Bộ 14 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 10
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho biểu thức \(P = \sqrt {{x^3}} \), với \(x > 0\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(P = {x^{\frac{3}{2}}}\).
\(P = {x^3}\).
\(P = {x^{\frac{3}{4}}}\).
\(P = x\).
Chọn A
Ta có: \(P = \sqrt {{x^3}} = {x^{\frac{3}{2}}}\).
Tập xác định của hàm số \(y = \,{\log _3}(3x + 1)\) là
\(\mathbb{R}\)
\(\left[ { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\)
\(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash {\rm{\{ }}0\} \)
\(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\)
Chọn D
ĐKXĐ: \(3x + 1 > 0\, \Leftrightarrow x\, > - \frac{1}{3}\). Vậy TXĐ: \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Nghiệm của phương trình \({\log _5}\left( {3x} \right) = 2\) là
\(x = 25\).
\(x = \frac{{32}}{3}\).
\(x = 32\).
\(x = \frac{{25}}{3}\).
Chọn D
Điều kiện: \(x > 0\).
Với điều kiện phương trình đã cho tương đương \(3x = {5^2} = 25\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{25}}{3}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \[{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x - 2}} \ge {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2}\]là
\[\left[ {4; + \infty } \right)\]
\[\left( { - \infty ;\,4} \right]\]
\[\left( {4; + \infty } \right)\]
\[\left( { - \infty ;4} \right)\]
Chọn B
Ta có: \[{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x - 2}} \ge {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4\].
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta \) và điểm \(O\). Qua \[O\] có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với \(\Delta \)?
\(1\).
\(3\).
Vô số.
\(2\).
Chọn C
Trong không gian có vô số đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(\Delta \).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\], \[SA = a\sqrt 2 \] và \[SA\] vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên \[SC\] với đáy bằng
\[60^\circ \].
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[90^\circ \].
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của \[SC\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là \[AC\]. Do đó góc giữa \[SC\] và đáy là góc \[\widehat {SCA}\].
Tam giác \[SAC\] có \[SC = SA = a\sqrt 2 \] nên tam giác \[SAC\] vuông cân\[ \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \].
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\) tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), kết luận nào sau đây sai?
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
Chọn A
![Hình chiếu vuông góc của \[SC\] trê (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/2-1765869703.png)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right)\\SA \subset \left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left( {SAB} \right),\,\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \) B, C đúng.
\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) \( \Rightarrow \) \(BC \bot \left( {SAB} \right);BC \subset \left( {SBC} \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow \)D đúng.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\)bằng
\(AC'\).
\(AB'\).
\(81{\rm{m}}\).
\(AA'\).
Chọn D
Ta có \(d\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA'\)
Quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi là số lượng vi khuẩn ban đầu và \(N(t)\) là số lượng vi khuẩn sau \(t\) giờ thì ta có: \(N(t) = {N_0} \cdot {e^{r\,t}}\) trong đó \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ. Giả sử ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn lên đến 1 triệu con.
\(14,7\).
\(14,5\).
\(14,6\).
\(14,8\).
Chọn A
1 triệu con \( = \) 1 000 000 con.
Ta có sau 1 giờ tăng lên 800 con, suy ra \(500 \cdot {e^{r\, \cdot 1}} = 800 \Rightarrow r = \ln 1,6\).
Ta có \(N(t) = 500 \cdot {e^{r\,t}} = 1\,000\,000 \Leftrightarrow t = \frac{1}{r}\ln 2000 = \frac{{\ln 2000}}{{\ln 1,6}} \approx 14,7\) giờ.
Vậy sau 14,7 giờ.
Một người gửi ngân hàng \(100\) triệu đồng, kì hạn \(1\) năm, thể thức lãi kép, với lãi suất \(7,2\% \)Hỏi nếu không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi thì tối thiểu sau bao nhiêu năm người gửi có được \(165\) triệu đồng? Biết rằng nếu rút trước kì hạn thì không được tính lãi trong kì hạn đó.
\(9\) năm.
\(6\)năm.
\(8\) năm.
\(7\) năm.
