Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho a là một số thực dương, biểu thức \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a \)viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
\({a^{\frac{5}{6}}}\).
\({a^{\frac{7}{6}}}\).
\({a^{\frac{{11}}{6}}}\).
\({a^{\frac{6}{5}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}\).
Cho \(a > 0,\,a \ne 1\), biểu thức \(D = {\log _{{a^3}}}a\) có giá trị bằng bao nhiêu?
\( - 3\).
\(3\).
\(\frac{1}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: C
\(D = {\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\).
Nghiệm của phương trình \({\log _2}x = 3\) là
\(9\).
\(6\).
\(8\).
\(\frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \(x > 0\).
\({\log _2}x = 3\)\( \Leftrightarrow x = {2^3} = 8\) (thỏa mãn).
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với \[c\]).
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] thì \[b\] song song với \[c\].
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với \[c\]).
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng) bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng góc giữa đường thẳng \[b\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] khi \[a\] và \[b\] song song (hoặc \[a\] trùng với \[b\]).
Góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] thì mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( Q \right)\].
Góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng góc giữa đường thẳng \[b\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] thì \[a\] và \[b\] song song.
Đáp án đúng là: A
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và hình chiếu \(a'\) của nó trên \(\left( P \right)\)được gọi là góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Đáp án đúng là: D
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức \(M = \log A - \log {A_0}\), với \(A\) là biên độ rung chấn tối đa và \({A_0}\) là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ gần với số nào sau đây nhất là
\(8,9\).
\(7,9\).
\(8,6\).
\(8,4\).
Đáp án đúng là: C
Theo đề ta có \(8 = \log A - \log {A_0}\).
Trận động đất ở Nam Mỹ có cường độ là
\(M = \log 4A - \log {A_0} = \log 4 + \log A - \log {A_0} = \log 4 + 8 \approx 8,6\).
Cho đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) như hình vẽ
\(a > 1;b > 1\).
\(a > 1;0 < b < 1\)
0
\(0 < a < 1;b > 1\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến nên \(a > 1\) và hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến nên \(0 < b < 1\).
Nghiệm của phương trình \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{x + 1}} = {125^{2x}}\) là
\(x = 1\).
\(x = 4\).
\(x = - \frac{1}{4}\).
\(x = - \frac{1}{8}\).
Đáp án đúng là: C
\({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{x + 1}} = {125^{2x}}\)\( \Leftrightarrow {5^{ - 2x - 2}} = {5^{6x}}\)\( \Leftrightarrow - 2x - 2 = 6x\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\) cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(SAB\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
\(SA \bot BC\).
\(AH \bot BC\).
\(AH \bot AC\).
\(AH \bot SC\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Lại có \(AH \bot SB\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây sai?
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khi đó \(\widehat {AHS}\) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right).\)
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là \(\widehat {ACB}\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
Do \(ABC\) là tam giác đều nên \(AH \bot BC\) mà \(BC \bot SA\) nên \(BC \bot SH\), suy ra góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {AHS}\).
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = 2a\). Góc giữa đường thẳng \(BC'\) và mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) bằng \(30^\circ \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
\(3{a^3}\).
\({a^3}\).
\(12\sqrt 2 {a^3}\).
\(4\sqrt 2 {a^3}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot AC}\\{AB \bot AA'}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AC'} \right.\).
Vậy góc giữa đường thẳng \(BC'\) và mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) là góc \(\widehat {BC'A}\).
Trong tam giác vuông \(BC'A\) ta có \(\widehat {BC'A} = 30^\circ ;AB = 2a \Rightarrow AC' = AB \cdot {\rm{cot}}\widehat {BC'A} = 2a \cdot \sqrt 3 \).
Trong tam giác vuông \(ACC'\) ta có \(CC' = \sqrt {A{{C'}^2} - A{C^2}} = 2\sqrt 2 a\).
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:
\(V = CC' \cdot \frac{1}{2}A{B^2} = 2\sqrt 2 a \cdot \frac{1}{2} \cdot 4{a^2} = 4\sqrt 2 {a^3}.\)
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho các đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x\) như hình vẽ.
