Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: C

Từ hình vẽ, ta có \(\left( {OA,\,\,OB'} \right) = - \frac{\pi }{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Vì hai góc lượng giác \(\left( {Ox,\,\,OM} \right)\) và \(\left( {Ox,\,\,ON} \right)\) lệch nhau \(180^\circ \) nên \(M\) và \(N\) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ \(O\) nên \(M,\,\,N\)có tung độ và hoành độ đều đối nhau.

Đáp án đúng là: A

Các góc phụ nhau có các giá trị lượng giác bằng chéo nhau.

Nghĩa là \(\cos \alpha = \sin \beta \); \(\cot \alpha = \tan \beta \) và ngược lại.

Đáp án đúng là: D

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên ta có:

• \(0 < - \frac{\pi }{2} + \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \left( { - \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) > 0\)

• \(0 < \pi - \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) > 0\)

Do đó \(M = \cos \left( { - \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) \cdot \tan \left( {\pi - \alpha } \right) > 0.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x\tan y}}\).              

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = \frac{{{{\tan }^2}a - {{\sin }^2}a}}{{{{\cot }^2}a - {{\cos }^2}a}} = \frac{{{{\sin }^2}a\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}a\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}a}} - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\tan }^2}a \cdot {{\tan }^2}a}}{{{{\cot }^2}a}} = {\tan ^6}a\).

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = \tan x\) xác định khi và chỉ khi \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy TXĐ của hàm số \(y = \tan x\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Đáp án đúng là: B

Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ \(O\).

Xét đáp án B, ta có \[y = f\left( x \right) = {\sin ^3}x.\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^3}x.\sin x = {\sin ^4}x\]. Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\cot x = 3 \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} 3 + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

\(\tan \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)

\( \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: C

Từ các số hạng đầu của dãy số, ta có số hạng tổng quát của dãy số này là \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}.\)

Đáp án đúng là: A                              

Giả sử \({u_n} = - 19\,\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\)

Suy ra \({u_n} = - {n^2} + n + 1 = - 19\)

\( \Leftrightarrow - {n^2} + n + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4\,\,(L)\end{array} \right.\)

Vậy số \( - 19\) là số hạng thứ 5 của dãy.

Đáp án đúng là: C

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \({u_{n\, + \,1}} = {u_n} + d\) thì được gọi một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số: \(1\,;\,\, - 3\,;\,\, - 7\,;\,\, - 11\,;\, - 15\,;\,\,\, \ldots \) là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng \( - \,4.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \({u_8} = {u_1} + 7d \Rightarrow d = \frac{{{u_8} - {u_1}}}{7} = \frac{{24 - 3}}{7} = 3.\)

Do đó \({u_{11}} = {u_1} + 10d = 33.\)

Đáp án đúng là: D

Nhận thấy \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên các dãy số ở các đáp án A, B và C không phải là cấp số nhân.

Riêng đối với dãy \[1\,;\,\,2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8\,;\,\,16\,;\,\,32\,;\,\, \ldots \] ở đáp án D thỏa mãn: \({u_{n\, + \,1}} = 2{u_n}\,\,\forall n \in \mathbb{N}*.\)

Vậy dãy số \[1\,;\,\,2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8\,;\,\,16\,;\,\,32\,;\,\, \ldots \] là cấp số nhân với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 2.\)

Đáp án đúng là: B

Để ba số \(1\,;\,\,x\,;\,\,x + 2\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì \[{x^2} = x + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\].

Vậy có đúng 1 số nguyên dương \(x = 2\).

Đáp án đúng là: A

Ta thấy \(M,\,\,K\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) nên bốn điểm \(M,\,\,K,\,\,A,\,\,C\) đồng phẳng.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left( {IAC} \right) \equiv \left( {SAC} \right);\,\,\left( {JBD} \right) = \left( {SBD} \right).\)

Mà \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\), trong đó là \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD.\)

Đáp án đúng là: A

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đó.               

Đáp án đúng là: D

Ta có \(MN\) là đường trung bình tam giác \(ACD\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,CD.\)

Mà \[G \in \left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right),\] hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) lần lượt chứa \(DC\) và \(MN\).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng qua \(G\) và song song với \(CD.\)

a) \(2\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{ - 1}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,,\,\,k \in \mathbb{Z}\].

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\,\,\frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) tan4π9+x+2cotπ18−x=3(*)

Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) \ne 0\\\sin \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4\pi }}{9} + x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\\frac{\pi }{{18}} - x \ne l\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{8} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{8} - k\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Ta có \(\left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) + \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \tan \left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right).\)

Khi đó \((*) \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) + 2\cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow 3\cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{18}} - x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{5\pi }}{{18}} - k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = - \frac{{5\pi }}{{18}} - k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Ta có \({u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}} > 0,\,\,\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow {u_{n\, + \,1}} = \frac{{{5^{n\, + \,1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\).

