Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 9
48 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc \(\frac{{7\pi }}{4}?\)
\[ - \frac{\pi }{4}.\]
\[\frac{\pi }{4}.\]
\[\frac{{3\pi }}{4}.\]
\[ - \frac{{3\pi }}{4}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\frac{{7\pi }}{4} = 2\pi - \frac{\pi }{4}\).
Góc lượng giác có cùng điểm cuối với góc \(\frac{{7\pi }}{4}\) là \( - \frac{\pi }{4}\).
Cho hai góc lượng giác có sđOx, Ou=−5π2+m2π, m∈ℤ và sđOx, Ov=−π2+n2π, n∈ℤ.Khẳng định nào sau đây đúng?
\(Ou\) và \(Ov\) vuông góc.
\(Ou\) và \(Ov\) đối nhau.
\(Ou\) và \(Ov\) trùng nhau.
Tạo với nhau một góc \(\frac{\pi }{4}\).
Đáp án đúng là: C
• Tia cuối của góc lượng giác có trùng với tia \(OB'.\)
• Tia cuối của góc lượng giác có trùng với tia \(OB'.\)
Do đó, hai tia \(Ou\) và \(Ov\) trùng nhau.
Điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ mấy nếu \(\sin \alpha ,\,\,\tan \alpha \) trái dấu?
Thứ I.
Thứ II hoặc IV.
Thứ I hoặc IV.
Thứ II hoặc III.
Đáp án đúng là: D
Điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ II hoặc III nếu \(\sin \alpha ,\,\,\tan \alpha \) trái dấu.
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{7\pi }}{2} < \alpha < 4\pi .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]
\[\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]
\[\sin \alpha = \frac{2}{3}.\]
\[\sin \alpha = - \frac{2}{3}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\cos \alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Vì \(\frac{{7\pi }}{2} < \alpha < 4\pi \) nên \[\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]
Biểu thức \(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
\(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\sin a + \sin b}}{{\sin a - \sin b}}\).
\(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\sin a - \sin b}}{{\sin a + \sin b}}\).
\(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\tan a + \tan b}}{{\tan a - \tan b}}\).
\(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\cot a + \cot b}}{{\cot a - \cot b}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin \left( {a - b} \right)}} = \frac{{\sin a\cos b + \cos a\sin b}}{{\sin a\cos b - \cos a\sin b}} = \frac{{\tan a + \tan b}}{{\tan a - \tan b}}\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\sin x + \cos x}},\) ta được kết quả
\(A = \sin x + \cos x.\)
\(A = \cos x - \sin x.\)
\(A = \cos 2x - \sin 2x.\)
\(A = \cos 2x + \sin 2x.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(A = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\sin x + \cos x}} = \frac{{2{{\cos }^2}x - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}\)
\( = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}} = \cos x - \sin x.\)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số chẵn.
Đáp án đúng là: C
Khẳng định đúng là: Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
Tìm tập giá trị \(T\) của hàm số \(y = 3\cos 2x + 5.\)
\(T = \left[ { - 1\,;\,\,1} \right].\)
\(T = \left[ { - 1\,;\,\,11} \right].\)
\(T = \left[ {2\,;\,\,8} \right].\)
\(T = \left[ {5\,;\,\,8} \right].\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3\cos 2x \le 3\)
\( \Leftrightarrow 2 \le 3\cos 2x + 5 \le 8\)\[ \Leftrightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2\,;\,\,8} \right].\]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\sin x = m + 1\) có nghiệm?
\(m \ge 1.\)
\(0 \le m \le 1.\)
\(m \le 0.\)
\( - 2 \le m \le 0.\)
Đáp án đúng là: D
Phương trình \(\sin x = m + 1\) có nghiệm khi \[ - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0.\]
Nghiệm nào của phương trình \(\tan x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\) được biểu diễn trên đường tròn lượng giác trong hình bên dưới là những điểm nào?
