Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8
38 câu hỏi
Cho $a$ là số thực dương, $m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N},n \geqslant 2.$ Khẳng định nào sau đây sai?
${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.$
${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}.$
${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}.$
${a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[{}]{a}.$
Chọn C
Cho \[x,y\] là hai số thực dương khác \[1\] và \[n,m\] là hai số thực tùy ý.
Đẳng thức nào sau đây sai?
\[{x^m} \cdot {x^n} = {x^{m + n}}\].
\[{x^n}{y^n} = {\left( {xy} \right)^n}\].
\[\frac{{{x^n}}}{{{y^m}}} = {\left( {\frac{x}{y}} \right)^{n - m}}\].
\[\frac{{{x^n}}}{{{y^n}}} = {\left( {\frac{x}{y}} \right)^n}\].
Chọn C
Tính giá trị của ${2^{3 - \sqrt 2 }} \cdot {4^{\sqrt 2 }}$ bằng
$8$.
$32$.
${2^{3 + \sqrt 2 }}$.
${4^{6\sqrt 2 - 4}}$.
Chọn C
Rút gọn biểu thức$P = \sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^{18}}} }}\left( {a > 0,b > 0} \right)$ thu được kết quả là
$P = {a^2}{b^3}.$
$P = {a^6}{b^9}.$
$P = {a^2}{b^9}.$
$P = {a^6}{b^3}.$
Chọn A
${\log _3}\frac{1}{{27}}$bằng
$ - 3$.
$ - \frac{1}{3}$.
$\frac{1}{3}$.
3.
Chọn A
Cho $a,\,\,b > 0$và $a \ne 1$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
${\log _a}1 = 0$.
${\log _a}a = 1$.
${\log _a}{a^b} = a$.
${a^{{{\log }_a}b}} = b$.
Chọn C
Cho \[a > 0\], \[a \ne 1\]. Biểu thức \[{a^{{{\log }_a}{a^2}}}\] bằng
\[2a\].
\[2\].
\[{2^a}\].
\[{a^2}\].
Chọn D
Với mọi $a$, $b$, $x$ là các số thực dương thoả mãn log2x=5log2a+3log2b
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
$x = 5a + 3b$.
\[x = {a^5} + {b^3}\].
\[x = {a^5}{b^3}\].
$x = 3a + 5b$.
Chọn C
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit?
$y = {3^{\log x}}$.
$y = {\log _{\sqrt 2 }}x$.
$y = x{\log _3}2$.
$y = \left( {x + 3} \right)\ln 2$.
Chọn B
Tập xác định của hàm số \[y = {6^x}\] là
\[\left[ {0; + \infty } \right).\]
\[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\]
\[\left( {0; + \infty } \right).\]
\[\mathbb{R}\].
Chọn D
Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?
$f\left( x \right) = {3^x}$.
$f\left( x \right) = {3^{ - x}}$.
$f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^x}$.
$f\left( x \right) = \frac{3}{{{3^x}}}$.
Chọn A
Nghiệm của phương trình ${3^x} = 9$ là
1.
2.
3.
9.
Chọn B
Nghiệm của phương trình ${\log _2}x = 3$ là
6.
8.
9.
12.
Chọn B
Tìm tập nghiệm $S$của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)$.
$S = \left( {2; + \infty } \right)$.
$S = \left( { - 1;2} \right)$.
$S = \left( { - \infty ;2} \right)$.
$S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$.
Chọn D
Tập nghiệm của bất phương trình \[{2^{x\, - \,3}}\, > \,8\] là
\[\left[ {6;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {0;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {6;\, + \infty } \right)\].
\[\left( {3;\, + \infty } \right)\].
Chọn C
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì phải cắt nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Chọn A
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $AA'$ là góc nào sau đây?
$\widehat {ACA'}$.
$\widehat {AB'C}$.
$\widehat {DB'B}$
$\widehat {CAA'}$.
Chọn D
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AD,\,\,SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?
$MN \bot SC.$
$MN \bot SB.$
$MN \bot SA.$
$MN \bot AB.$
Chọn A
Qua điểm \[O\] cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta $ cho trước?
$1$.
vô số.
$3$.