Xét tỉ số \(\frac{{{u_{n\, + \,1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{5^{n\, + \,1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{{n^2}}}{{{5^n}}} = \frac{{5{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 1}}\)

\( = \frac{{{n^2} + 2n + 1 + 4{n^2} - 2n - 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} = 1 + \frac{{2n\left( {n - 1} \right) + 2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} > 1,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

a) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}E' \in A'B' \subset \left( {SAB} \right)\\E' \in C'D' \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E' \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]

    Mặt khác \[\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\E \in CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]

    Do đó \[EE' = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\]   

    Mà \[S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\] nên \[S \in EE'.\]

    Vậy ba điểm \[S,{\rm{ }}E,{\rm{ }}E'\] thẳng hàng.

b) Trong \[\left( \alpha  \right)\]gọi \[\left\{ M \right\} = A'C' \cap B'D'\]

    Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\].

c) Ta có \[O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

    Mà \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)\( \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)

    Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}M \in A'C' \subset \left( {SAC} \right)\\M \in B'D' \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

    Vậy \(M \in SO\) hay \[A'C',{\rm{ }}B'D',{\rm{ }}SO\] đồng quy tại \[M.\]

Đặt \({P_0} = 2\,\,000\,\,000 = 2 \cdot {10^6}\) và \(r = 1,2\% = 0,012.\)

Gọi \({P_n}\) là số dân của tỉnh M sau \(n\) năm nữa.

Ta có: \({P_{n\, + \,1}} = {P_n} + {P_n}r = {P_n}\left( {1 + r} \right).\)

Suy ra \(\left( {{P_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({P_0}\) và công bội \[q = 1 + r.\]

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:

\[{P_{10}} = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^9} = 2 \cdot {10^6} \cdot {\left( {1,012} \right)^9} \approx 2\,\,226\,\,663\] (người).

Vậy số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa khoảng \[2\,\,226\,\,663\] người.

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 = 0\)” được phát biểu là: “Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0”.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({3^2} + 1 = 9 + 1 = 10\) là số chẵn và 25 là số lẻ nên \(P\) và \(Q\) đều đúng nên mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) là hai mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: B

Tập hợp \(M\) gồm các số nguyên lớn hơn – 4 và nhỏ hơn hoặc bằng 5.

Do đó, \(M = \left\{ {\, - 3;\, - 2;\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\).

Đáp án đúng là: C

Tập rỗng (\(\emptyset \)) là tập con của mọi tập hợp nên \(\emptyset \subset \mathbb{Z}\), \(\emptyset \subset \mathbb{N}\), do đó đáp án A và D đúng.

 Mọi số tự nhiên đều là số hữu tỉ nên \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}\), do đó đáp án B đúng.

Tập rỗng không chứa phần tử nào, còn tập \(\left\{ 0 \right\}\) chứa 1 phần tử là 0, do đó \(\emptyset \ne \left\{ 0 \right\}\), do đó đáp án C sai.

Đáp án đúng là: C

Biểu diễn các tập hợp \(E = \left( { - 1;\,\,5} \right],F = \left[ {2;\,\,7} \right)\) như sau:

Từ hình vẽ suy ra \(E \cap F = \left[ {2;\,\,5} \right]\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({4^2}x + 9y \ge 15 \Leftrightarrow 16x + 9y \ge 15\).

Do đó, các bất phương trình \(4x + 13y > 1\,0\), \(x + 9y \le 20\), \({4^2}x + 9y \ge 15\) đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình \(4{x^2} + 9y < 10\) không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn \(x\) có bậc là 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 12 - 4 = 8 > 1\), vậy cặp số \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình \(4x - 2x > 1\).

Đáp án đúng là: B

+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2y > 3 - 5x\\x < 2\left( {4y + 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 2y > 3\\x - 8y < 2\end{array} \right.\), đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} > 2x\\x - y \le 15\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn do ẩn \(x\) và \(y\) ở bất phương trình thứ nhất có bậc cao nhất là 2.

+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + y} \right) + y > 2\\x - 2\left( {y + 1} \right) \le 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + y > 2\\x - 2y \le 7\end{array} \right.\) không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn do ẩn \(x\) ở bất phương trình thứ nhất có bậc cao nhất là 2 và bất phương trình chứa tích \(xy\).

Vậy có 1 hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong ba hệ bất phương trình đã cho.

Đáp án đúng là: B

Số tiền mà bạn Hằng kiếm được sau \(x\) giờ làm gia sư và \(y\) giờ làm nhân viên thu ngân là \(12\,000x + 9\,500y\) (won).