Điểm \(F,\) điểm \(D.\)
Điểm \(C,\) điểm \(F.\)
Điểm \(C,\) điểm \(D,\) điểm \(E,\) điểm \(F.\)
Điểm \(E,\) điểm \(F.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\tan x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\]
Với \(0 < x < 2\pi \), ta có: \[x = - \frac{\pi }{3}\] hoặc \[x = \frac{{2\pi }}{3}.\]
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 + {2^n}.\) Khi đó số hạng \({u_{2018}}\) bằng
\({2^{2018}}.\)
\(2017 + {2^{2017}}.\)
\(1 + {2^{2018}}.\)
\(2018 + {2^{2018}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \({u_{2018}} = 1 + {2^{2018}}.\)
Tìm \(x\) biết: \(\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 7} \right) + \left( {x + 11} \right) + \cdots + \left( {x + 79} \right) = 860.\)
\(x = 1.\)
\(x = 2.\)
\(x = 3.\)
\(x = 4.\)
Đáp án đúng là: B
\(\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 7} \right) + \left( {x + 11} \right) + \cdots + \left( {x + 79} \right) = 860.\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 3 + x + 79} \right) + \left( {x + 7x + 75} \right) + \cdots + \left( {x + 79 + x + 3} \right) = 1720\)
\( \Leftrightarrow 20\left( {x + 3 + x + 79} \right) = 1720\)
\( \Leftrightarrow 20\left( {2x + 82} \right) = 1720 \Leftrightarrow x = 2.\)
Vậy \(x = 2.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 9\) và công sai \(d = 2.\) Giá trị của \({u_2}\) bằng
11.
\(\frac{9}{2}.\)
18.
7.
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_2} = {u_1} + d = 9 + 2 = 11.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 2.\) Tổng \({S_{10}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + \cdots + {u_{10}}\) bằng
\({S_{10}} = 110.\)
\({S_{10}} = 100.\)
\({S_{10}} = 21.\)
\({S_{10}} = 19.\)
Đáp án đúng là: B
Áp dụng công thức \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_n} + {u_1}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\), ta được:
\[{S_n} = \frac{{10\left[ {2 + \left( {10 - 1} \right)2} \right]}}{2} = 100\].
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 2\) và công bội \(q = 3.\) Số hạng \({u_2}\) là
\({u_2} = - 6.\)
\({u_2} = 6.\)
\({u_2} = 1.\)
\({u_2} = - 18.\)
Đáp án đúng là: A
Số hạng \({u_2}\) là: \({u_2} = {u_1} \cdot q = - 6.\)
Cho cấp số nhân có \({u_1} = - 3;\,\,q = \frac{2}{3}.\) Số \(\frac{{ - 96}}{{243}}\) là số hạng thứ mấy của cấp số này?
Thứ 5.
Thứ 6.
Thứ 7.
Không phải là số hạng của cấp số.
Đáp án đúng là: B
Giả sử số \(\frac{{ - 96}}{{243}}\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số này.
Ta có: \({u_1} \cdot {q^{n\, - \,1}} = \frac{{ - 96}}{{243}} \Leftrightarrow \left( { - 3} \right) \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n\, - \,1}} = \frac{{ - 96}}{{243}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n\, - \,1}} = \frac{{ - 32}}{{243}} \Leftrightarrow n = 6.\)
Vậy số \(\frac{{ - 96}}{{243}}\) là số hạng thứ 6 của cấp số.
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó?
3.
4.
2.
6.
Đáp án đúng là: B
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện. Vì vậy xác định nhiều nhất bốn mặt phẳng phân biệt.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với đáy lớn \(AD,\,\,AD = 2BC.\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là
\(SA\).
\(AC\).
\(SD\).
\(SO\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC,\,\,AC \in \left( {SAC} \right)\\O \in BD,\,\,BD \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
Nên \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
Hai đường thẳng phân biệt có không quá một điểm chung.
Hai đường thẳng cắt nhau thì không song song với nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề sai là: Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Cho tứ diện \(ABCD.\) Trên các cạnh \(AB,\,\,AD\) lần lượt lấy các điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{1}{3}.\) Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(CD,\,\,CB.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tứ giác \(MNPQ\) không có các cặp cạnh đối song song.
Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
Bốn điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) không đồng phẳng.
Tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.
