Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: D

+) Các phát biểu ở đáp án A và B là các mệnh đề nhưng không liên quan đến toán học nên không phải mệnh đề toán học.

+) Câu “\(\sqrt 5 \) có phải số vô tỉ không?” là câu hỏi, không phải mệnh đề.

+) Câu “2 022 chia hết cho 2” là mệnh đề toán học.

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề đảo của mệnh đề: “Nếu hình bình hành \(ABCD\) có một góc vuông thì nó là hình chữ nhật” là mệnh đề: “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì nó là hình bình hành có một góc vuông”.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[M = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 1 \le x < 15} \right\} = \left[ { - 1;\,\,15} \right)\].

Đáp án đúng là: C

Vì \(\pi \) không phải là số hữu tỉ nên \(\pi \) không thuộc tập hợp số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\), ta viết \(\pi \notin \mathbb{Q}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2 \le 3 + 2x} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ge - 1} \right\} = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\).

Khi đó, \(A \cap B = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right) \cap \left( { - \infty ;\,\frac{5}{3}} \right) = \left[ { - 1;\,\,\frac{5}{3}} \right)\).

Các số tự nhiên thuộc nửa khoảng \(\left[ { - 1;\,\,\frac{5}{3}} \right)\) là: 0; 1.

Vậy có 2 số tự nhiên thuộc tập hợp \(A \cap B\).

Đáp án đúng là: A

Phương mua \(x\) quyển vở và \(y\) chiếc bút bi hết số tiền là \(7\,000x + 3\,\,000y\) (đồng).

Vì Phương không mua hết số tiền ban đầu là 200 000 đồng nên \(7\,000x + 3\,\,000y \le 200\,000\) hay \(7x + 3y \le 200\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(2 \cdot 6 - 3 = 12 - 3 = 9 < 10\), do đó cặp số \(\left( {6;\,\,3} \right)\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x - y > 10\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - y} \right) > 2x\\x + 2y \le 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy > 2x\\x + 2y \le 5\end{array} \right.\), đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: A

Từ hình vẽ ta thấy phần không bị gạch chéo nằm phía trên trục \[Ox\], do đó phần không bị gạch chéo nằm trong miền nghiệm của bất phương trình \(y \ge 0\).

Lại có, đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\,\,2} \right)\) và \(\left( {3;\,\,0} \right)\) có phương trình là \(2x + 3y = 6\).

Ta có: \(2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 < 6\). Do đó, phần không bị gạch chéo nằm trong miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y \le 6\).

Phần không bị gạch chéo ở hình dưới biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\2x + 3y \le 6\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: D

Vì \(86^\circ + 94^\circ = 180^\circ \) nên $\sin 86°=\sin 94°$, \(\tan 86^\circ = - \tan 94^\circ \), do đó đáp án A và C đều sai.

Lại có \(86^\circ + 4^\circ = 90^\circ \) nên \(\sin 86^\circ = \cos 4^\circ \), \(\cot 4^\circ = \tan 86^\circ \), do đó đáp án B sai và đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(\cos C = \frac{{B{C^2} + A{C^2} - A{B^2}}}{{2BC \cdot AC}}\).

Mà \(B{C^2} + A{C^2} - A{B^2} > 0\) và \(BC > 0,\,\,AC > 0\). Do đó \(\cos C > 0\), suy ra \(\widehat C < 90^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi của tam giác là \(\frac{{12 + 14 + 16}}{2} = 21\).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích của tam giác là

\(S = \sqrt {21 \cdot \left( {21 - 12} \right) \cdot \left( {21 - 14} \right) \cdot \left( {21 - 16} \right)} = 21\sqrt {15} \).

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng khi điểm \(B\) thuộc đoạn \(AC\).

Đáp án đúng là: C

Theo quy tắc ba điểm, ta có: \[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \]. Vậy đáp án C đúng.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện cần và đủ để \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {AG} \).

Đáp án đúng là: B

Với vectơ \(\overrightarrow u \) khác vectơ-không và số thực \(k\), ta có vectơ \(\overrightarrow u \) cùng hướng với vectơ \(k\overrightarrow u \) khi \(k > 0\).

Do đó, vectơ \(\overrightarrow u \) cùng hướng với vectơ \(\frac{1}{5}\overrightarrow u \).

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).

Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).

Đáp án đúng là: D

Với hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \), ta có công thức tích vô hướng:

\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Vì \[ABCD\] là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAD\).