Theo bài ra ta có cặp số \(\left( {x;\,y} \right)\) phải thỏa mãn hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}12\,\,000x + 9\,\,500y \ge 220\,\,000\\x + y \le 20\\x \ge 0;\,y \ge 0\end{array} \right.\).

Thay lần lượt từng cặp số ở các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

\(\left( {12\,000 \cdot 12 + 9\,500 \cdot 8 = 220\,\,000\,\,;\,\,12 + 8 = 20} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; côsin, tang, côtang đối nhau.

Do đó, \(\sin \alpha = \sin \beta \), \(\cos \alpha = - \cos \beta \), \(\tan \alpha = - \tan \beta \), \(\cot \alpha = - \cot \beta \). Vậy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Từ đó suy ra \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\), \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\), \(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\). Do đó các công thức ở các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.

Đáp án đúng là: A

Giả sử ta có \(AB = AC = a\), do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Lại có \(S = pr\) với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}}} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\). Vậy \(\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}} = 1 + \sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ được gọi là đối nhau khi chúng ngược hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Ta có vectơ \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, vectơ \(\overrightarrow 0 \) cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ nên đáp án A, B, D đúng.

Đáp án C chỉ đúng khi hai điểm \(A,\,\,B\) phân biệt, còn nếu hai điểm này trùng nhau thì \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 0\), do đó, \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \ge 0\). Vậy đáp án C sai.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta có:

+) \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) (không thỏa mãn).

+) \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \] (thỏa mãn vì \(O\) là trung điểm của \(AC\)).

+) \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \) (thỏa mãn).

+) \[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \]\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) (thỏa mãn).

Vậy đáp án A sai và các đáp án B, C, D đúng.

Đáp án đúng là: B

Vì ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật tại một điểm làm vật đứng yên nên ta có \(\overrightarrow {{F_1}} + \,\,\overrightarrow {{F_2}} + \,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = - \overrightarrow {{F_1}} \).

Mà \(\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \). Vậy \(\overrightarrow {{F_4}} = - \overrightarrow {{F_1}} \) hay \(\overrightarrow {{F_1}} = - \overrightarrow {{F_4}} \).

Đáp án đúng là: A

Vì \[AM = \frac{1}{4}AB\] và hai vectơ \(\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \), do đó đáp án B đúng.

Ta có: \[MA = \frac{1}{3}MB\] và hai vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \) hay \(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA} \), do đó đáp án A sai và đáp án D đúng.

\[BM = \frac{3}{4}BA\] và hai vectơ \(\overrightarrow {BM} ,\,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA} \), do đó đáp án C đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9} \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \frac{5}{9}\left| {\overrightarrow b } \right|\), mà hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) ngược hướng nên \[\overrightarrow a = - \frac{5}{9}\overrightarrow b \].

Vậy \(m = - \frac{5}{9}\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) > 90^\circ \) nên \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) < 0\).

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| > 0,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| > 0\) (do hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \)).

Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) < 0\).

Đáp án đúng là: B

Dựng hình bình hành \(AHMC\), suy ra \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {CM} \), kết hợp với giả thiết ta suy ra \(CM \bot BC\), khi đó \(\widehat {HCM} = 90^\circ \).

Tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng 5 nên suy ra \(AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \).

Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AH} ,\,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \left( {\overrightarrow {CM} ,\,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {MCA} = \widehat {MCH} + \widehat {ACB} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \).

Khi đó, \(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {CA} = \left| {\overrightarrow {AH} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cdot 5 \cdot \cos 150^\circ = - \frac{{75}}{4}\).

Ta biểu diễn bằng biểu đồ Ven như dưới đây:

Những cửa hàng bán quần áo được đại diện bởi đường cong kín “Quần áo” (màu cam).

Những cửa hàng bán giày được đại diện bởi đường cong kín “Giày” (màu xanh).

Phần giao của hai đường cong kín “Quần áo” và “Giày” là những cửa hàng bán cả quần áo và giày.

Đường cong kín lớn nhất đại diện cho tổng số cửa hàng tại trung tâm mua sắm, phần nằm bên ngoài hai đường cong kín “Quần áo”, “Giày” và bên trong đường cong kín lớn nhất đại diện cho những cửa hàng không bán cả quần áo và giày.

a) Gọi \(x\) là số cửa hàng bán cả quần áo và giày \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Trong 25 cửa hàng bán quần áo có \(x\) cửa hàng bán cả quần áo và giày, trong 17 cửa hàng bán giày có \(x\) cửa hàng bán quần áo và giày.

Khi đó số cửa hàng chỉ bán quần áo là \(25 - x\) (cửa hàng).

Số cửa hàng chỉ bán giày là \(17 - x\) (cửa hàng).

