Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 8
48 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Trên đường tròn lượng giác gốc \(A,\)cho góc lượng giác \(\left( {OA\,;\,\,OM} \right)\) có số đo \(\alpha = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\) Điểm cuối \(M\) nằm ở góc phần tư nào trong các phần tư sau đây?
thứ tư \(\left( {IV} \right).\)
thứ hai \(\left( {II} \right).\)
thứ ba \(\left( {III} \right).\)
thứ nhất \(\left( I \right).\)
Đáp án đúng là: C
Theo định nghĩa, ta có số \(360^\circ .\)đo cung lượng giác \(AM\) bằng số đo góc \(\alpha \) nên điểm cuối \(M\) nằm ở góc phần tư thứ ba \(\left( {III} \right).\)
Trên đường tròn định hướng gốc \(A\left( {1\,;\,\,0} \right)\) có bao nhiêu điểm \(M\) thỏa mãn \(\left( {OA\,;\,\,OM} \right) = 30^\circ + k45^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}?\)
10.
6.
4.
8.
Đáp án đúng là: D
Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn các góc có số đo \(30^\circ + k45^\circ ,\) trong khoảng \(0^\circ \) đến \(360^\circ \).
Có 8 điểm \(M\) biểu diễn.
Cho \(3\pi < \alpha < \frac{{10\pi }}{3}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cos \alpha > 0\).
\(\tan \alpha < 0\).
\(\cot \alpha < 0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(3\pi < \alpha < \frac{{10\pi }}{3} \Leftrightarrow 2\pi + \pi < \alpha < 2\pi + \pi + \frac{\pi }{3}\) nên \(\alpha \) thuộc cung phần tư thứ III.
Do đó \(\sin \alpha < 0\).
Giá trị nhỏ nhất của \(M = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\) là
0.
\[\frac{1}{4}\].
\[\frac{1}{2}\].
1.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(M = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) bằng \(\frac{1}{4}.\) Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Biểu thức \(\sin x\cos y - \cos x\sin y\) bằng
\(\cos \left( {x - y} \right)\).
\(\cos \left( {x + y} \right)\).
\(\sin \left( {x - y} \right)\).
\(\sin \left( {y - x} \right).\)
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức cộng lượng giác ta có
\(\sin x\cos y - \cos x\sin y = \sin \left( {x - y} \right)\).
Một tam giác \(ABC\) có các góc \(A,\,\,B,\,\,C\) thỏa mãn \(\sin \frac{A}{2}{\cos ^3}\frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2}{\cos ^3}\frac{A}{2} = 0\) thì tam giác đó có gì đặc biệt?
Tam giác đó vuông.
Tam giác đó đều.
Tam giác đó cân.
Không có gì đặc biệt.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sin \frac{A}{2}{\cos ^3}\frac{B}{2} - \sin \frac{B}{2}{\cos ^3}\frac{A}{2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}{\cos ^3}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}{\cos ^3}\frac{A}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{A}{2}}} = \frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{A}{2}} \right) = \tan \frac{B}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{B}{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{A}{2} = \frac{B}{2} \Leftrightarrow A = B.\)
Vậy tam giác \(ABC\) cân.
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {1 - \sin \,x} }}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)
Đáp án đúng là: A
Hàm số xác định khi và chỉ khi \[1 - \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x < 1.\]\(\left( * \right)\)
Mà \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow \sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
\(y = 2x + \cos x.\)
\(y = \cos 3x.\)
\(y = {x^2}\cos \left( {x + 3} \right).\)
\(y = \frac{{\cos x}}{{{x^3}}}.\)
Đáp án đúng là: D
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^3}}}.\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) là tập đối xứng.
Khi đó \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - x} \right)}}{{{{\left( { - x} \right)}^3}}} = - \frac{{\cos x}}{{{x^3}}} = - f\left( x \right)\).
Do đó hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{{x^3}}}\) là hàm số lẻ.