$2$
Chọn A
Cho tứ diện $OABC$ có $OA,\,OB,\,OC$ đôi một vuông góc với nhau Mệnh đề nào dưới đây đúng?
$OB \bot \left( {OAC} \right).$
$AC \bot \left( {OAB} \right).$
$AC \bot \left( {OBC} \right).$
$AC \bot \left( {OBC} \right).$
Chọn A
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Đường thẳng $AC'$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
$\left( {A'BD} \right)$.
$\left( {A'DC'} \right)$.
$\left( {A'CD'} \right)$.
$\left( {A'B'CD} \right)$.
Chọn A
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left( P \right)$ theo phương $\Delta $ song song với $\left( P \right)$ được gọi làphép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Phép chiếu song song lên mặt phẳng $\left( P \right)$ theo phương $\Delta $ được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left( P \right)$ theo phương $\Delta $ được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Phép chiếu song song lên mặt phẳng $\left( P \right)$ theo phương $\Delta $ vuông góc với $\left( P \right)$ được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Chọn D
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SC$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$. Góc giữa $SA$ với $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa
\[SA\]và \[AB\].
\[SA\]và \[SC\].
\[SB\]và\[BC\].
\[SA\]và \[AC\].
Chọn D
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$là hình vuông, \[SA\]vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]. Chọn khẳng định sai?
\[A\] là hình chiếu vuông góc của \[S\]lên \[\left( {SAB} \right).\]
\[B\] là chiếu vuông góc của \[C\]lên \[\left( {SAB} \right).\]
\[D\]là chiếu vuông góc của \[C\]lên \[\left( {SAD} \right).\]
Chọn B
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Chọn A
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Hình chóp đều là hình chóp có chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Hình chóp đều là tứ diện đều.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều.
Chọn B
Trong không gian cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$, mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ ?
\[\left( {AA'B'B} \right)\].
\[\left( {A'B'CD} \right)\].
\[\left( {ADC'B'} \right)\].
\[\left( {BCD'A'} \right)\].
Chọn A
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh $a$ và $AC = a$. Số đo góc nhị diện \[\left[ {B,SA,D} \right]\] bằng
\[30^\circ .\]
\[45^\circ .\]
\[120^\circ .\]
\[60^\circ .\]
Chọn C
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$là
Độ dài đoạn thẳng từ một điểm thuộc đường thẳng $a$ đến một điểm thuộc đường thẳng $b$.
Độ dài đoạn vuông góc chung của đường thẳng \[a\]và đường thẳng \[b\].
Khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc đường thẳng $a$ đến hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên đường thẳng$b$.
Khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc đường thẳng $a$ đến đường thẳng $b$.
Chọn B
Hình chóp đều $S.ABC.$ Khoảng cách từ $S$ đến $\left( {ABC} \right)$ là
\[SO\](với \[O\] là trọng tâm của tam giác $ABC$).
\[SM\](với \[M\] là trung điểm của $BC$).
\[SA.\]
\[SH\](với \[H\] là hình chiếu của $S$ trên $AC$).
Chọn A
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có \[AB = SA = 2a\]. Khoảng cách từ đường thẳng $AD$ đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng
\[\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\].
\[\frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\].
\[\frac{a}{2}\].
\[a\].
Chọn B
Khẳng định nào sau đây là sai?
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là $V = \frac{1}{3}Bh$.
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là $V = Bh$.
Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kính thước của nó.
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là $V = 3Bh$.
Chọn D
Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $a$ và chiều cao bằng $2a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
$4{a^3}$.
$\frac{2}{3}{a^3}$.
$2{a^3}$.
$\frac{4}{3}{a^3}$.
Chọn B
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 9, chiều cao bằng 2 là
18.
6.
9.
54.
Chọn A
Cho khối chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], tam giác \[SAB\] cân tại \[S\] và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, \[SA = 2a\]. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp \[S.ABCD\] ta được
\[V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}\].
\[V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\].
\[V = 2{a^3}\].
\[V = \frac{{2{a^3}}}{3}\].
Chọn B
a) Biết ${\log _x}y = 2$. Tính giá trị của ${\log _{{x^2}y}}\frac{{{x^4}}}{{y\sqrt y }}$.
b) Tìm $m$ nguyên để hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{3}{2}}}\] xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.
a) (0,5 điểm)
Ta có ${\log _x}y = 2 \Rightarrow y = {x^2};\,\,x,\,y > 0,\,x \ne 1$.
