Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 6
48 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về “góc lượng giác”?
Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn có bán kính \(R = 1\) là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn có bán kính \(R = 1\), tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính \(R = 1\), tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Đáp án đúng là: D
Khẳng định đúng khi nói về “góc lượng giác” là:
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính \(R = 1\), tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới. Điểm \(M\) biểu diễn cho góc \(\alpha \) có số đo bằng bao nhiêu?
\(\alpha = 360^\circ .\)
α=420°.
\(\alpha = 390^\circ .\)
α=405°.
Đáp án đúng là: B
Quan sát hình vẽ ta thấy \(\left( {OA,OM} \right) = 60^\circ + 360^\circ = 420^\circ .\)
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) \ge 0\).
\(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) \le 0\).
\(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) > 0\).
\(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) < 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \( - \pi < \alpha - \pi < - \frac{\pi }{2}\).
Điểm cuối cùng \(\alpha - \pi \) góc thuộc góc phần tư thứ III, do đó \(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) < 0\).
Cho \[\tan \alpha = 3\]. Tính \[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\].
\[\frac{{3 - \sqrt 3 }}{{1 + 3\sqrt 3 }}\].
\[\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{1 - 3\sqrt 3 }}\].
\[\frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + 3\sqrt 3 }}\].
\[\frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi }{3}}} = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{1 + 3\sqrt 3 }}\].
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
\({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\).
\({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\).
\[\sin x = 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\].
\(\cos 3x = {\cos ^3}x - {\sin ^3}x\).
Đáp án đúng là: D
Khẳng định nào sai là \(\cos 3x = {\cos ^3}x - {\sin ^3}x\) vì \(\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\).
Rút gọn biểu thức \(M = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\).
\(\tan 2x.\)
\(\sin x.\)
\(2\sin x.\)
\(2\tan x.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(M = \frac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}} = \frac{{2\cos 2x\sin x}}{{\cos 2x}} = 2\sin x\).
Chọn mệnh đề đúng. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) và \(g\left( x \right) = {\tan ^2}x.\)
\(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
\(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
\(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
\(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều là hàm số lẻ.
Đáp án đúng là: B
• Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x.\]
TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Khi đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Ta có \[f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - 2x} \right) = - \sin 2x = - f\left( x \right)\]. Do đó \[f\left( x \right)\] là hàm số lẻ.
• Xét hàm số \[g\left( x \right) = {\tan ^2}x.\]
TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\) Khi đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Ta có \[g\left( { - x} \right) = {\left[ {\tan \left( { - x} \right)} \right]^2} = {\left( { - \tan x} \right)^2} = {\tan ^2}x = g\left( x \right)\]. Do đó \[g\left( x \right)\] là hàm số chẵn.
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \sin \frac{x}{2}.\)
\(y = \cos \frac{x}{2}.\)
\(y = \sin \left( { - \frac{x}{2}} \right).\)
\(y = - \cos \frac{x}{4}.\)
Đáp án đúng là: C
•Tại \(x = 0\) thì \(y = 0\). Do đó loại B và C.
• Tại \(x = \pi \) thì \(y = - 1\). Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa mãn.
Tất cả nghiệm của phương trình \(\cos 2x = 0\) là
\(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: A
\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
Tất cả nghiệm của phương trình \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{5}} \right) = \sin \frac{{2\pi }}{5}\) là
\(x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi \) và \(x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi \) và \(x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
\(\sin \left( {x - \frac{\pi }{5}} \right) = \sin \frac{{2\pi }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{5} = \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{5} = \pi - \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi \end{array} \right.\) (với \(k \in \mathbb{Z}\)).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{ - n}}{{n + 1}}\). Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần luột là số nào dưới đây?
\( - \frac{1}{2};\,\, - \frac{2}{3};\,\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5};\,\, - \frac{5}{6}.\)
\( - \frac{2}{3};\,\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5};\,\, - \frac{5}{6};\,\, - \frac{6}{7}.\)
\(\frac{1}{2};\,\,\frac{2}{3};\,\,\frac{3}{4};\,\,\frac{4}{5};\,\,\frac{5}{6}.\)
\(\frac{2}{3};\,\,\frac{3}{4};\,\,\frac{4}{5};\,\,\frac{5}{6};\,\,\frac{6}{7}.\)
Đáp án đúng là: A
Năm số hạng đầu tiên của dãy số là \({u_1} = \frac{{ - 1}}{2};\,\,{u_2} = \frac{{ - 2}}{3};\,\,{u_3} = \frac{{ - 3}}{4};\,\,{u_4} = \frac{{ - 4}}{5};\,\,{u_5} = \frac{{ - 5}}{6}.\)
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?\(d = 8\)
\({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \).