Do đó số cửa hàng bán ít nhất 1 trong 2 mặt hàng quần áo và giày là:

\(\left( {25 - x} \right) + x + \left( {17 - x} \right) = 42 - x\)

Theo đề bài ta có \(42 - x = 35\), suy ra \(x = 7\) (thỏa mãn).

Vậy có 7 cửa hàng bán cả quần áo và giày.

b) Số cửa hàng chỉ bán quần áo là 25 – 7 = 18 (cửa hàng).

Số cửa hàng chỉ bán giày là 17 – 7 = 10 (cửa hàng).

Số cửa hàng chỉ bán một trong hai loại quần áo hoặc giày là 18 + 10 = 28 (cửa hàng).

Vậy có 28 cửa hàng chỉ bán một trong hai loại quần áo hoặc giày.

c) Số cửa hàng không bán hai loại hàng hóa trên bằng tổng số cửa hàng trong trung tâm mua sắm trừ đi số cửa hàng bán ít nhất một trong hai mặt hàng.

Do đó số cửa hàng không bán hai mặt hàng trên là 47 – 35 = 12 (cửa hàng).

Vậy có 12 cửa hàng không bán hai loại hàng hóa trên.

Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số tấm thiệp loại nhỏ và loại lớn cần vẽ. Ta có \(x \ge 0,\,y \ge 0\).

Số giờ để vẽ \(x\) tấm thiệp loại nhỏ và \(y\) tấm thiệp loại lớn là \(2x + 3y\).

Vì học sinh chỉ có 30 giờ để vẽ nên \(2x + 3y \le 30\).

Số tấm thiệp phải vẽ ít nhất là 12 tấm nên \(x + y \ge 12\).

Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \ge 12\\2x + 3y \le 30\end{array} \right.\).

Số tiền thu được khi bán \(x\) tấm thiệp loại nhỏ và \(y\) tấm thiệp loại lớn là \(F\left( {x;\,y} \right) = 10x + 20y\) (nghìn đồng).

Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) khi \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ \[Oxy\] ta được như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác \(ABC\) với các đỉnh: \(A\left( {6;\,\,6} \right)\), \(B\left( {15;\,\,0} \right)\), \(C\left( {12;\,\,0} \right)\).

Tính giá trị của \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) tại các đỉnh của ngũ giác:

Tại \(A\left( {6;\,\,6} \right)\): \(F\left( {6;\,\,6} \right) = 10 \cdot 6 + 20 \cdot 6 = 180\);

Tại \(B\left( {15;\,\,0} \right)\): \(F\left( {15;\,\,0} \right) = 10 \cdot 15 + 20 \cdot 0 = 150\);

Tại \(C\left( {12;\,\,0} \right)\): \(F\left( {12;\,\,0} \right) = 10 \cdot 12 + 20 \cdot 0 = 120\).

\(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại \(A\left( {6;\,\,6} \right)\).

Vậy bạn học sinh đó cần vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại to để có được nhiều tiền nhất.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = {\left( {7,5} \right)^2} + {\left( {10,5} \right)^2} - 2 \cdot 8,5 \cdot 10,5 \cdot \cos 135^\circ \approx 277,87\)

Suy ra \(BC \approx 16,67\) (m).

Đường tròn hồ đi qua ba đỉnh của tam giác \(ABC\) nên đường tròn này ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Gọi \(R\) là bán kính đường tròn này. Theo định lí sin ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R\).

Thay số ta được: \(2R = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \approx \frac{{16,67}}{{\sin 135^\circ }} \approx 23,57\) (m).

Do đó, đường kính \(d = 2R \approx 23,57\) (m).

Vậy đường kính của hồ nước khoảng 23,57 m.

a) Ta có: \[B{C^2} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \].

Suy ra: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{2} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\].

Tương tự ta có: \[\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2};\;\;\;\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2}\].

Suy ra: \[\;\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} \]\[ = - \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \]

\[ = - \left( {\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{2} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2} + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}} \right) = - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\].

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \] với \[M\] là trung điểm của \[BC\].

Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] nên \[\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \]. Vậy \[\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\].

Suy ra: \[A{G^2} = {\overrightarrow {AG} ^2} = \frac{1}{9}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ = \frac{1}{9}\left( {{c^2} + {b^2} + 2 \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}} \right) = \frac{1}{9}\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right)\].

\[ \Rightarrow AG = \frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} \].

Ta có: \[\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right)\]\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AG} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\).

Lại có: \[\overrightarrow {AG} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{1}{3}\left( {{b^2} - {c^2}} \right)\].

Do đó, \[\cos \left( {\overrightarrow {AG} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\frac{1}{3}\left( {{b^2} - {c^2}} \right)}}{{\frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} \cdot a}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{a\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}\].