Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2{x^3} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {x^3} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x + C\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {f\left( x \right)dx = \int {{x^2}dx} } = \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
Giả sử hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(K\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = F'\left( x \right) + C\).
\(\int {F\left( x \right)dx} = f\left( x \right) + C\).
\(F\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\). Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\), khi đó tích phân xác định trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) của hàm số \(f\left( x \right)\) bằng
\(F\left( 5 \right) - F\left( 1 \right)\).
\(F\left( 5 \right).F\left( 1 \right)\).
\(F\left( 5 \right) + F\left( 1 \right)\).
\(F\left( 1 \right) - F\left( 5 \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^5 = F\left( 5 \right) - F\left( 1 \right)\).
Cho \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = 5,\int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} = 2\). Tính \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} \).
\(7\).
\(3\).
\(5\).
\(10\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} = 5 + 2 = 7\).
Diện tích hình phẳng \(S\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = {x^3},y = 2 - x\) và trục \(Ox\)như hình vẽ được tính bởi công thức nào? 
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {2 - x} \right) - {x^3}} \right|dx} \).
\(S = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 2} \right)dx} \).
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - \left( {2 - x} \right)} \right|} dx\).
\(S = \frac{1}{2} + \int\limits_0^1 {{x^3}dx} \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3}} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {2 - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)dx} = \frac{1}{2} + \int\limits_0^1 {{x^3}dx} \).
Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^x},y = 0,x = 0\) và \(x = 1\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành \(Ox\) bằng
\(\pi \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \).
\(\int\limits_0^1 {{e^x}dx} \).
\(\pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} \).
\(\int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} \).
Đáp án đúng là: C
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right): - x + 3y + 2z - 1 = 0\). Mặt phẳng nào dưới đây song song với \(\left( \alpha \right)\).
\(\left( Q \right):x - 3y - 2z + 1 = 0\).
\(\left( P \right):x - 3y + 2z + 2 = 0\).
\(\left( S \right): - x + 3y - 2z - 1 = 0\).
\(\left( R \right):2x - 6y - 4z + 5 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( { - 1;3;2} \right) = - \frac{1}{2}\left( {2; - 6; - 4} \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_R}} \) và \( - 1 \ne - \frac{1}{2}.5\) nên \(\left( \alpha \right)//\left( R \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là
\(z = 0\).
\(x = 0\).
\(y = 0\).
\(x + y = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(z = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 4y + z - 1 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3; - 4;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;4;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;4; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3; - 4; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 4y + z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 4;1} \right) = \overrightarrow {{n_3}} \).
Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 4\) là
\(F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 5x + 3\).
\(F\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 5x - 3\).
\(F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 5x - 3\).
\(F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 5x + 3\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)dx} = {x^3} + {x^2} + 5x + C\).
Vì \(F\left( 1 \right) = 4\) nên \({1^3} + {1^2} + 5.1 + C = 4 \Leftrightarrow C = - 3\).
Vậy \(F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 5x - 3\).
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = \frac{\pi }{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?
\(V = \left( {\pi - 1} \right)\pi \).
\(V = \pi + 1\).
\(V = \left( {\pi + 1} \right)\pi \).
\(V = \pi - 1\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} \right)dx} \)\( = \left. {\pi \left( {2x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)\( = \pi \left( {\pi + 1} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0; - 3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 5 = 0\). Mặt phẳng đi qua \(A\) và song song với \(\left( P \right)\) có phương trình là:
\(2x - y + 3z + 9 = 0\).
\(2x - y + 3z - 9 = 0\).
\(2x + y + 3z - 3 = 0\).
\(2x + y + 3z + 3 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(2x - y + 3z + d = 0\left( {d \ne 5} \right)\).
Vì \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) nên \(2.0 + 3 + 3.2 + d = 0 \Rightarrow d = - 9\).
Vậy \(\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\).
Hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
\(\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 1} \right)dx} = \frac{{14}}{3}\).
\(\int\limits_{2024}^a {{f^2}\left( x \right)dx} = 0,a \ge 2024\). Khi đó \(2a - 1 = 4047\).
Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 2\) bằng 3.
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Có \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)^\prime } = {x^2}\).
b) ∫02fx+1dx=∫02x2+1dx=x33+x02=143
c) \(\int\limits_{2024}^a {{f^2}\left( x \right)dx} = \int\limits_{2024}^a {{x^4}dx} = \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_{2024}^a = \frac{{{a^5}}}{5} - \frac{{{{2024}^5}}}{5} = 0 \Rightarrow a = 2024\).
Do đó \(2a - 1 = 4047\).
d) Ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {3; - 2;5} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3;2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(3x - 2y + 5z - 28 = 0\).
\(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + 11y + 8z - 5 = 0\).