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\tan x = m\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\). là
\(x = \arctan m + k\pi \) hoặc \(x = \pi - \arctan m + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \arctan m + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \arctan m + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \arctan m + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\tan x = m \Leftrightarrow x = \arctan m + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình \(\sin 4x\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 0\) trên đường tròn lượng giác là
4.
6.
8.
10.
Đáp án đúng là: C
\(\sin 4x\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 4x = 0\\2\cos x - \sqrt 2 = 0\end{array} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k\pi \\\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{4}\\x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Vậy có 8 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {2^n}.\) Tìm số hạng \({u_{n\, + \,1}}.\)
\({u_{n\, + \,1}} = {2^n} \cdot 2.\)
\({u_{n\, + \,1}} = {2^n} + 1.\)
\[{u_{n\, + \,1}} = 2\left( {n + 1} \right).\]
\({u_{n\, + \,1}} = {2^n} + 2.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_{n\, + \,1}} = {2^{n\,\, + \,1}} = {2^n} \cdot 2.\)
Cho tổng: \({S_n} = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n + 1,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*.\) Tìm \({S_{100}}\).
\(10\,\,201\).
\(10\,\,000\).
\(10\,\,200\).
\(10\,\,202\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({S_{100}} = 1 + 3 + 5 + \cdots + 201\).
Suy ra \(2{S_{100}} = \left( {1 + 201} \right) + \left( {3 + 199} \right) + \cdots + \left( {201 + 1} \right)\).
Vậy \({S_{100}} = \frac{{101\left( {201 + 1} \right)}}{2} = 10\,\,201.\)
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
\({u_n} = 3{n^2} + 2017\).
\({u_n} = 3n + 2018\).
\({u_n} = {3^n}\).
\({u_n} = {\left( { - 3} \right)^n}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({u_{n\, + \,1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 2018 - \left( {3n + 2018} \right) = 3 \Leftrightarrow {u_{n\, + \,1}} = {u_n} + 3.\)
Vậy dãy số \({u_n} = 3n + 2018\) là cấp số cộng có công sai \(d = 3.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 5\,;\,\,d = 2.\) Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
100.
50.
75.
44.
Đáp án đúng là: D
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 81 = - 5 + \left( {n - 1} \right)2 \Leftrightarrow n = 44.\)
Vậy 81 là số hạng thứ 44.
Dãy số sau đây là một cấp số nhân?
\[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,; \ldots \].
\[2\,;\,\,4\,;\,\,8\,;\,\,16\,; \ldots \].
\[1\,;\,\,3\,;\,\,5\,;\,\,7\,; \ldots \].
\[2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8\,; \ldots \].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[2\,;\,\,4\,;\,\,8\,;\,\,16\,; \ldots \] là cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 2.\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n\, + \,1}} = 3{u_n}\end{array} \right.,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*.\) Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
\({u_n} = {3^{n\, + \,1\,}}.\)
\({u_n} = {n^{n\, + \,1\,}}.\)
\({u_n} = {3^{n\,}}.\)
\[{u_n} = {3^{n\, - \,1\,}}.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có \({u_1} = 3\) và \(\frac{{{u_{n\, + \,1}}}}{{{u_n}}} = 3\).
Suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 3\end{array} \right..\)
Do đó \[{u_n} = {u_1} \cdot {q^{n\, - \,1\,}} = 3 \cdot {3^{n\, - \,1\,}} = {3^n}.\]
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu có điều kiện nào sau đây?
Một đường thẳng và một điểm thuộc nó.
Ba điểm mà nó đi qua.
Ba điểm không thẳng hàng.
Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Đáp án đúng là: C
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu có ba điểm không thẳng hàng.
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AC\) và \(BD\) giao nhau tại \(O\) và một điểm \(S\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Trên đoạn \(SC\) lấy một điểm \(M\) không trùng với \(S\) và \(C.\) Giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) là
giao điểm của \(SD\) và \(BK\).
giao điểm của \(SD\) và \(AM\).
giao điểm của \(SD\) và \(AB\).
giao điểm của \(SD\) và \(MK\).
