Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
\[\int {1dx = 0} \].
\[\int {{x^2}dx} = 2x\].
\[\int {xdx} = {x^2} + C\].
\[\int {1dx = x + C} \].
Đáp án đúng là: D
\[\int {1dx = x + C} \].
Công thức nào sau đây là sai?
\[\int {\ln xdx} = \frac{1}{x} + C\].
\[\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C} \].
\[\int {\sin xdx} = - \cos x + C\].
\[\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\].
Đáp án đúng là: A
\[\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Hiệu số nào sau đây được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\)(hay tích phân xác định trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)) của hàm số \(f\left( x \right)\).
\(f\left( b \right) - f\left( a \right)\).
\(F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
\(f\left( a \right) - f\left( b \right)\).
\(F\left( a \right) - F\left( b \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
Tính \(A = \int\limits_2^5 {{x^5}dx} \).
\(A = \frac{{5187}}{2}\).
\(A = 5127\).
\(A = \frac{{21}}{2}\).
\(A = \frac{{3093}}{5}\).
Đáp án đúng là: A
\(A = \int\limits_2^5 {{x^5}dx} = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}} \right|_2^5 = \frac{{5187}}{2}\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn khẳng định sai.
\[\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = } \int\limits_a^c {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f(x){\rm{d}}x} ,\left( {c \in \left[ {a;b} \right]} \right).\]
\[\int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x = - \int\limits_b^a {f(x){\rm{d}}x} } .\]
\[\int\limits_a^c {f(x){\rm{d}}x - } \int\limits_c^b {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x} ,\left( {c \in \left[ {a;b} \right]} \right).\]
\[\int\limits_a^a {f(x){\rm{d}}x} = 0.\]
Đáp án đúng là: C
\[\int\limits_a^c {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x} ,\left( {c \in \left[ {a;b} \right]} \right).\]
Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x},y = 0,x = - 1,x = 3\). Thể tích \(V\) của vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho hình \(\left( H \right)\) quay quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây ?
\[V = \int\limits_{ - 1}^3 {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}{\rm{d}}x} \].
\[V = \pi \int\limits_{ - 1}^3 {{2^x}{\rm{d}}x} \].
\[V = \pi \int\limits_{ - 1}^3 {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}{\rm{d}}x} \].
\[V = \int\limits_{ - 1}^3 {{2^x}{\rm{d}}x} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[V = \pi \int\limits_{ - 1}^3 {{{\left( {{{\sqrt 2 }^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_{ - 1}^3 {{2^x}{\rm{d}}x} \].
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,x - 2z + 1 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
\(\overrightarrow n = \left( { - 1;0;2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {0; - 2;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;0; - 2} \right) = - \left( { - 1;0;2} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow n = \left( { - 1;0;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + 3z = 0\). Trong các điểm cho sau, điểm nào không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
\(A\left( { - 1;3;2} \right)\).
\(B\left( {0;0;0} \right)\).
\(C\left( {1; - 1; - 1} \right)\).
\(D\left( {2; - 5; - 3} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Thay tọa độ điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta được:
\(2.\left( { - 1} \right) - 3 + 3.2 = 1 \ne 0\). Do đó \(A \notin \left( \alpha \right)\).
Một mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là:
\(\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {0;1;0} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Một mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}\) trên khoảng\(\left( {1; + \infty } \right)\) là
\[\frac{{{x^2}}}{2} + 2 + \ln \left( {x - 1} \right) + C\].
\[\frac{{{x^2}}}{2} + 2x + \ln \left( {x - 1} \right) + C\].
\[x + 2 + \ln \left( {x - 1} \right) + C\].
\[x - 2 + \ln \left( {x - 1} \right) + C\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(f\left( x \right) = x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\).
Do đó \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 2x + \ln \left| {x - 1} \right| + C = \frac{{{x^2}}}{2} + 2x + \ln \left( {x - 1} \right) + C\).
Biết tích phân\(\int\limits_1^3 {\frac{1}{{3x + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{a}\ln \frac{b}{2}\), với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 2{a^2} - b\).
\(T = 13\).
\(T = 16\).
\(T = 0\).
\(T = 10\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\int\limits_1^3 {\frac{1}{{3x + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\int\limits_1^3 {\frac{1}{{3x + 1}}{\rm{d}}\left( {3x + 1} \right)} = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right|} \right|_1^3 = \frac{1}{3}\ln 10 - \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}\).
Suy ra \(a = 3;b = 5\). Do đó \(T = {2.3^2} - 5 = 13\).
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng qua 3 điểm \(A\left( {3;0;0} \right);B\left( {0; - 2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;4} \right)\)?
\[\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1\].
\[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 0\].
\[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1\].
\[\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 0\].
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \[\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1\].
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{e^{ - x}}\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 1\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2{e^{ - x}} + C\).
Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) được tính theo công thức \(S = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).
Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) bằng \(2 - \frac{2}{e}\).
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục hoành bằng \(2\pi - \frac{2}{{{e^2}}}\).
a) S, b) S, c) Đ, d) S
a) Vì \({\left( {2{e^{ - x}} + C} \right)^\prime } = - 2{e^{ - x}} \ne f\left( x \right)\).
b) \(S = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
c) \(S = \int\limits_0^1 {\left| {2{e^{ - x}}} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {2{e^{ - x}}dx} \)\( = \left. { - 2{e^{ - x}}} \right|_0^1 = - 2{e^{ - 1}} + 2 = 2 - \frac{2}{e}\).
d) Ta có \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2{e^{ - x}}} \right)}^2}dx} \)\( = 4\pi \int\limits_0^1 {{e^{ - 2x}}dx} \)\( = \left. { - 2\pi {e^{ - 2x}}} \right|_0^1 = - 2\pi {e^{ - 2}} + 2\pi \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 1;0;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\) và đi qua \(A\).
Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng 2.
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\)đi qua \(A\) và song song \(\left( P \right)\) là \(2x + y - 2z + 6 = 0\).
Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, điểm \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {2; - 2;1} \right).\)
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta thấy không thỏa mãn. Do đó \(A \notin \left( P \right)\).
b) Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 0 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\).
c) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(2x + y - 2z + d = 0\left( {d \ne 0} \right)\).
Vì \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( { - 1;0;2} \right)\) nên \(2.\left( { - 1} \right) + 0 - 2.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 6\)(thỏa mãn).
Vậy \(\left( Q \right):2x + y - 2z + 6 = 0\).
d) Có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;0;2} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right) = - \left( {2; - 2;1} \right)\).
Vậy mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, điểm \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {2; - 2;1} \right).\)
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Cho \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = G\left( 0 \right) + 1\). Khi đó, nếu \(\int\limits_3^6 {F\left( x \right){\rm{d}}x} = 27\) thì \(\int\limits_3^6 {G\left( x \right){\rm{d}}x} \)bằng bao nhiêu?
Trả lời: 24
Ta có \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + C\) mà \(F\left( 0 \right) = G\left( 0 \right) + 1\) nên \(C = 1\).
Do đó \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + 1\). Khi đó
\(27 = \int\limits_3^6 {F\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_3^6 {\left( {G\left( x \right) + 1} \right)dx} = \int\limits_3^6 {G\left( x \right)dx} + \left. x \right|_3^6 = \int\limits_3^6 {G\left( x \right)dx} + 3 \Rightarrow \int\limits_3^6 {G\left( x \right)dx} = 27 - 3 = 24\).
Biết \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 10\) và \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 7\). Khi đó \[\int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \] bằng bao nhiêu?
Trả lời: −3
Ta có \[\int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 10 + 7 = - 3\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 4} \right) - \left( {z + 1} \right) = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;2;c} \right)\). Tính \(a.c\).
Trả lời: −3
Ta có \(\left( \alpha \right):3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 4} \right) - \left( {z + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 2y - z + 4 = 0\).
Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;2; - 1} \right)\). Suy ra \(a = 3;c = - 1\).
Vậy \(a.c = - 3\).
Có bao nhiêu điểm \(A\) thuộc trục \(Ox\) cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z + 2024 = 0\) và \(\left( Q \right):2x - 2y + z - 2024 = 0\).
Trả lời: 1
Vì \(A \in Ox\) nên \(A\left( {a;0;0} \right)\).
Vì \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right)\) nên \(\frac{{\left| {2a + 2024} \right|}}{3} = \frac{{\left| {2a - 2024} \right|}}{3}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a + 2024 = 2a - 2024\\2a + 2024 = - 2a + 2024\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow a = 0\).
Vậy có 1 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = s\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - \frac{3}{2}{t^2} + 10t + 2\) (với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20 m/s (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^2} - 3t + 10\).
Vận tốc đạt 20 m/s thì \({t^2} - 3t + 10 = 20 \Leftrightarrow t = 5\) (vì t > 0)
Do đó quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20 m/s là:
\(s = \int\limits_0^5 {\left( {{t^2} - 3t + 10} \right)dt} \approx 54,2\)(m).
Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng 5 m. Người này tính trang trí sơn vẽ trên tấm tôn đó, biết mỗi mét vuông sơn hết 100 nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có một khoảng trống để treo tấm tôn nên người này bớt lại một phần tấm tôn nhỏ không trang trí (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó \(AB = 6\;{\rm{m}}\). Hỏi khi trang trí xong người này hết bao nhiêu nghìn đồng?
Diện tích miếng tôn hình tròn là \({S_1} = \pi {R^2} = 25\pi \left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ
Phương trình của đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng 5 là \({x^2} + {y^2} = 25\).
Phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn là \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \).
Có \(AB = 6 \Rightarrow {y_A} = 3 \Rightarrow {x_A} = 4\).
Vậy diện tích phần tấm trống là \({S_2} = 2\int\limits_4^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } dx\).
Diện tích phần tấm tôn trang trí là \(S = {S_1} - {S_2} = 25\pi - 2\int\limits_4^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx} \).
Vậy số tiền cần trả là \(100.\left( {25\pi - 2\int\limits_4^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx} } \right) \approx 7445\) nghìn đồng.
Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(M\left( {1;3; - 2} \right)\), cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt tia \(Ox\) tại \(A\left( {a;0;0} \right)\), cắt tia \(Oy\) tại \(B\left( {0;b;0} \right)\), cắt tia \(Oz\) tại \(C\left( {0;0;c} \right)\) có dạng là \(\left( P \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)\).
Theo đề: \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{2}\\c = 2b\end{array} \right.\).
Vì \(M\left( {1;3; - 2} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên ta có \(\frac{1}{{\frac{b}{2}}} = \frac{3}{b} = \frac{{ - 2}}{{2b}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 4\).
Khi đó \(a = 2;c = 8\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1 \Leftrightarrow 4x + 2y + z - 8 = 0\).