Đáp án đúng là: D
• Xét tam giác \(ABD\) có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BD.\)
• Xét tam giác \(BCD\) có: \(PQ\) là đường trung bình của tam giác nên \(PQ\,{\rm{//}}\,BD.\)
Do đó \[PQ\,{\rm{//}}\,MN\] nên \(MNPQ\) là hình thang.
II. Tự luận (4,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải phương trình:
a) \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\); b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \sin 5x = 0\).
a) \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\)
Điều kiện \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) hay \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\).
Ta có \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{{ - \pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \sin 5x = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin 5x\)
\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} - 5x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{2} + 5x + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{42}} + \frac{{k2\pi }}{7}\\x = \frac{{5\pi }}{{18}} - \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = \frac{\pi }{{42}} + \frac{{k2\pi }}{7}\,;\,\,x = \frac{{5\pi }}{{18}} - \frac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
(0,5 điểm) Tính tổng: \(S = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{4}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{8}} \right) + \cdots + \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right).\) Tính \({S_{10}}.\)
Ta có \(S = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{4}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{8}} \right) + \cdots + \left( {1 - \frac{1}{{{2^{10}}}}} \right)\)
\( = 10 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^{10}}}}} \right)\).
Đặt \(M = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^{10}}}}\).
Ta có \(2M = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^9}}}\).
Khi đó \(2M - M = M = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \cdots + \frac{1}{{{2^{10}}}}} \right) = 1 - \frac{1}{{{2^{10}}}}\).
Do đó \[S = 10 - 1 + \frac{1}{{{2^{10}}}} = 9 + \frac{1}{{{2^{10}}}}.\]
(1,5 điểm)Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thang \[(AD\] là đáy lớn, \[BC\] là đáy nhỏ). Gọi \[E,{\rm{ }}F\] lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[SD.{\rm{ }}K\] là giao điểm của các đường thẳng \[AB\] và \[CD.\]
a) Tìm giao điểm \[M\] của đường thẳng \[SB\] và mặt phẳng \(\left( {CDE} \right)\).
b) Đường thẳng \[SC\] cắt mặt phẳng \(\left( {EFM} \right)\) tại \[N.\] Tứ giác \[EFNM\] là hình gì?
c) Chứng minh các đường thẳng \[AM,{\rm{ }}DN,{\rm{ }}SK\] đồng quy.
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/23-1762399116.png)
a) Ta có \(SK = (SAB) \cap (SCD)\).
Trong mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\], gọi \(M = KE \cap SB\), có \(KE \subset (CDE).\)
Do đó \(SB \cap (CDE) = M\).
b) Trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right),\] gọi \(N = KF \cap SC\), có \(KF \subset (EFM)\).
Do đó \[SC \cap (EFM) = N\].
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}MN = (EFK) \cap (SBC)\\EF\,{\rm{// }}BC;\,\,EF \subset (EFK),\,\,BC \subset (SBC)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow MN\,{\rm{// }}EF\,{\rm{// }}BC\).
Vậy tứ giác \[EFNM\] là hình thang.
c)Trong mặt phẳng \[\left( {ADNM} \right),\] gọi \(I = AM \cap DN\).
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AM,\,\,AM \subset (SAB)\\I \in CD,\,\,CD \subset (SCD)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I \in (SAB) \cap (SCD)\), hay \(I \in SK\).
Vậy ba đường thẳng \[AM,{\rm{ }}DN,{\rm{ }}SK\] đồng quy tại điểm \[I.\]
(1,0 điểm)Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào n gày 01 tháng 01 năm 2016, sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền?
Số ngày bạn An để dành tiền là \(31 + 29 + 31 + 30 = 121\) (ngày).
Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: \({u_1} = 100.\)
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: \({u_2} = 100 + 1 \cdot 100.\)
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: \({u_3} = 100 + 2 \cdot 100.\)
...
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ \(n\) là:
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 100 + \left( {n - 1} \right)100 = 100n.\)
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: \({u_{121}} = 100 \cdot 121 = 12\,\,100.\)
Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 100\), công sai \(d = 100.\)
Số tiền An tích lũy được là:
\({S_{121}} = \frac{{121}}{2}\left( {{u_1} + {u_{121}}} \right) = \frac{{121}}{2}\left( {100 + 12\,\,100} \right) = 738\,\,100\) (đồng).