Đáp án đúng là: A
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có \(SO \cap AM = K.\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), kéo dài \(BK\) cắt \(SD\) tại \(N.\)
Do đó \(N\) giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\).
Vậy giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) làgiao điểm của \(SD\) và \(BK.\)
Trong không gian, cho ba đường thẳng \(a,\,\,b,\,\,c\), biết \(a\,{\rm{//}}\,b,\,\,a\) và \(c\) chéo nhau. Khi đó, hai đường thẳng \(b\) và \(c\)
trùng nhau hoặc chéo nhau.
cắt nhau hoặc chéo nhau.
chéo nhau hoặc song song.
song song hoặc trùng nhau.
Đáp án đúng là: B
Nếu \(b\,{\rm{//}}\,c\) thì \(c\,{\rm{//}}\,a.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Điểm \(M\) thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(SM = 3MC,\,\,N\) là giao điểm của \(SD\) và \(\left( {MAB} \right).\) Khi đó, hai đường thẳng \(CD\) và \(MN\) là hai đường thẳng
cắt nhau.
song song.
chéo nhau.
có hai điểm chung.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB \subset \left( {MAB} \right);\,\,CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB\,\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow Mx = \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) với \(Mx\,\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,AB.\)
Gọi \(N = Mx \cap SD\) trong \(\left( {SCD} \right)\) nên \(N = SD \cap \left( {MAB} \right).\)
Vậy \(CD\) song song \(MN\).
II. Tự luận (4,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải phương trình:
a) \(\cot \frac{{2x}}{3} = \sqrt 3 \); b) \(\sin \left( {\pi - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = 0\).
a) \(\cot \frac{{2x}}{3} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot \frac{{2x}}{3} = \cot \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k3\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k3\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\).
b) \(\sin \left( {\pi - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \sin x\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[S = \left\{ {k2\pi \,;\,\,\frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}\,} \right\}.\]
(0,5 điểm) Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}.\)
Xét \(\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)k}} = \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k},\,\,\forall k \ge 2\).
Suy ra \[{u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}\]
\[ < \frac{1}{2} + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \cdots + \left( {\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} < \frac{3}{2}.\]
\( \Rightarrow 0 < {u_n} < \frac{3}{2},\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
(1,5 điểm)Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình bình hành tâm \[O.\] Gọi \[I,{\rm{ }}K\] lần lượt là trung điểm của \[SB\] và \[SD.\]
a) Tìm giao điểm \[J\] của \[SA\] với \(\left( {CKB} \right)\).
b) Tìm giao tuyến của \(\left( {OIA} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
c) Chứng minh \(DC\,{\rm{//}}\,\,\left( {IJK} \right)\).
a) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên nên \[AB\,\,{\rm{// }}CD\]; \[AD{\rm{ // }}BC\].
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AD{\rm{ // }}CB\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\K \in \left( {KBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}Kx = \left( {KBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\\Kx{\rm{ // }}AD{\rm{ // }}BC\end{array} \right.\).
Trong \[\left( {SAD} \right)\] gọi \(J = Kx \cap SA\) có
\(\left\{ \begin{array}{l}J \in SA\\J \in Kx \subset (BKC)\end{array} \right. \Rightarrow J = SA \cap (BKC)\)
b) Ta có \[OI\] là đường trung bình của \(\Delta SBD \Rightarrow OI{\rm{ // }}SD\).
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}OI{\rm{ // }}SD\\OI \subset \left( {OIA} \right)\\SD \subset \left( {SCD} \right)\\C \in \left( {OIA} \right) \cap \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}Cy = \left( {OIA} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\Cy{\rm{ // }}SD{\rm{ // }}OI\end{array} \right.\).
c) Ta có
• \(IJ{\rm{ // }}AB\) (\[IJ\] là đường trung bình của \(\Delta SAB\))
• \(AB{\rm{ // }}CD\) (tứ giác ABCD là hình bình hành)
Do đó \[CD{\rm{ // }}IJ\].