![Cho các đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x\) như hình vẽ.a) \(a > 1\).b) \(0 < c < 1 < a < b\).c) \({\left( {{a^3}.\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}} = \sqrt[3]{{{b^2 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1736659706/1736660457-image5.png)
a) \(a > 1\).
b) \(0 < c < 1 < a < b\).
c) \({\left( {{a^3}.\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}} = \sqrt[3]{{{b^2}}}\).
d) \(P = \log \frac{a}{b} + \log \frac{b}{c} + \log \frac{c}{d} - \log \frac{a}{d} > 0\) với \(d > 0\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến nên \(a > 1\).
b) Hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến nên \(0 < c < 1;\)Hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) nên \(a > 1,b > 1.\)</>
Xét \(x > 1\)thì \({\log _a}x > {\log _b}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow a < b\).
c) \({\left( {{a^3}.\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}}\)\( = {a^{\frac{7}{2}{{\log }_a}b}} = {b^{\frac{7}{2}}} = \sqrt {{b^7}} \).
d) \(P = \log \frac{a}{b} + \log \frac{b}{c} + \log \frac{c}{d} - \log \frac{a}{d}\)\( = \log \left[ {\left( {\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}} \right):\frac{a}{d}} \right] = \log 1 = 0\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. \(M\) là trung điểm của \(AC\).
a) \(SA \bot BC\).
b) \(BM \bot \left( {SAC} \right)\).
c) \(BC\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc có số đo là \(45^\circ \).
d) Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
b) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) nên \(BM \bot AC\) mà \(BM \bot SA\) nên \(BM \bot \left( {SAC} \right)\).
c) Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(BC \bot AB\) mà \(BC \bot SA\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC\)tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc với số đo là \(90^\circ \).
d) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\\AC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AB \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)} \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ \).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, biểu thức \({a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}}\) được viết dưới dạng \({a^m}\). Tính \(m\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
\({a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}\).
Hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Đường thẳng \(y = 3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({x_1},{x_2}\). Biết \({x_2} = 2{x_1}\). Tính \(\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Từ đồ thị có \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({\log _b}x = 3\) nên \({\log _b}{x_1} = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {b^3}\).
Từ đồ thị có \({x_2}\) là nghiệm của phương trình \({\log _a}x = 3\) nên \({\log _a}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {a^3}\).
Do đó \({x_2} = 2{x_1}\) \( \Rightarrow {a^3} = 2{b^3} \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = 2\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 1,AD = 2\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, biết tam giác \(SAD\) có diện tích \(S = 3\). Tính khoảng cách từ \(C\) đến \(\left( {SBD} \right)\). (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,84
Do \({S_{SAD}} = 3 = \frac{1}{2}SA.AD \Rightarrow SA = \frac{6}{{2\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \).
Mặt khác ta có \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).
Kẻ \(AH \bot BD,AK \bot SH\) tại \(K\). Suy ra \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AK\).
Ta có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {13} \Rightarrow AH = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\).
\( \Rightarrow AK = \frac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 .\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {51} }}{{17}}\).
Vậy \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt {51} }}{{17}} \approx 0,84\).
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = OB = OC = 6\). Tính thể tích của khối tứ diện \(OABC\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 36
Thể tích khối tứ diện \(OABC\) là \(V = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{{{6^3}}}{6} = {6^2} = 36\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Trong một phòng thí nghiệm, người ta nuôi một loại vi khuẩn. Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là 705 con. Giả sử số vi khuẩn tăng lên theo công thức tăng trưởng mũ, số vi khuẩn sau \(x\) giờ là \(f\left( x \right) = C.{e^{kx}}\). Tính số lượng vi khuẩn có được sau 5 giờ. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau 1 giờ số vi khuẩn là 705 con.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 300 = C.{e^{k.0}} = C\\f\left( 1 \right) = 705 = C.{e^{k.1}} = C.{e^k}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 300\\{e^k} = \frac{{705}}{{300}} = 2,35\end{array} \right.\).
Vậy \(f\left( x \right) = 300.{\left( {2,35} \right)^x}\).
Số lượng vi khuẩn có được sau 5 giờ là \(f\left( 5 \right) = 300.{\left( {2,35} \right)^5} \approx 21501,1\) con.
Giải bất phương trình \({\log _2}x > 3\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có \({\log _2}x > 3\)\( \Leftrightarrow x > {2^3} = 8\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {8; + \infty } \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(2a\). Tam giác \(SAB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(ABC\)?
Hướng dẫn giải
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Do tam giác \(SAB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có \(SH = \frac{1}{2}AB = a\) và \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Suy ra \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SCH}\).
Vì \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(2a\) nên \(CH = a\sqrt 3 \).
Xét tam giác \(SCH\) vuông tại \(H\) có \(\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{CH}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Suy ra \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = 30^\circ \).