Vậy số tiền An tích lũy được là \(738\,\,100\) đồng.
I. Trắc nghiệm (6 điểm)
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 10 = 0\) là số hữu tỉ” là
“Nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 10 = 0\) không là số hữu tỉ”;
“Nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 10 = 0\) không là vô tỉ”;
“Phương trình \(3{x^2} + 10 = 0\) vô nghiệm”;
“Nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 10 = 0\) không là số nguyên”.
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 10 = 0\) là số hữu tỉ” là “Nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 10 = 0\) không là số hữu tỉ”.
Mệnh đề “Nếu tam giác đều thì tam giác đó có ba cạnh bằng nhau” có mệnh đề đảo là
“Nếu tam giác có ba cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều”;
“Nếu tam giác không đều thì tam giác đó không có ba cạnh bằng nhau”;
“Nếu tam giác đều thì tam giác đó không có ba cạnh bằng nhau”;
“Nếu tam giác có ba cạnh bằng nhau thì tam giác đó không phải là tam giác đều”;
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề “Nếu tam giác đều thì tam giác đó có ba cạnh bằng nhau” có mệnh đề đảo là “Nếu tam giác có ba cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều”.
Khẳng định đúng là
\(3 \notin \left[ {3;9} \right]\);
\(3 \in \left( { - \infty ;2} \right)\);
\(3 \in \left( { - 4;3} \right]\);
\(3 \notin \left( { - 5; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: C
Nửa khoảng \(\left( { - 4;3} \right]\) bao gồm các số thực lớn hơn – 4 và nhỏ hơn hoặc bằng 3 nên \(3 \in \left( { - 4;3} \right]\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {4;\frac{1}{2};\sqrt 5 ;0,3} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in A|x \in \mathbb{Q}} \right\}\). Viết tập hợp \(B\) dưới dạng liệt kê các phần tử của tập hợp ta được
\(B = \left\{ {4;\frac{1}{2};0,3} \right\}\);
\(B = \left\{ 4 \right\}\);
\(B = \left\{ {\frac{1}{2};0,3} \right\}\);
\(B = \left\{ {4;\frac{1}{2}} \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Tập hợp \(B\) bao gồm các phần tử thuộc tập hợp \(A\) mà là số hữu tỉ.
Vậy \(B = \left\{ {4;\frac{1}{2};0,3} \right\}\) (do \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ).
Cho số thực \(x\), khi \(x < 4\) thì \(x\) thuộc tập hợp nào sau đây?
\(\left( { - \infty ;3} \right)\);
\(\left( {4;10} \right]\);
\(\left( { - \infty ;4} \right)\);
\(\left( { - \infty ;4} \right]\).
Đáp án đúng là: C
Với số thực \(x\), khi \(x < 4\) thì \(x \in \left( { - \infty ;4} \right)\).
Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x - y + 4 < 0\) ?
\(\left( {1;6} \right)\);
\(\left( {2;3} \right)\);
\(\left( {0; - 3} \right)\);
\(\left( {1;5} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 1\) và \(y = 6\) vào biểu thức \(x - y + 4\) ta có:
\(1 - 6 + 4 = - 1 < 0\)
Vậy cặp số \(\left( {1;6} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x - y + 4 < 0\).
Nửa mặt phẳng (không kể bờ) có bờ là đường thẳng \(2x - y = 5\) và không chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) là miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào dưới đây?
\(2x - y < 5\);
\(2x - y > 5\);
\(2x - y \le 5\);
\(2x - y \ge 5\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(2 \cdot 0 - 0 = 0 < 5\).
Vậy bất phương trình \(2x - y > 5\) có miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ) có bờ là đường thẳng \(2x - y = 5\) và không chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Điểm \(A\left( {2;5} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào sau đây?
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 6y < 4\\x - 4y \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y < 100\\x - y \le 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 10\\5x - y < 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y > 2\\x - y < - 6\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 = 19 < 100\\2 - 5 = - 3 < 0\end{array} \right.\).
Vậy điểm \(A\left( {2;5} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y < 100\\x - y \le 0\end{array} \right.\).