Ta có :\[\left\{ \begin{array}{l}CD{\rm{ // }}IJ\\CD \not\subset \left( {IJK} \right)\\IJ \subset \left( {IJK} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow CD{\rm{ // }}\left( {IJK} \right)\].
(1,0 điểm)Từ độ cao \(55,8\,\,{\rm{m}}\) của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Hỏi tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là bao nhiêu?
Gọi \({h_n}\) là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ \(n\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
\({l_n}\) là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ \(n\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
Theo đề bài, ta có \({h_1} = 55,8;\,\,{l_1} = \frac{1}{{10}} \cdot 55,8 = 5,58\) và các dãy số \(\left( {{h_n}} \right),\,\,\left( {{l_n}} \right)\) là các cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{{10}}.\)
Từ đó suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là:
\[S = \frac{{{h_1}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} + \frac{{{l_1}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{10}}{9}\left( {{h_1} + {l_1}} \right) = 68,2\,\,{\rm{(m)}}\].
Vậy tổng độ dài đường đi của quả bóng là \[68,2\,\,{\rm{m}}\].
I. Trắc nghiệm (6 điểm)
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
Sông Hồng là con sông chảy qua thành phố Hà Nội;
Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc khánh của nước Việt Nam;
\(\sqrt 5 \) có phải số vô tỉ không?;
2 022 chia hết cho 2.
Đáp án đúng là: D
+) Các phát biểu ở đáp án A và B là các mệnh đề nhưng không liên quan đến toán học nên không phải mệnh đề toán học.
+) Câu “\(\sqrt 5 \) có phải số vô tỉ không?” là câu hỏi, không phải mệnh đề.
+) Câu “2 022 chia hết cho 2” là mệnh đề toán học.
Mệnh đề đảo của mệnh đề: “Nếu hình bình hành ABCD có một góc vuông thì nó là hình chữ nhật” là mệnh đề
“Từ hình bình hành \(ABCD\) có một góc vuông suy ra nó là hình chữ nhật”;
“Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì nó là hình bình hành có một góc vuông”;
“Hình bình hành \(ABCD\) có một góc vuông kéo theo nó là hình chữ nhật”;
“Nếu hình chữ nhật \(ABCD\) có một góc vuông thì nó là hình bình hành”.
Đáp án đúng là: B
Mệnh đề đảo của mệnh đề: “Nếu hình bình hành \(ABCD\) có một góc vuông thì nó là hình chữ nhật” là mệnh đề: “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì nó là hình bình hành có một góc vuông”.
Cho tập hợp \[M = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 1 \le x < 15} \right\}\]. Sử dụng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng ta viết lại được tập hợp \(M\) là
\(M = \left\{ { - 1;\,\,15} \right\}\);
\(M = \left( { - 1;\,\,15} \right)\);
\(M = \left[ { - 1;\,\,15} \right)\);
\(M = \left[ { - 1;\,\,15} \right]\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[M = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 1 \le x < 15} \right\} = \left[ { - 1;\,\,15} \right)\].
Cách viết nào sau đây thể hiện đúng mệnh đề: “\(\pi \) không phải là số hữu tỉ”?
\(\pi \in \mathbb{Q}\);
\(\pi \subset \mathbb{Q}\);
\(\pi \notin \mathbb{Q}\);
\(\pi \not\subset \mathbb{Q}\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\pi \) không phải là số hữu tỉ nên \(\pi \) không thuộc tập hợp số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\), ta viết \(\pi \notin \mathbb{Q}\).
Cho hai tập hợp: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2 \le 3 + 2x} \right\},B = \left( { - \infty ;\,\,\frac{5}{3}} \right)\). Có bao nhiêu số tự nhiên thuộc tập hợp \(A \cap B\)?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2 \le 3 + 2x} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ge - 1} \right\} = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\).
Khi đó, \(A \cap B = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right) \cap \left( { - \infty ;\,\frac{5}{3}} \right) = \left[ { - 1;\,\,\frac{5}{3}} \right)\).