Chọn C
Công thức lãi kép: \({T_n} = {T_0}{\left( {1 + r\% } \right)^n}\),
trong đó: \({T_0}\) là số tiền gửi ban đầu
\({T_n}\) là số tiền cả gốc lẫn lãi sau \(n\) kì.
\(r\% \) là lãi suất một kì.
Áp dụng công thức trên ta có:
\({100.10^6}{\left( {1 + 7,2\% } \right)^n} \ge {165.10^6}\)\( \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,072}}\left( {\frac{{165}}{{100}}} \right) \approx 7,2\).
Kim tự tháp kính Louvre là một kim tự tháp được xây bằng kính và kim loại nằm ở giữa sân Napoléon của bảo tàng Louvre, Paris. Toàn bộ kim tự tháp được xây bằng kính cùng các khớp nối kim loại, cao 20,6 m với đáy hình vuông mỗi cạnh 35 m. Trong một sự kiện nghệ thuật, ban tổ chức muốn căng một sợi dây từ tâm của sàn nhà đến bốn mặt bên. Hãy ước lượng độ dài tối thiểu của sợi dây.
\(13,34m.\)
\(13m\).
\(14m\).
\(14,34m\).
Chọn A
Giả sử hình chóp \(S.ABCD\) có cùng kích thước với Kim tự tháp kính Louvre.
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \[ABCD\] và \(N\) là trung điểm \(CD\). Từ \(O\) hạ đường vuông góc xuống \(SN\).
Ta có: \[\left. \begin{array}{l}CD \bot SO\\CD \bot ON\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SON} \right)\] \( \Rightarrow CD \bot OM\).
Mà: \(OM \bot SN\).
Nên: \(OM \bot \left( {SCD} \right)\).
Suy ra: \(OM = d\left[ {O;\left( {SCD} \right)} \right]\) là khoảng cách ngắn nhất để căng dây.
Xét \(\Delta SON\) vuông tại O: \(SO = 20,6m\) và \(ON = \frac{{35}}{2}m\).
\(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}}\) \( \Rightarrow OM \simeq 13,34m\)
Một nhóm thám hiểm muốn dựng một cái lều để nghỉ qua đêm như hình.
Biết rằng tấm bạt trải để che phía trên có kích thước dài 8m rộng 5m và được gập đôi sao cho lều dài 8m. Biết rằng lều sẽ đứng vững nhất khi hai mặt bên của lều tạo với mặt đất một góc \(45^\circ \). Tính thể tích của lều?
\[15{m^2}\].
\[10{m^2}\].
\[25{m^2}\].
\[50{m^2}\].
Giả sử lăng trụ đứng \(ABC.DEF\) có cùng kích thước với cái lều cần dựng. Khi đó,
\(AB = BC = \frac{5}{2}m,AD = CF = 8m.\)
Theo bài ra, ta có: \(\left[ {\left( {BCFE} \right),\left( {ACFD} \right)} \right] = \left( {BC,AC} \right) = \widehat {ACB} = 45^\circ \).
Suy ra \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\).
Vậy thể tích của lều là \(V = S.h = \frac{1}{2}.AB.BC.AD = \frac{1}{2}.\frac{5}{2}.\frac{5}{2}.8 = 25{m^2}\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \[y = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\]. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
Tập xác định của hàm số đã cho là \[{\rm{D}} = \left( {1;\, + \infty } \right)\].
Hàm số đã cho liên tục trên \[\left( {0;\, + \infty } \right)\].
Đồ thị hàm số đã cho nằm bên phải đường thẳng \(d:x = 1\)
Đồ thị hàm số đã cho đối xứng với đồ thị hàm số \[y = {\log _{\frac{1}{8}}}{\left( {x - 1} \right)^3}\] qua trục hoành.
Ta có: Hàm số \[y = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\] xác định khi và chỉ khi \[x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\].