Trong các hệ bất phương trình sau, hệ nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - {y^2} \ge 2\\x - 4y < 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - {y^2} \ge 0\\x - 4y < 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 9y > - 3\\xy > 7\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 1\\2x - y - 7 > 0\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < 1\\2x - y - 7 > 0\end{array} \right.\).
Cho góc \(\beta \) biết \(0^\circ \le \beta \le 180^\circ \), khẳng định nào sau đây là sai ?
\(\tan \beta = - \tan \left( { - \beta } \right)\);
\[\cos \left( { - \beta } \right) = \cos \beta \];
\(\sin \left( {180^\circ - \beta } \right) = \sin \beta \);
\(\cot \beta = \cot \left( { - \beta } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Do \(0^\circ \le \beta \le 180^\circ \), ta có: \(\sin \left( {180^\circ - \beta } \right) = \sin \beta \), \[\cos \left( { - \beta } \right) = \cos \beta \], \(\tan \beta = - \tan \left( { - \beta } \right)\), \(\cot \beta = - \cot \left( { - \beta } \right)\).
Vậy \(\cot \beta = \cot \left( { - \beta } \right)\) là khẳng định sai.
Cho tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\), các góc đối diện các cạnh đó lần lượt là \(\alpha \), \(\beta \), \(\varphi \). Áp dụng định lí sin cho tam giác này ta có:
\(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \varphi }}\);
\(\frac{a}{{\sin \varphi }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \alpha }}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\sin \alpha \);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\sin \alpha \).
Đáp án đúng là: A
Cho tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\), các góc đối diện các cạnh đó lần lượt là \(\alpha \), \(\beta \), \(\varphi \). Theo định lí sin ta có: \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \varphi }}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\,\,{\rm{cm}}\), \(AC = 6\,\,{\rm{cm}}\), \(BC = 7\,{\rm{cm}}\). Diện tích (làm tròn đến hàng phần trăm) của tam giác \(ABC\) là
\(11,96\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\);
\(11,97\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\);
\(11,98\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\);
\(11,99\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Đáp án đúng là: C
Nửa chu vi của tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{4 + 6 + 7}}{2} = 8,5\) (cm).
Áp dụng công thức Hê-rông tính diện tích ta có:
\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} \)
\( = \sqrt {8,5 \cdot \left( {8,5 - 4} \right) \cdot \left( {8,5 - 6} \right) \cdot \left( {8,5 - 7} \right)} \approx 11,98\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Cho hình ảnh dưới, khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) có cùng điểm cuối;
\[\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EG} \];
Đường thẳng \(AE\) là giá của vectơ \(\overrightarrow {EG} \);
\[\overrightarrow {EF} \] và \[\overrightarrow {EG} \] là hai vectơ đối nhau.
Đáp án đúng là: D
Xét từng đáp án:
+) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) lần lượt có điểm cuối là \(B\) và \(C\) nên đáp án A sai.
+) Ta có: \[\overrightarrow {EF} \] và \[\overrightarrow {EG} \] là hai vectơ có cùng phương, ngược hướng, có độ dài bằng nhau.
Vậy \[\overrightarrow {EF} \] và \[\overrightarrow {EG} \] là hai vectơ đối nhau, do đó đáp án B sai và đáp án D đúng.
+) Giá của vectơ \(\overrightarrow {EG} \) là đường thẳng \(FG\) nên đáp án C sai.
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\). Cặp vectơ nào sau đây là cặp vectơ ngược hướng ?
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {BM} \) và \(\overrightarrow {MC} \);
\(\overrightarrow {BM} \) và \(\overrightarrow {CM} \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {BM} \) và \(\overrightarrow {CM} \) có cùng giá là đường thẳng \(BC\) và có hướng ngược nhau.
Do đó, \(\overrightarrow {BM} \) và \(\overrightarrow {CM} \) ngược hướng.
Cho hình bình hành \(ABCD\), khẳng định nào sau đây thể hiện quy tắc ba điểm?
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \];
\[\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CD} \];
\[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \].
Đáp án đúng là: B
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \].
Cho hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) như hình vẽ.
Hình vẽ biểu diễn vectơ hiệu \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \) là
;
;
;
.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \).