Các số tự nhiên thuộc nửa khoảng \(\left[ { - 1;\,\,\frac{5}{3}} \right)\) là: 0; 1.
Vậy có 2 số tự nhiên thuộc tập hợp \(A \cap B\).
Phương muốn dùng 200 000 đồng để mua \(x\) quyển vở và \(y\) chiếc bút bi. Biết rằng mỗi quyển vở có giá là 7 000 đồng và mỗi chiếc bút bi có giá là 3 000 đồng. Mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) để Phương không mua hết số tiền ban đầu là
\(7x + 3y \le 200\);
\(7x + 3y < 200\);
\(7x + 3y > 200\);
\(7x + 3y \ge 200\).
Đáp án đúng là: A
Phương mua \(x\) quyển vở và \(y\) chiếc bút bi hết số tiền là \(7\,000x + 3\,\,000y\) (đồng).
Vì Phương không mua hết số tiền ban đầu là 200 000 đồng nên \(7\,000x + 3\,\,000y \le 200\,000\) hay \(7x + 3y \le 200\).
Cặp số dưới đây không là nghiệm của bất phương trình \(2x - y > 10\)?
\(\left( {10;\,\,1} \right)\);
\(\left( {5;\, - 2} \right)\);
\(\left( {3;\,\, - 8} \right)\);
\(\left( {6;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(2 \cdot 6 - 3 = 12 - 3 = 9 < 10\), do đó cặp số \(\left( {6;\,\,3} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x - y > 10\).
Hệ bất phương trình nào dưới đây không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y > 1\\3x - 2y < 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - y} \right) > 2x\\x + 2y \le 5\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}y - 2x > 3\\x < 2\left( {y + 2} \right)\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}y > 3 - 2x\\x < 2y - 2\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - y} \right) > 2x\\x + 2y \le 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy > 2x\\x + 2y \le 5\end{array} \right.\), đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phần không bị gạch chéo ở hình dưới biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
\(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\2x + 3y \le 6\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\3x + 2y \ge 6\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3x + 2y \le 6\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\2x + 3y \ge 6\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Từ hình vẽ ta thấy phần không bị gạch chéo nằm phía trên trục \[Ox\], do đó phần không bị gạch chéo nằm trong miền nghiệm của bất phương trình \(y \ge 0\).
Lại có, đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,2} \right)\) và \(\left( {3;\,\,0} \right)\) có phương trình là \(2x + 3y = 6\).
Ta có: \(2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 < 6\). Do đó, phần không bị gạch chéo nằm trong miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y \le 6\).
Phần không bị gạch chéo ở hình dưới biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\2x + 3y \le 6\end{array} \right.\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin 86^\circ = - \sin 94^\circ \);
\(\sin 86^\circ = - \cos 4^\circ \);
\(\tan 86^\circ = \tan 94^\circ \);
\(\cot 4^\circ = \tan 86^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Vì \(86^\circ + 94^\circ = 180^\circ \) nên sin86°=sin94°, \(\tan 86^\circ = - \tan 94^\circ \), do đó đáp án A và C đều sai.
Lại có \(86^\circ + 4^\circ = 90^\circ \) nên \(\sin 86^\circ = \cos 4^\circ \), \(\cot 4^\circ = \tan 86^\circ \), do đó đáp án B sai và đáp án D đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có \(B{C^2} + A{C^2} - A{B^2} > 0\). Khi đó:
\(\widehat C > 90^\circ \);
\(\widehat C < 90^\circ \);
\(\widehat C = 90^\circ \);
Không thể kết luận gì về góc \(C\).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\cos C = \frac{{B{C^2} + A{C^2} - A{B^2}}}{{2BC \cdot AC}}\).
Mà \(B{C^2} + A{C^2} - A{B^2} > 0\) và \(BC > 0,\,\,AC > 0\). Do đó \(\cos C > 0\), suy ra \(\widehat C < 90^\circ \).
