75 \cdot \sqrt 3 a.\)