Khi đó \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 60^\circ \).

Tam giác \(ABC\) có \(AB = BC\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.

Do đó, \(AC = AB = BC = 2\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \).

Ta có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - \overrightarrow {CA} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \)\( = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right)\)

\( = CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2\).

Ta có: \({x^2} - 16 > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 4 > 0\\x + 4 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 4 < 0\\x + 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x > - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 4\\x < - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < - 4\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow A = \left( { - \infty \,;\, - 4} \right) \cup \left( {4\,;\, + \infty } \right)\).

Lại có: \(\left| x \right| \le 10 \Leftrightarrow - 10 \le x \le 10\)\( \Rightarrow B = \left[ { - 10\,;\,10} \right]\).

Do đó, \(A \cap B = \left( {\left( { - \infty \,;\, - 4} \right) \cup \left( {4\,;\, + \infty } \right)} \right) \cap \left[ { - 10;\,\,10} \right] = \left[ { - 10\,;\, - 4} \right) \cup \left( {4\,;\,10} \right]\).

Để \(C \subset \left( {A \cap B} \right)\)thì \(\left\{ \begin{array}{l}m - 3 > 4\\m < 12\end{array} \right. \Leftrightarrow 7 < m < 12\).

Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là: \(160x + 110y\)

với \(\,x\),\(y\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\end{array} \right.\).

Số đơn vị protein có trong\(\,x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \(800x + 600y\).

Vì gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein nên \(800x + 600y \ge 900\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\).

Số đơn vị lipit có trong\(\,x\)  kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \(200x + 400y\).

Vì gia đình cần ít nhất 400 đơn vị lipit nên \(200x + 400y \ge 400 \Leftrightarrow \,x + 2y \ge 2\).

Tổng số tiền phải trả khi mua \(\,x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn là: \[T = 160x + 110y\] (nghìn đồng).

Bài toán trở thành: Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array} \right.\) sao cho \[T = 160x + 110y\] nhỏ nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \(ABCD\) với tọa độ các đỉnh: \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\); \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\); \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\); \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\).

Tính giá trị của biểu thức \(T\) tại các đỉnh của tứ giác ta được:

Tại \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\): \(T\left( {1,6;\,\,1,1} \right) = 160 \cdot 1,6 + 110 \cdot 1,1 = 377\) nghìn đồng;

Tại \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\): \(T\left( {1,6;\,0,2} \right) = 160 \cdot 1,6 + 110 \cdot 0,2 = 278\) nghìn đồng;

Tại \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\): \(T\left( {0,6;\,0,7} \right) = 160 \cdot 0,6 + 110 \cdot 0,7 = 173\) nghìn đồng;

Tại \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\): \(T\left( {0,3;\,1,1} \right) = 160 \cdot 0,3 + 110 \cdot 1,1 = 169\) nghìn đồng.

Biểu thức \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất là 169 tại \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {0,3;\,\,1,1} \right)\).

Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì \(x = 0,3\) và \(y = 1,1\).

Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AHB\), ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = {4^2} + {20^2} = 416 \Rightarrow AB = \sqrt {416} \) (m).

Lại có: \(\sin \widehat {HAB} = \frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{20}}{{\sqrt {416} }} \Rightarrow \widehat {HAB} \approx 79^\circ \)(do góc này nhọn).

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {HAB} \approx 79^\circ \) (do cùng phụ với góc \(ABH\)).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {CAB} + \widehat {ABC}} \right) \approx 180^\circ - \left( {45^\circ + 79^\circ } \right) = 56^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có \(\frac{{CB}}{{\sin \widehat {CAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\).

\( \Rightarrow CB = \frac{{AB\sin \widehat {CAB}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sqrt {416} \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ }} \approx 17,4\).

Vậy cây cao khoảng 17,24 m.

Từ giả thiết \(M\) là điểm trên đoạn \(BC\)sao cho \[MB = 2MC\] nên ta có \[\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \].

Đặt \[AB = x;{\rm{ }}AC = y\] ta có \[{x^2} + {y^2} = 4{a^2}\] (1) (Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\))

Mặt khác từ \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \].

Nên có \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {a^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} = {a^2}\,\,{\rm{ }}\left( {{\rm{Do }}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^2} = {a^2}\,\,\,(2)\]

Từ (1) và (2) ta có \[y = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\]. Vậy \[AC = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\].