Tập xác định của hàm số là \[{\rm{D}} = \left( {1;\, + \infty } \right)\], nên hàm số liên tục trên \[\left( {1;\, + \infty } \right)\] và có đồ thị nằm bên phải đường thẳng \(d:x = 1\)
Ta có : \[y = {\log _{\frac{1}{8}}}{\left( {x - 1} \right)^3} = {\log _{{2^{ - 3}}}}{\left( {x - 1} \right)^3} = \frac{3}{{ - 3}}{\log _2}\left( {x - 1} \right) = - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\] nên đồ thị hai hàm số đối xứng qua trục hoành.
a) Đúng: Tập xác định của hàm số đã cho là \[{\rm{D}} = \left( {1;\, + \infty } \right)\].
b) Sai: Hàm số đã cho liên tục trên \[\left( {1;\, + \infty } \right)\].
c) Đúng: Đồ thị hàm số đã cho nằm bên phải đường thẳng \(d:x = 1\)
d) Đúng: Đồ thị hai hàm số đối xứng qua trục hoành.
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\),\(SA = a\). Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = a\). Gọi \(I,\,J,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,SC,\,AC\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
Góc giữa hai đường thẳng \(SB,\,JK\) bằng \[60^\circ \].
Hai đường thẳng \(IJ\)và \(AB\) vuông góc.
Đường thẳng \(BC\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Tam giác \(SBK\) vuông tại \(B\).
Ta có: \(SA = AB = a\), \(SA \bot \,AB\,\)(vì \(SA \bot \,(ABC)\)) nên \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(A\)
\( \Rightarrow \widehat {ASB} = \widehat {ABS} = 45^\circ \)
\(\,JK\) là đường trung bình trong tam giác \(SAC\) nên \[JK\,{\rm{//}}\,SA\]
Suy ra: \(\left( {SB,\,JK} \right) = \left( {SB\,,\,SA} \right) = \widehat {ASB} = 45^\circ .\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IJ\,{\rm{//}}\,BC\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow IJ \bot AB\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)
Ta có: \(\Delta ABC\)cân tại \[B\], \[K\] là trung điểm của \[AC\] nên\[BK \bot \,AC\]
\(SA \bot \left( {ABC} \right),\,BK \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(BK \bot SA\)
Do đó: \[AK \bot \,\left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SK\]\[ \Rightarrow \Delta SBK\] vuông tại \[K\].
a) Sai: Góc giữa hai đường thẳng \(SB,\,JK\) bằng \[45^\circ \].
b) Đúng: Hai đường thẳng \(IJ\)và \(AB\) vuông góc.
c) Đúng: Đường thẳng \(BC\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
d) Sai: Tam giác \[SBK\] vuông tại \[K\].
Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức \[s\left( t \right) = A.{e^{rt}},\] trong đó \[A\] là số lượng vi khuẩn ban đầu, \[s(t)\] là số lượng vi khuẩn có sau \[t\] (giờ), \[r\] là tỷ lệ tăng trưởng \[\left( {r > 0} \right),\]\[t\] (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là \[200\]con và sau \[4\] giờ có \[800\] con. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
\[r < \ln 2.\]
Sau 6 giờ thì số lượng vi khuẩn có được gấp 8 lần số lượng vi khuẩn ban đầu.
Số lượng vi khuẩn có được vượt quá 1 triệu con sau 24 giờ.
Số lượng vi khuẩn tăng thêm đạt hơn \[3\,276\,700\] con sau 28 giờ.
a) Đúng: Ta có \[s\left( 4 \right) = 800\] và \[A = 200\] nên
\[800 = 200.{e^{4r}} \Leftrightarrow {e^{4r}} = 4 \Leftrightarrow 4r = \ln 4 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 4}}{4} = \frac{{\ln 2}}{2} \approx 0,3466\]
b) Đúng: Số lượng vi khuẩn có được sau 6 giờ là \[s\left( 6 \right) = 200.{e^{\frac{{\ln 2}}{2}.6}} = 1600\] (con)
c) Sai: Số lượng vi khuẩn có được sau 24 giờ là \[s\left( {24} \right) = 200.{e^{\frac{{\ln 2}}{2}.24}} = 819\,200\] (con).
d) Sai: Số lượng vi khuẩn tăng thêm sau 28 giờ là \[200.{e^{\frac{{\ln 2}}{2}.28}} - 200 = 3\,276\,600\] (con).
Một nhóm học sinh dựng lều trại có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy bằng \[a\] mét và đỉnh hình chóp cách mặt đáy \[h\] mét. Gọi \[V\] là thể tích của lều trại. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Khi \[a = 4\] và \[h = 3\] thì \[V > 20\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).\]
\[V < {V_1}\] với \[{V_1}\] là thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3 mét.