Vậy ${\log _{{x^2}y}}\frac{{{x^4}}}{{y\sqrt y }} = {\log _{{x^4}}}\frac{{{x^4}}}{{{x^3}}} = {\log _{{x^4}}}x = \frac{1}{4}$.
b) (0,5 điểm)
Hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{3}{2}}}\] xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 > 0,x \in \mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 16 < 0$$ \Leftrightarrow - 4 < m < 4$.
Vì $m$nguyên nên \[m \in \left\{ { - 3\,; - 2\,; - 1\,;0\,;1\,;2\,;3} \right\}\].
Vậy có tất cả \[7\] giá trị $m$thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[B\], \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] lên \[SB\].
a) Chứng minh rằng \[AH \bot \left( {SBC} \right)\].
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\], biết \[SA = AB = a\].
a) Ta có \[\left\{ \begin{gathered}
BC \bot SA \hfill \\
BC \bot AB \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\].
Ta lại có \[\left\{ \begin{gathered}
AH \bot SB \hfill \\
AH \bot BC \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\].
b) Gọi \[M\] là trung điểm của \[AC\] và \[N\] là hình chiếu của \[M\] trên \[SC\].
Ta có \[MB \bot AC \Rightarrow MB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow MB \bot SC\].
Từ đó suy ra $SC \bot \left( {MNB} \right)$ nên $SC \bot MN$.
Do đó \[\left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \widehat {MNB}\].
Gọi \[K\] là hình chiếu của \[A\] lên \[SC\].
Ta tính được \[MB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]; \[AK = \frac{{SA \cdot AC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\].
Ta có \[\tan \widehat {MNB} = \frac{{MB}}{{MN}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{6}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MNB} = 60^\circ \].
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[60^\circ \].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình chữ nhật với \[AB = a,BC = a\sqrt 3 \]. Hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\] cùng vuông góc với đáy. Điểm \[I\] thuộc đoạn \[SC\] sao cho \[SC = 3IC\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AI\] và \[SB\] biết rằng \[AI\] vuông góc với \[SC\].
Gọi \[O\] là tâm hình chữ nhật \[ABCD\], \[(SAC) \cap (SBD) = SO\] suy ra \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\].
Ta có \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a \Rightarrow OC = a\].
Mà .
Kẻ \[IM{\text{//}}SB\left( {M \in BC} \right) \Rightarrow SB{\text{//}}\left( {AIM} \right)\], suy ra
\[d\left( {SB,AI} \right) = d\left( {SB,\left( {AIM} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AIM} \right)} \right)\].
Kẻ \[IH{\text{//}}SO\left( {H \in OC} \right) \Rightarrow IH \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[\frac{{HC}}{{OC}} = \frac{{IC}}{{SC}} = \frac{1}{3}\].
Ta có \[d\left( {B,\left( {AIM} \right)} \right) = 2d\left( {C,\left( {AIM} \right)} \right) = 2 \cdot \frac{6}{5}d\left( {H,\left( {AIM} \right)} \right) = \frac{{12}}{5}h\].
Kẻ \[HE{\text{//}}AD,HF{\text{//}}DC{\text{ }}\left( {E,F \in AM} \right) \Rightarrow HE \bot HF\] mà $IH \bot \left( {HEF} \right)$ nên \[H.IEF\] là tứ diện vuông tại \[H\].
Ta có \[\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} + \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{H{F^2}}}\]
với $IH = \frac{1}{3}SO = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}$; \[HE = \frac{5}{6}MC = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3}BC = \frac{{5a\sqrt 3 }}{{18}};\]\[HF = \frac{5}{4}MN = \frac{5}{4}.\frac{1}{3}AB = \frac{5}{{12}}a\].
Suy ra \[\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} + \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{{297}}{{25{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{5a}}{{3\sqrt {33} }}\].
Vậy ta có \[d\left( {AI,SB} \right) = \frac{{12}}{5} \cdot \frac{{5a}}{{3\sqrt {33} }} = \frac{{4a}}{{\sqrt {33} }}\].