Một tam giác có độ dài 3 cạnh là \(12,\,\,14,\,\,16\) thì có diện tích là
\(21\sqrt {15} \);
\(15\sqrt {21} \);
\(947,3\);
\(\frac{{21\sqrt {30} }}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Nửa chu vi của tam giác là \(\frac{{12 + 14 + 16}}{2} = 21\).
Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích của tam giác là
\(S = \sqrt {21 \cdot \left( {21 - 12} \right) \cdot \left( {21 - 14} \right) \cdot \left( {21 - 16} \right)} = 21\sqrt {15} \).
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi
giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau;
chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau;
chúng ngược hướng và độ dài của chúng bằng nhau;
chúng cùng phương và độ dài của chúng đối nhau.
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng khi
Điểm \(A\) nằm ngoài đoạn \(BC\);
Điểm \(B\) thuộc đoạn \(AC\);
Điểm \(A\) thuộc đoạn \(BC\);
Điểm \(C\) thuộc đoạn \(AB\).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng khi điểm \(B\) thuộc đoạn \(AC\).
Cho ba điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) phân biệt. Phát biểu nào sau đây là đúng?
\[\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \];
\[ - \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \];
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \];
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = - \overrightarrow {MP} \].
Đáp án đúng là: C
Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \]. Vậy đáp án C đúng.
Cho tam giác \(ABC\). Điều kiện cần và đủ để \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) là
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GC} \);
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {AG} \);
\(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GB} \);
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Đáp án đúng là: B
Điều kiện cần và đủ để \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {AG} \).
Cho vectơ \(\overrightarrow u \) khác vectơ-không. Vectơ \(\overrightarrow u \) cùng hướng với vectơ nào sau đây?
\( - \overrightarrow u \);
\(\frac{1}{5}\overrightarrow u \);
\( - \frac{1}{5}\overrightarrow u \);
\( - 3\overrightarrow u \).
Đáp án đúng là: B
Với vectơ \(\overrightarrow u \) khác vectơ-không và số thực \(k\), ta có vectơ \(\overrightarrow u \) cùng hướng với vectơ \(k\overrightarrow u \) khi \(k > 0\).
Do đó, vectơ \(\overrightarrow u \) cùng hướng với vectơ \(\frac{1}{5}\overrightarrow u \).
Cho hình bình hành \(ABCD\), lấy các điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \). Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) ta được
\(\overrightarrow {MN} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {MN} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).
Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right)} \right|\);
\(\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \sin \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right)\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Với hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \), ta có công thức tích vô hướng:
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right)\).
Cho hình thoi \[ABCD\] cạnh bằng 2 và \(\widehat {BAD} = 120^\circ \). Khi đó, \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} \) bằng
– 2;
2;
\(2\sqrt 3 \);
\(3\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABCD\] là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAD\).
Khi đó \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 60^\circ \).
Tam giác \(ABC\) có \(AB = BC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.
Do đó, \(AC = AB = BC = 2\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \).
Ta có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - \overrightarrow {CA} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \)\( = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right)\)
\( = CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2\).
II. Tự luận (4 điểm)
(1 điểm) Cho các tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 16 > 0} \right\}\), \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,\,\left| x \right| \le 10} \right\}\) và \(C = \left[ {m - 3\,;\,\,9} \right]\) với \(m\) là tham số thỏa mãn \(m < 12\). Tìm tham số \(m\) để \(C \subset \left( {A \cap B} \right)\).
Ta có: \({x^2} - 16 > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 4 > 0\\x + 4 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 4 < 0\\x + 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x > - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 4\\x < - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < - 4\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow A = \left( { - \infty \,;\, - 4} \right) \cup \left( {4\,;\, + \infty } \right)\).
Lại có: \(\left| x \right| \le 10 \Leftrightarrow - 10 \le x \le 10\)\( \Rightarrow B = \left[ { - 10\,;\,10} \right]\).
