Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 02
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Phủ định của mệnh đề “\(1 + 2 = 3\)” là mệnh đề nào?
\(1 + 2 > 3\).
\(1 + 2 < 3\).
\(1 + 2 \ne 3\).
\(1 + 2 \le 3\).
Đáp án đúng là: C
Phủ định của mệnh đề “\(1 + 2 = 3\)” là mệnh đề “\(1 + 2 \ne 3\)”.
Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp \(A = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{R}\,} \right|\,\,4 \le x \le 9} \right\}\) được kết quả là
\(\left[ {4\,;9} \right]\).
\(\left( {4\,;9} \right]\).
\(\left[ {4\,;9} \right)\).
\(\left( {4\,;9} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A = \left[ {4\,;9} \right]\).
Hình vẽ dưới là biểu diễn của tập hợp nào sau đây?
\(\left[ { - 6;5} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left[ {5; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 6;5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
\(\left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left[ {5; + \infty } \right)\).
Trong các cặp số \(\left( {x\,;y} \right)\) sau đây, cặp nào là nghiệm của bất phương trình \[2x + y < 1\]?
\[\left( { - 2\,;1} \right)\].
\[\left( {0\,;1} \right)\].
\[\left( {3\,;7} \right)\].
\[\left( {2\,; - 1} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Thay tọa độ các cặp số vào vế trái của bất phương trình ta thấy cặp số \[\left( { - 2\,;1} \right)\] là nghiệm của bất phương trình \[2x + y < 1\].
Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 > 0}\\{2x - y + 1 < 0}\end{array}} \right.\]?
\[\left( {1;4} \right)\].
\[\left( { - 4;4} \right)\].
\[\left( {0;0} \right)\].
\[\left( { - 3;4} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình ta thấy điểm (0; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 > 0}\\{2x - y + 1 < 0}\end{array}} \right.\].
Miền không gạch chéo (không kể bờ \(d\)) trong hình sau là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?
\[x + 2y < 4\].
\[2x + y \ge 4\].
\[x + 2y \ge 4\].
\[x + 2y > 4\].
Đáp án đúng là: D
Dựa vào miền nghiệm ta thấy phương trình đường thẳng d là: \(x + 2y = 4\).
Nhận thấy (0; 0) không thuộc miền nghiệm. Do đó miền không gạch chéo là miền nghiệm của bất phương trình \[x + 2y > 4\].
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
\(\sin 120^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos 120^\circ = \frac{1}{2}\).
\(\tan 120^\circ = \sqrt 3 \).
\(\cot 120^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án đúng là: D
\(\sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\); \(\cos 120^\circ = - \frac{1}{2}\); \(\tan 120^\circ = - \sqrt 3 \); \(\cot 120^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Cho tam giác \(ABC\), có độ dài ba cạnh là \(BC = a,AC = b,AB = c\). Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và \(S\) là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai?
\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\].
\[\frac{{\sin A}}{a} = \frac{{\sin B}}{b} = \frac{{\sin C}}{c}\].
\[S = \frac{{abc}}{R}\].
\[S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \].
Đáp án đúng là: C
\[S = \frac{{abc}}{{4R}}\].
Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là \(5\), \(12\) và \(13\).
\(S = 60\).
\(S = 30\).
\(S = 34\).
\(S = 7\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(p = \frac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15\).
Do đó \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {15\left( {15 - 5} \right)\left( {15 - 12} \right)\left( {15 - 13} \right)} = 30\).
Cho tam giác \(ABC\), có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C.
3.
6.
4.
9.
Đáp án đúng là: B
Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C là \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \).
Cho hình bình hành \(ABCD\) với I là giao điểm của hai đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \).
Đáp án đúng là: D
Vì I là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).
Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\overrightarrow {AB} \) theo \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {BC} \)
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \).
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} \)\( = \overrightarrow {AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Các câu sau đúng hay sai?
a) Mệnh đề: “12 là số chính phương” là mệnh đề đúng.
b) \(A \cap B = \){\(x \in A\) và \(x \in B\)}.
c) Q: “Tam giác ABC là tam giác cân” có mệnh đề phủ định là \(\overline Q \): “Tam giác ABC không là tam giác vuông”.
d) Lớp 10A có 18 học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá và 15 học sinh tham gia câu lạc bộ bóng rổ. Biết rằng có 10 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ trên. Khi đó có 23 học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên.
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) 12 không là số chính phương.
b) \(A \cap B = \){\(x \in A\) và \(x \in B\)}.
c) Q: “Tam giác ABC là tam giác cân” có mệnh đề phủ định là \(\overline Q \): “Tam giác ABC không là tam giác cân”.
d) Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên là 18 + 15 – 10 = 23 (học sinh).