Do đó, ta có hình vẽ biểu diễn:
Biểu thức nào dưới đây là tích của một số với một vectơ ?
\(3\overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow 0 \cdot \overrightarrow {MN} \).
Đáp án đúng là: A
\(3\overrightarrow {AB} \) là biểu thức tích của một số với một vectơ.
Cho tam giác \(ABC\) có \(D\), \(H\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) như hình vẽ.
Khi đó ta có \(\overrightarrow {DH} = ...\overrightarrow {BC} \). Số thích hợp để điền vào chỗ chấm là
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{1}{3}\);
\(\frac{2}{3}\);
1.
Đáp án đúng là: A
Do \(D\), \(H\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(DH\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow DH = \frac{1}{2}BC;\,\,DH{\rm{//}}BC\)
Vậy \(\overrightarrow {DH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ – không. Biết \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1\) và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\). Khi đó: \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = ?\)
\(0^\circ \);
\(1^\circ \);
\(180^\circ \);
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow - 1 = 1 \cdot 1 \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) đều có \(AC = 11\,\,\,{\rm{cm}}\). Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = ?\)
121,5;
121;
60;
60,5.
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \(ABC\) đều ta có:
\(AB = AC = 11\,\,\,{\rm{cm}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 11\,\,\,{\rm{cm}}\)
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ \)
Do đó ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 11 \cdot 11 \cdot \cos 60^\circ = 60,5\).
II. Tự luận (4 điểm)
(1 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ;2m} \right]\) và \(B = {\rm{[8}}; + \infty )\). Tìm \(m\) để \(A \cap B \ne \emptyset \).
Biểu diễn tập hợp \(A = \left( { - \infty ;2m} \right]\) trên trục số ta có:
Biểu diễn tập hợp \(B = {\rm{[8}}; + \infty )\) trên trục số ta có:
Do đó, để \(A \cap B \ne \emptyset \) thì \(2m \ge 8 \Leftrightarrow m \ge 4\).
Vậy khi \(m \ge 4\) thì \(A \cap B \ne \emptyset \).
(1 điểm) Một xưởng cơ khí có hai máy sản xuất là máy \(A\) và máy \(B\). Xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm \(C\) và \(D\). Mỗi sản phẩm \(C\) lãi 60 000 đồng, mỗi sản phẩm loại \(D\) lãi 40 000 đồng. Để sản xuất được một sản phẩm \(C\) thì máy \(A\) phải hoạt động trong 3 giờ, máy \(B\) phải hoạt động trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm \(D\) thì máy \(A\) phải hoạt động trong 2 giờ, máy \(B\) phải hoạt động trong 6 giờ. Một máy không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng, máy \(A\) không thể hoạt động quá 180 giờ và máy \(B\) không thể hoạt động quá 220 giờ (vì lí do bảo trì). Tính số tiền lãi lớn nhất xưởng có thể đạt được trong một tháng.
Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số sản phẩm \(C\) và \(D\) được sản xuất ra.
Do máy \(A\) không thể hoạt động quá 180 giờ nên ta có: \(3x + 2y \le 180\).
Do máy \(B\) không thể hoạt động quá 220 giờ nên ta có: \(x + 6y \le 220\).
Do \(x\), \(y\) lần lượt là số sản phẩm \(C\) và \(D\) nên ta có: \(x \ge 0;y \ge 0\).
Do đó, ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \le 180\\x + 6y \le 220\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên ta được như hình dưới.
Miền nghiệm của hệ trên là tứ giác \(OABC\) với tọa độ các đỉnh là: \(O\left( {0;\,\,0} \right)\),\(A\left( {60;0} \right)\), \(B\left( {40;30} \right)\), \(C\left( {0;\,\,\frac{{110}}{3}} \right)\).
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là \(T = 60\,000x + 40\,\,000y\) (đồng).
Ta thấy \(T\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\). Mà dễ thấy \(C\) có tọa độ không nguyên nên loại. Ta tính giá trị biểu thức \(T\) tại các điểm \(A\left( {60;0} \right)\), \(B\left( {40;30} \right)\).