Khi \[a\] tăng lên gấp đôi và \[h\] không đổi thì \[V\] cũng tăng lên gấp đôi.
Khi \[h\] giảm một nửa và \[a\] không đổi thì \[V\] cũng giảm một nửa.
a) Sai.
Đáy lều là hình vuông, có diện tích là : \[S = 16\;\left( {{m^2}} \right).\]
Lều có chiều cao: \[h = 3\;\left( {\rm{m}} \right).\]
Thể tích của lều là: \[V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.16.3 = 16\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).\]
b) Đúng.
Thể tích của khối lập phương là: \[{V_1} = {3^3} = 27\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).\]
c) Sai.
Khi lều có cạnh đáy bằng \[a\] và chiều cao bằng \[h\] thì thể tích của lều là \[V = \frac{1}{3}{a^2}h.\]
Khi \[a\] tăng lên gấp đôi và \[h\] không đổi thì thể tích lều bằng \[\frac{1}{3}{\left( {2a} \right)^2}.h = 4\left( {\frac{1}{3}.{a^2}.h} \right) = 4V.\]
d) Đúng.
Khi \[h\] giảm một nửa và \[a\] không đổi thì thì thể tích lều bằng \[\frac{1}{3}{a^2}.\left( {\frac{h}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}.{a^2}.h} \right) = \frac{V}{2}.\]
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} \right) + {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Tính giá trị của biểu thức\[S = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\]
Điều kiện: \(2 < x \ne 4\).
Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành
\(2{\log _3}\left( {x - 2} \right) + 2{\log _3}\left| {x - 4} \right| = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x - 2} \right)\left| {x - 4} \right| = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left| {x - 4} \right| = 1\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 4\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\{x^2} - 6x + 7 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 4\\{x^2} - 6x + 9 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt 2 \\x = 3\end{array} \right.\)
Kết hợp điều kiện, PT có nghiệm \({x_1} = 3 + \sqrt 2 ;\,{x_2} = 3\). Vậy \(S = 2\).
Ông Nam gởi \(100\) triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn \(1\) năm với lãi suất là \(12\% \) một năm. Sau \(n\) năm ông Nam rút toàn bộ số tiền (cả vốn lẫn lãi). Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất để số tiền lãi nhận được lớn hơn \(40\) triệu đồng (giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi)?
Gọi \({T_n}\) là tiền vốn lẫn lãi sau \(t\) tháng, \(a\) là số tiền ban đầu
Tháng 1 \(\left( {t = 1} \right)\): \({T_1} = a\left( {1 + r} \right)\)
Tháng 2 \(\left( {t = 2} \right)\): \({T_2} = a{\left( {1 + r} \right)^2}\)
……………….
Tháng \(n\left( {t = n} \right):{T_n} = a{\left( {1 + r} \right)^t}\)
\({T_n} = a{\left( {1 + r} \right)^t} \Rightarrow t = \frac{{\ln \frac{{{T_n}}}{a}}}{{\ln \left( {1 + r} \right)}} = \frac{{\ln \frac{{140}}{{100}}}}{{\ln \left( {1 + 1\% } \right)}} \approx 33,815\) (tháng)
Để số tiền lãi nhận được lớn hơn 40 triệu thì \(n > \frac{t}{{12}} \approx 2,818\)
Vậy \(n = 3.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \({\log _5}({x^2} + 1) \ge {\log _5}(m{x^2} + 4x + m)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?
\({\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) + 1 \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _5}5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\)
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{x^2} + 4x + m > 0\\5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m\end{array} \right.,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
(dễ thấy \[m = 0\]không thỏa mãn hệ)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\Delta _{\left( 1 \right)}} = 16 - 4{m^2} < 0\\5 - m > 0\\{\Delta _{\left( 2 \right)}} = 16 - 4{\left( {5 - m} \right)^2} \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 2 \vee m > 2\\m < 5\\m \le 3 \vee m \ge 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 2 < m \le 3\).
Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 3\).
Vậy có 1 giá trị nguyên của \(m\).