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y \le 2\\ - x + 2y \ge 4\\x + y \ge 5\end{array} \right.\) . Các mệnh đề sau là đúng hay sai?
a) Hệ trên không phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (−1; 2) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.
c) Miền nghiệm của hệ bất phương trên là miền tam giác ABC có tọa độ các đỉnh \(A\left( {2;0} \right),C\left( {2;3} \right),B\left( {1;4} \right)\) bao gồm cả các cạnh.
d) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x - 2y\) là 2.
a) S, b) S, c) Đ, d) S
a) Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Ta thay \(x = - 1;y = 2\) vào bất phương trình đầu tiên của hệ ta thấy không thỏa mãn nên (−1; 2) không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.
c) Miền nghiệm của hệ bất phương trên là miền tam giác ABC có tọa độ các đỉnh \(A\left( {2;0} \right),C\left( {2;3} \right),B\left( {1;4} \right)\) bao gồm cả các cạnh như hình vẽ.
d) Ta có \(F\left( {2;0} \right) = 2 - 2.0 = 2\); \(F\left( {2;3} \right) = 2 - 2.3 = - 4\); \(F\left( {1;4} \right) = 1 - 2.4 = - 7\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là −7.
Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a = 137,5\;{\rm{cm}}\), \(\widehat B = 83^\circ \), \(\widehat C = 57^\circ \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = R\).
b) \(\widehat A = 40^\circ \).
c) \(R \approx 106,96\) cm.
d) \(b \approx 179,4\)cm.
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
b) Ta có \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {83^\circ + 57^\circ } \right) = 40^\circ \).
c) Có \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\)\( \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{137,5}}{{2\sin 40^\circ }} \approx 106,96\).
d) Có \(b = \frac{{a\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{137,5.\sin 83^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 212,3\).
Cho hình chữ nhật \(ABCD\), \(AB = 4a,AD = 3a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\) (tham khảo hình vẽ)
Các câu sau đúng hay sai?
a) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BG} \).
b) \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - 3\overrightarrow {BC} \).
c) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = 0\).
d) \(\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {CM} = - {a^2}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Vì G là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên \(3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} \).
b) Ta có \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \).
c) Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = 0\).
d) Ta có \(3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \)\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Ta có \(\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right).\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)\( = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)
\( = \frac{1}{4}.{\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3}.\left( {3{a^2}} \right) = {a^2}\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 25 em học giỏi môn Toán, 23 em học giỏi môn Lý, 20 em học giỏi môn Hóa, 11 em học giỏi cả môn Toán và môn Lý, 8 em học giỏi cả môn Lý và môn Hóa, 9 em học giỏi cả môn Toán và môn Hóa. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn học giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa (biết rằng mỗi học sinh trong lớp học giỏi ít nhất một trong ba môn Toán, Lý, Hóa).
Trả lời: 5
Gọi T, L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa.
Ta có \(\left| {T \cup L \cup H} \right| = \left| T \right| + \left| L \right| + \left| H \right| - \left| {T \cap L} \right| - \left| {L \cap H} \right| - \left| {H \cap T} \right| + \left| {T \cap L \cap H} \right|\)
\( \Leftrightarrow 45 = 25 + 23 + 20 - 11 - 8 - 9 + \left| {T \cap L \cap H} \right| \Leftrightarrow \left| {T \cap L \cap H} \right| = 5\).
Bạn Lan mang 150 000 đồng đi nhà sách để mua một số quyển tập và bút. Biết rằng giá một quyển tập là 8 000 đồng và giá của một cây bút là 6 000 đồng. Bạn Lan có thể mua được tối đa bao nhiêu quyển tập nếu bạn đã mua 10 cây bút.
Trả lời: 11
Gọi \(x;y\) lần lượt là số quyển tập và số cây bút mà Lan mua (\(x;y > 0\)).
Số tiền để mua \(x\) quyển tập là \(8000x\)(đồng), số tiền để mua \(y\) cây bút là \(6000y\)(đồng).
Tổng số tiền Lan phải trả là \(8000x + 6000y\) (đồng).
Theo đề ta có \(8000x + 6000y \le 150000\)(đồng).
Với \(y = 10\) thì \(8000x + 6000.10 \le 150000\)\( \Leftrightarrow x \le \frac{{45}}{4} = 11,25\)
Nếu Lan đã mua 10 cây bút thì Lan có thể mua tối đa 11 quyển tập.