\(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right):x + 2y + z + 3 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(B\left( {1;1; - 1} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là 5.
a) S, b) S, c) Đ, d) S
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {3; - 2;5} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3;2} \right)\) có dạng:
\(4\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 2} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x - 3y + 2z - 28 = 0\).
b) Vì \(\frac{4}{2} \ne \frac{{ - 3}}{{11}} \ne \frac{2}{8}\) nên \(\left( P \right)\) không song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
c) Có \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;2;1} \right)\)mà \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{n_R}} = 4.1 - 3.2 + 2.2 = 0\).
d) Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4.1 - 3.1 + 2.\left( { - 1} \right) - 28} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{29}}{{\sqrt {29} }} = \sqrt {29} \).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) và \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\). Khi đó, \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 0,75
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\) nên \( - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{2} + C = 1 \Rightarrow C = 1\).
Do đó \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + 1\).
Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{3} + 1 = \frac{3}{4} = 0,75\).
Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = 2,\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)dx} = - 1\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \).
Trả lời: 8,5
Ta có \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^2 {xdx} + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)dx} \)
\( = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^2 + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)dx} \)\( = \frac{3}{2} + 2.2 - 3.\left( { - 1} \right) = \frac{{17}}{2} = 8,5\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x + 4y - mz + 2 = 0\). Tìm \(m\) để \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau.
Trả lời: 2
Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2;4; - m} \right)\).
Để \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) thì \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - m}} \ne - \frac{1}{2} \Rightarrow m = 2\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( { - 1;1;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 2} \right)\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời: 3
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là \(2\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 1} \right) - 2z = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - y - 2z + 3 = 0\).
Ta có \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 0 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Một vật được ném lên từ độ cao 300 m với vận tốc được cho bởi công thức \(v\left( t \right) = - 9,81t + 29,43\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Gọi \(h\left( t \right)\left( {\rm{m}} \right)\) là độ cao của vật so với mặt đất tại thời điểm t(s) tính từ lúc bắt đầu ném vật. Hỏi sau bao lâu từ lúc ném thì vật đó chạm đất (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Ta có \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 9,81t + 29,43} \right)dx} = - \frac{{9,81}}{2}{t^2} + 29,43t + C\).
Vì vật được ném lên từ độ cao 300 m nên \(h\left( 0 \right) = 300 \Rightarrow C = 300\).
Vậy \(h\left( t \right) = \)\(h\left( t \right) = - \frac{{9,81}}{2}{t^2} + 29,43t + 300\).
Khi vật chạm đất ứng với \(h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \)\( - \frac{{9,81}}{2}{t^2} + 29,43t + 300 = 0 \Leftrightarrow t \approx 11\) (vì \(t > 0\)).
Vậy sau khoảng 11 giây từ lúc ném thì vật đó chạm đất.
Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là \(AB = 8{\rm{m}}\). Người ta treo một tâm phông hình chữ nhật có hai đỉnh \(M,N\) nằm trên Parabol và hai đỉnh \(P,Q\)nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phân không tô đen) người ta mua hoa để trang trí, biết \(MN = 4{\rm{m}}\), \(MQ = 6{\rm{m}}\). Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phân không tô đen) là bao nhiêu mét vuông? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Diện tích của hình chữ nhật là \(4.6 = 24\)(m2).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ
Vì Parabol đối xứng qua Oy nên có dạng: \(\left( P \right):y = a{x^2} + c\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( {4;0} \right)\) và \(N\left( {2;6} \right)\) nên \(\left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2} + 8\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục \(Ox\) là: \({S_1} = 2\int\limits_0^4 {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 8} \right)dx} = \frac{{128}}{3}\) (m2).
Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa là \(S = {S_1} - {S_{MNPQ}} = \frac{{128}}{3} - 24 = \frac{{56}}{3} \approx 18,7\) m2.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua hai điểm \(M\left( {1;8;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\) cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho \(OG\) nhỏ nhất, với \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Xác định tọa độ điểm G.
Giả sử \(A\left( {m;0;0} \right),B\left( {0;n;0} \right)\) với \(m > 0,n > 0\).
Do đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{3} - 1 = 0\).
Theo giả thiết \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow m = 3a,n = 3b,c = 1\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;8;0} \right)\) nên \(\frac{1}{m} + \frac{8}{n} - 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{n}{{n - 8}}\) với \(n > 8\).
Vì \(OG\) nhỏ nhất nên \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{{{{\left( {\frac{n}{{n - 8}}} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{n^2}}}{9} + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đặt \(f\left( n \right) = \frac{{{{\left( {\frac{n}{{n - 8}}} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{n^2}}}{9} + 1\). Suy ra \(f'\left( n \right) = \frac{1}{9}\left( {\frac{{ - 2n}}{{n - 8}}.\frac{8}{{{{\left( {n - 8} \right)}^2}}} + 2n} \right)\).
Có \(f'\left( n \right) = 0 \Leftrightarrow n = 10\)(thỏa mãn).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có minP khi \(n = 10\). Suy ra \(m = 5;a = \frac{5}{3},b = \frac{{10}}{3}\).
Vậy \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{{10}}{3};1} \right)\).