Do đó, \(A \cap B = \left( {\left( { - \infty \,;\, - 4} \right) \cup \left( {4\,;\, + \infty } \right)} \right) \cap \left[ { - 10;\,\,10} \right] = \left[ { - 10\,;\, - 4} \right) \cup \left( {4\,;\,10} \right]\).
Để \(C \subset \left( {A \cap B} \right)\)thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - 3 > 4\\m < 12\end{array} \right. \Leftrightarrow 7 < m < 12\).
(1 điểm) Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi \(\,x\),\(y\) lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm \(\,x\),\(y\) để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là: \(160x + 110y\)
với \(\,x\),\(y\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\end{array} \right.\).
Số đơn vị protein có trong\(\,x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \(800x + 600y\).
Vì gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein nên \(800x + 600y \ge 900\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\).
Số đơn vị lipit có trong\(\,x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \(200x + 400y\).
Vì gia đình cần ít nhất 400 đơn vị lipit nên \(200x + 400y \ge 400 \Leftrightarrow \,x + 2y \ge 2\).
Tổng số tiền phải trả khi mua \(\,x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \[T = 160x + 110y\] (nghìn đồng).
Bài toán trở thành: Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array} \right.\) sao cho \[T = 160x + 110y\] nhỏ nhất.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình dưới.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \(ABCD\) với tọa độ các đỉnh: \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\); \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\); \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\); \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\).
Tính giá trị của biểu thức \(T\) tại các đỉnh của tứ giác ta được:
Tại \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\): \(T\left( {1,6;\,\,1,1} \right) = 160 \cdot 1,6 + 110 \cdot 1,1 = 377\) nghìn đồng;
Tại \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\): \(T\left( {1,6;\,0,2} \right) = 160 \cdot 1,6 + 110 \cdot 0,2 = 278\) nghìn đồng;
Tại \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\): \(T\left( {0,6;\,0,7} \right) = 160 \cdot 0,6 + 110 \cdot 0,7 = 173\) nghìn đồng;
Tại \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\): \(T\left( {0,3;\,1,1} \right) = 160 \cdot 0,3 + 110 \cdot 1,1 = 169\) nghìn đồng.
Biểu thức \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất là 169 tại \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {0,3;\,\,1,1} \right)\).
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì \(x = 0,3\) và \(y = 1,1\).
(1 điểm) Từ vị trí \(A\) người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết \(AH = 4\,{\rm{m}},\,\,HB = 20\,{\rm{m}},\,\widehat {BAC} = 45^\circ \). Tính chiều cao của cây.
Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AHB\), ta có:
\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = {4^2} + {20^2} = 416 \Rightarrow AB = \sqrt {416} \) (m).
Lại có: \(\sin \widehat {HAB} = \frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{20}}{{\sqrt {416} }} \Rightarrow \widehat {HAB} \approx 79^\circ \)(do góc này nhọn).
Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {HAB} \approx 79^\circ \) (do cùng phụ với góc \(ABH\)).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {CAB} + \widehat {ABC}} \right) \approx 180^\circ - \left( {45^\circ + 79^\circ } \right) = 56^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có \(\frac{{CB}}{{\sin \widehat {CAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\).
\( \Rightarrow CB = \frac{{AB\sin \widehat {CAB}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sqrt {416} \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ }} \approx 17,4\).
Vậy cây cao khoảng 17,24 m.
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[BC = 2a\], \(M\) là điểm trên đoạn \(BC\) sao cho \[MB = 2MC\]. Biết rằng \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2}\]. Tính độ dài cạnh \(AC\)?
Từ giả thiết \(M\) là điểm trên đoạn \(BC\)sao cho \[MB = 2MC\] nên ta có \[\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \].
Đặt \[AB = x;{\rm{ }}AC = y\] ta có \[{x^2} + {y^2} = 4{a^2}\] (1) (Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\))
Mặt khác từ \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \].
Nên có \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {a^2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} = {a^2}\,\,{\rm{ }}\left( {{\rm{Do }}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^2} = {a^2}\,\,\,(2)\]
Từ (1) và (2) ta có \[y = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\]. Vậy \[AC = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\].