Một công ty trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa cần thuê xe để chở trên người và trên \(9\) tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe \(A\) và \(B\). Trong đó xe loại \(A\) có \(10\) chiếc, xe loại \(B\) có \(9\) chiếc. Một chiếc xe loại \(A\) cho thuê với giá \(4\) triệu, loại \(B\) giá \(3\) triệu. Biết rằng xe \(A\) chỉ chở tối đa \(20\) người và \(0,6\)tấn hàng. Xe \(B\) chở tối đa \(10\) người và \(1,5\) tấn hàng. Hỏi chi phí vận chuyển là thấp nhất mà công ty phải trả là bao nhiêu triệu?
Trả lời: 32
Gọi \(x\) là số xe loại \(A\)\(\left( {0 \le x \le 10;x \in \mathbb{N}} \right)\), \(y\) là số xe loại \(B\)\(\left( {0 \le y \le 9;y \in \mathbb{N}} \right)\).
Khi đó tổng chi phí thuê xe là \(T = 4x + 3y\).
Xe \(A\) chở tối đa \(20\) người, xe \(B\) chở tối đa \(10\) người nên tổng số người \(2\) xe chở tối đa được là \(20x + 10y\).
Xe \(A\) chở được \(0,6\) tấn hàng, xe \(B\) chở được \(1,5\) tấn hàng nên tổng lượng hàng \(2\) xe chở được là \(0,6x + 1,5y\).
Theo giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\end{array} \right.\) \(\left( * \right)\).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\) là tứ giác \(ABCD\) kể cả miền trong của tứ giác.
Biểu thức \(T = 4x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).
Tại các đỉnh \(A\left( {10;2} \right);\,B\left( {10;9} \right);\,C\left( {\frac{5}{2};9} \right);\,D\left( {5;\,4} \right)\) ta thấy \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\end{array} \right.\).
Khi đó \({T_{\min }} = 32\).
Hai tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc \(60^\circ \). Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 20 km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 30 km/h. Hỏi sau 3 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Trả lời: 79,4
Sau 3 giờ, tàu 1 đi được quãng đường là \(AB = 20.3 = 60\) (km).
Sau 3 giờ, tàu 2 đi được quãng đường là \(AC = 30.3 = 90\) (km).
Có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos \widehat A\)
\(B{C^2} = {60^2} + {90^2} - 2.60.90.\cos 60^\circ = 6300\)\( \Rightarrow BC \approx 79,4\).
Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau khoảng 79,4 km.
Cho tam giác \(ABC\), gọi \(I\) là điểm trên \(BC\) kéo dài sao cho \(IB = 3IC\). Gọi \(J,K\) lần lượt là những điểm trên cạnh AC, AB sao cho \(JA = 2JC\); \(KB = 3KA\). Khi đó \(\overrightarrow {BC} = m.\overrightarrow {AI} + n.\overrightarrow {JK} \). Tính tổng \(P = m + n\).
Trả lời: −34
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KJ} + \overrightarrow {JC} \).
Có \(\overrightarrow {BK} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \)\( = - \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right)\)\( = - \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AI} - \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AI} + \frac{9}{8}\overrightarrow {BC} \).
Ta có \(\overrightarrow {JC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AI} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \).
Do đó \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KJ} + \overrightarrow {JC} \)\( = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AI} + \frac{9}{8}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {KJ} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \)\( = - \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {KJ} + \frac{{23}}{{24}}\overrightarrow {BC} \).
Suy ra \(\overrightarrow {BC} = - 10\overrightarrow {AI} + 24\overrightarrow {KJ} \)\( = - 10\overrightarrow {AI} - 24\overrightarrow {JK} \).
Do đó \(m = - 10;n = - 24 \Rightarrow m + n = - 34\).
Có hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động vào một vật đứng tại điểm \(O\), biết hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều có cường độ là 50 N và chúng hợp với nhau một góc \(60^\circ \). Biết vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ là \(a\sqrt b \). Tính \(a + b\).
Trả lời: 53
Đặt \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OC} \).
Dựng hình bình hành \(OABC\).
Ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} \).
Ta có \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 50\), \(\widehat {OAB} = 120^\circ \).
Ta có \(O{B^2} = O{A^2} + A{B^2} - 2.OA.AB.\cos 120^\circ = {50^2} + {50^2} - 2.50.50.\cos 120^\circ = 7500\).
Suy ra \(OB = 50\sqrt 3 \).
Vậy vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ là \(50\sqrt 3 \).
Do đó \(a + b = 50 + 3 = 53\).