Tại \(A\left( {60;0} \right)\) ta có: \(T = 60\,000 \cdot 60 + 40\,000 \cdot 0 = 3\,\,600\,\,000\) (đồng)
Tại \(B\left( {40;30} \right)\) ta có: \(T = 60\,000 \cdot 40 + 40\,000 \cdot 30 = 3\,\,600\,\,000\) (đồng)
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 3 triệu 600 nghìn đồng.
(1 điểm) Cho tam giác nhọn \(MNP\), biết \(MN = 6\,\,{\rm{cm}}\), \(MP = 1,5MN\), chu vi của tam giác \(MNP\) là 23 cm. Giải tam giác \(MNP\).
Xét tam giác \(MNP\) có
\(MP = 1,5MN = 1,5 \cdot 6 = 9\,\,{\rm{cm}}\).
Lại có: \(MN + MP + NP = 23\, \Rightarrow NP = 23 - 6 - 9 = 8\,\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(MNP\) ta có:
\(M{N^2} = M{P^2} + N{P^2} - 2MP \cdot NP \cdot \cos \widehat {MPN}\)
\( \Leftrightarrow {6^2} = {9^2} + {8^2} - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cos \widehat {MPN}\)
\( \Leftrightarrow 36 = 145 - 144\cos \widehat {MPN}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {MPN} = \frac{{145 - 36}}{{144}} = \frac{{109}}{{144}} \Rightarrow \widehat {MPN} \approx 41^\circ \).
\(M{P^2} = M{N^2} + N{P^2} - 2MN \cdot NP \cdot \cos \widehat {MNP}\)
\( \Leftrightarrow {9^2} = {6^2} + {8^2} - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos \widehat {MNP}\)
\( \Leftrightarrow 81 = 100 - 96 \cdot \cos \widehat {MNP}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {MNP} = \frac{{100 - 81}}{{96}} = \frac{{19}}{{96}} \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 79^\circ \).
Mặt khác, ta lại có:
\(\widehat {MPN} + \widehat {MNP} + \widehat {NMP} = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {NMP} = 180^\circ - \left( {\widehat {MPN} + \widehat {MNP}} \right) = 180^\circ - \left( {41^\circ + 79^\circ } \right) = 60^\circ \).
Vậy tam giác \(MNP\) có \(MN = 6\,{\rm{cm}}\), \(MP = 9\,{\rm{cm}}\), \(NP = 8\,{\rm{cm}}\),\(\widehat {MPN} \approx 41^\circ \),\(\widehat {MNP} \approx 79^\circ \), \(\widehat {NMP} \approx 60^\circ \).
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có điểm \(D\)nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(DC = \frac{1}{2}BD\), đoạn thẳng \(AD\) có trung điểm \(E\). Một đường thẳng bất kì đi qua \(E\) cắt các cạnh \(AB\), \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Tính tỉ số \(2\frac{{AC}}{{AN}} + \frac{{AB}}{{AM}}\).
Do đoạn thẳng \(AD\) có trung điểm \(E\) nên ta có: \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AE} \).
Do \(M\) nằm trên cạnh \(AB\) nên ta có: \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AM} \,\,\left( {k > 1} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = k\).
Do \(N\) nằm trên cạnh \(AC\) nên ta có: \(\overrightarrow {AC} = l\overrightarrow {AN} \,\,\left( {l > 1} \right) \Rightarrow \frac{{AC}}{{AN}} = l\).
Ta có:
\(\overrightarrow {DB} = - 2\overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = - 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AD} \)
\( \Rightarrow k\overrightarrow {AM} + 2l\overrightarrow {AN} = 6\overrightarrow {AE} \Rightarrow k\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EM} } \right) + 2l\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EN} } \right) = 6\overrightarrow {AE} \)
\( \Rightarrow \left( {k + 2l - 6} \right)\overrightarrow {AE} = - k\overrightarrow {EM} - 2l\overrightarrow {EN} \)
Do hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {MN} \) không cùng phương nên suy ra: \(k + 2l - 6 = 0 \Leftrightarrow k + 2l = 6 \Leftrightarrow 2\frac{{AC}}{{AN}} + \frac{{AB}}{{AM}} = 6\).
Vậy \(2\frac{{AC}}{{AN}} + \frac{{AB}}{{AM}} = 6\).