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 262 mét, cạnh bên dài 230 mét? Tính chiều cao kim tự tháp đó?
Ta giả sử các cạnh và đỉnh của kim tự tháp như hình vẽ. Vì \[S.ABCD\] hình chóp tứ giác đều nên \[SH\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]. (\(H = AC \cap BD\) )
Xét \({\rm{\Delta ABC}}\) vuông tại \(B\), ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{262}^2} + {{262}^2}} = 262\sqrt 2 \) (m)
\( \Rightarrow HC = \frac{{AC}}{2} = 131\sqrt 2 \) (m)
Xét \({\rm{\Delta SHC}}\) vuông tại \[H\], ta có: \(SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{230}^2} - {{(131\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt {18578} \approx 136\)(m). Vậy chiều cao của kim tự tháp là khoảng 136 mét.
Cho hình chóp tứ giác\(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, , và \[SA\]vuông góc với\((ABCD)\). Biết góc giữa \(\left( {SCD} \right)\)và đáy bằng 60o. Lấy điểm \[I\] thuộc cạnh \[SD\] sao cho\(SI = \frac{1}{2}ID\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CD\)và \(AI\) bằng bao nhiêu?
Góc giữa \[\left( {SCD} \right)\]và \(\left( {ABCD} \right)\)là \(\widehat {SDA} = 60^\circ \).
Ta có:\(SA = AD.\tan 60^\circ = \sqrt {39} .\sqrt 3 = 3\sqrt {13} \) và \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = 2\sqrt {39} \).
Theo giả thiết \(SI = \frac{1}{2}ID \Rightarrow SI = \frac{1}{3}SD = \frac{2}{3}\sqrt {39} \) và \(ID = \frac{{4\sqrt {39} }}{3}\).
Ta có:\(CD//\left( {ABI} \right) \Rightarrow d\left( {CD,AI} \right) = d\left( {CD,\left( {ABI} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {ABI} \right)} \right)\).
Trong\[\left( {SAD} \right)\]. Kẻ \(DP \bot AI\) tại P. Ta có \(AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot DP\).
Do đó \(DP \bot \left( {ABI} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {ABI} \right)} \right) = DP\).
\(I{A^2} = S{I^2} + S{A^2} - 2SI.SA.\cos \widehat {ISA}\)\( = {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {39} } \right)^2} + + {\left( {3\sqrt {13} } \right)^2} - 2.\frac{2}{3}\sqrt {39} .3\sqrt {13} .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{169}}{3}\)\( \Rightarrow IA = \frac{{13\sqrt 3 }}{3}\).
\({S_{\Delta ADI}} = \frac{1}{2}DI.DA.\sin \widehat {ADI} = \frac{1}{2}.\frac{{4\sqrt {39} }}{3}.\sqrt {39} .\sin 60^\circ = 13\sqrt 3 \)
Và \({S_{\Delta ADI}} = \frac{1}{2}DP.AI \Rightarrow 13\sqrt 3 = \frac{1}{2}.\frac{{13\sqrt 3 }}{3}.DP \Rightarrow DP = 6\).
Vậy \(d\left( {CD,AI} \right) = 6\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 2\sqrt 3 ;BC = 6;\widehat {ABC} = 60^\circ \). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là một điểm thuộc cạnh BC. Góc giữa đường thẳng \(SA\)và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là\({45^0}\). Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng bao nhiêu?
![Góc giữa \[\left( {SCD} \right)\]v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/8-1765870331.png)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\),\(H \in BC\).
\[\widehat {\left( {SA,(ABC)} \right)} = \widehat {SAH} = 45^\circ \Rightarrow \]\(\Delta SHA\) vuông cân \( \Rightarrow SH = HA.\)
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.AH.\frac{1}{2}AB.BC.sin\widehat {ABC}\)\( = \frac{1}{6}.AH.2\sqrt 3 .6.sin60^\circ = 3.AH.\)
Do đó: \({V_{min}} \Leftrightarrow A{H_{min}} \Leftrightarrow AH \bot BC\) tại \(H\).
Ta có: \(sin\widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = AB.\sin 60^\circ = 2\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\)
Vậy \({V_{\min }} = 3.3 = 9\).