\({u_n} = n + \frac{1}{n}\).
\({u_n} = {2^n} + 1\).
\({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(0 < {u_n} = \frac{n}{{n + 1}} < 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\).
Vậy dãy số \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) là dãy số bị chặn.
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
\(0;\,\,1;\,\,3;\,\,7;\,\, \ldots \).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\end{array} \right.\,\,,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\).
\(1;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 1;\,\,1;\,\, \ldots \).
\({u_n} = {2^n},\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\).
Đáp án đúng là: B
Dãy số \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\end{array} \right.\,\,,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\) là cấp số cộng với \({u_1} = - 1\) và công sai \(d = 2.\)
Cho cấp số cộng có u1=−3 ; u6=27 công sai \(d\) bằng
\(d = 8\).
\(d = 7\).
\(d = 6\).
\(d = 5\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({u_6} = {u_1} + 5d \Rightarrow d = \frac{{{u_6} - {u_1}}}{5} = 6\).
Dãy số \(1\,;\,\,2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8\,;\,\, \ldots \) là một cấp số nhân với
Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.
Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.
Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.
Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.
Đáp án đúng là: B
Cấp số nhân \(1\,;\,\,2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8\,;\,\, \ldots \) có số hạng đầu tiên là \({u_1} = 1\) và công bội là \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2.\)
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
\({u_n} = \frac{1}{{{3^{n\,\, - \,2}}}}\).
\({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}} - 1\).
\({u_n} = n + \frac{1}{3}\).
\({u_n} = {n^2} - \frac{1}{3}.\)
Đáp án đúng là: A
Số hạng tổng quát \[{u_n} = {u_1}\,.\,{q^{n\,\, - \,1}}\] .
Khi đó \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n\, - \,2}}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n\, - \,2}} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n\, - \,1}} \Rightarrow q = \frac{1}{3}.\)
Trong các hình vẽ sau, hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện?
\((I)\).
\((I),\,\,(II),\,\,(IV)\).
\((I),\,\,(II),\,\,(III)\).
\((I),\,\,(II),\,\,(III),\,\,(IV)\).
Đáp án đúng là: B
Hình \((III)\) không phải là hình biểu diễn của một hình tứ diện.
Vậy các hình tứ diện trong các hình trên là \((I),\,\,(II),\,\,(IV)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AC \cap BD = M\) và \(AB \cap CD = I.\)
Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng
\(SI\).
\(SA\).
\(MN\).
\(SM\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI.\)
Cho các mệnh đề sau:
(I) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.
(II) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(III) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
(IV) Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng?
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: C
Có mệnh đề đúng là: (I), (III), (IV).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Đường thẳng \(IJ\) song song với đường thẳng nào?
\(BC\) .
\(BD\).
\(SO\).
\(AC\).
Đáp án đúng là: D
Dễ dàng thấy được: \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) nên \(IJ\,{\rm{//}}\,AC.\)
II. Tự luận (4,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải phương trình:
a) \(2\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \); b) \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cot x\).
a) \(2\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = \pi - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{56}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{56}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{{56}} + k\frac{{2\pi }}{3};\,\,x = \frac{{5\pi }}{{56}} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
b) Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne l\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{{3\pi }}{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\x \ne l\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k;\,l \in \mathbb{Z}} \right)\]
Khi đó \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cot x \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
\[ \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \Leftrightarrow 3x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\].
(0,5 điểm) Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}}.\)
Ta có \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} > 0,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\)
Mặt khác \[{u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1}} = 4 + \frac{1}{{n + 1}} \le 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\]
\[ \Rightarrow {u_n} \le \frac{9}{2},\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\].
Suy ra \[0 < {u_n} \le \frac{9}{2},\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\].
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
(1,5 điểm)Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là một tứ giác lồi. Gọi \[M\] là một điểm nằm trong \[\Delta SCD\].
a) Tìm \[\left( {SMB} \right) \cap \left( {SAC} \right)\].
b) Tìm \[BM \cap \left( {SAC} \right)\].
c) Tìm thiết diện hình chóp với \[\left( {ABM} \right).\]
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/7-1762388229.png)
a) Trong \[\left( {SDC} \right)\] gọi \[\left\{ I \right\} = SM \cap DC\].
Trong \[\left( {ABCD} \right)\]gọi \[\left\{ N \right\} = BI \cap AC\].
Ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}N \in BI \subset \left( {SBM} \right)\\N \in AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow N \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\]
Mà\[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\]
Vậy \[SN = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)\]
b) Trong \[\left( {SBI} \right)\]gọi \[\left\{ K \right\} = BM \cap SN\]
Ta có: K∈BMK∈SN⊂SAC⇒K=BM∩SAC
Vậy \[K = BM \cap \left( {SAC} \right)\].
c) Trong \[\left( {SAC} \right)\]gọi \[E = SC \cap AK\].
Trong \[\left( {SDC} \right)\] gọi \[F = ME \cap SD\].
Ta có: giao điểm của \[\left( {MAB} \right)\]với các cạnh \[SC,{\rm{ }}SD\] lần lượt là \[E,{\rm{ }}F\] từ đó suy ra:
\[\left( {MAB} \right) \cap \left( {SAB} \right) = AB;\,\,\left( {MAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BE;\,\,\left( {MAB} \right) \cap \left( {SDC} \right) = EF.\]
\[\left( {MAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = FE\].
Vậy thiết diện là tứ giác \[ABEF.\]
(1,0 điểm)Để trang trí cho quán trà sữa sắp mở cửa của mình, bạn Việt quyết định tô màu một mảng tường hình vuông cạnh bằng 1 m. Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là \(1;\,\,2;\,...;\,n,\) trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quá trình tô màu của Việt có thể diễn ra nhiều giờ. Hỏi bạn Việt tô màu đến hình vuông thứ mấy thì diện tích của hình vuông được tô bắt đầu nhỏ hơn \(\frac{1}{{1\,\,000}}\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}?\)
Diện tích của hình vuông lập thành cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \({u_1} = \frac{1}{4};\,\,q = \frac{1}{4}.\)
Do đó số hạng tổng quát của là \({u_n} = \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n\, - \,1}} = \frac{1}{{{4^n}}}\,\,\left( {n \ge 1} \right)\).
Để tính diện tích của hình vuông tô màu nhỏ hơn \(\frac{1}{{1\,\,000}}\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Khi đó \(\frac{1}{{{4^n}}} < \frac{1}{{1\,\,000}}\, \Leftrightarrow {4^n} > 1\,\,000 \Rightarrow n \ge 5.\)
Vậy tô màu từ hình vuông thứ 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
I. Trắc nghiệm (6 điểm)
Cho các câu sau:
(1) Số 23 là số nguyên tố.
(2) Số tự nhiên \(x\) là số chia hết cho 2.
(3) Em hãy học và làm bài tập chăm chỉ nhé!
(4) Tháng 2 dương lịch năm nhuận có 29 ngày.
Trong các câu trên, có bao nhiêu câu là mệnh đề?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Câu (1) và (4) là các câu khẳng định có tính đúng sai, nên đây là mệnh đề.
Câu (2) phụ thuộc vào biến \(x\) nên không xác định tính đúng sai, câu (3) không khẳng định tính đúng sai. Do đó, câu (2), câu (3) không phải mệnh đề.
Vậy trong các câu đã cho, có 2 câu là mệnh đề.
Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x > 1\)” là mệnh đề
“\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \ne 1\)”;
“\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x < 1\)”;
“\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \le 1\)”;
“\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \ge 1\)”.
Đáp án đúng là: C
Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x > 1\)” là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \le 1\)”.
Phần không bị gạch trong hình vẽ bên mô tả tập hợp nào sau đây?
\(\left[ { - 8;\,\,4} \right)\);
\(\left[ { - 8;\,\,4} \right]\);
\(\left( { - 8;\,\,4} \right)\);
\(\left( { - 8;\,\,4} \right]\).
Đáp án đúng là: A
Phần không bị gạch trong hình vẽ đã cho mô tả tập hợp \(\left[ { - 8;\,\,4} \right)\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(8 \in \mathbb{Z}\);
\(\sqrt 7 \in \mathbb{Q}\);
\(0,567894 \in \mathbb{R}\);
\(\sqrt {16} \in \mathbb{N}\).
Đáp án đúng là: B
8 là số nguyên nên \(8 \in \mathbb{Z}\), do đó đáp án A đúng.
\(\sqrt 7 \approx 2,645751311...\) là số vô tỉ nên \(\sqrt 7 \notin \mathbb{Q}\), do đó đáp án B sai.
0,567894 là số thực nên \(0,567894 \in \mathbb{R}\), do đó đáp án C đúng.
\(\sqrt {16} = 4\) là số tự nhiên nên \(\sqrt {16} \in \mathbb{N}\), do đó đáp án D đúng.
Cho hai tập hợp: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 2 \le x < 9} \right\},B = \left( {2;\,\, + \infty } \right)\). Khi đó \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right)\) là tập hợp nào sau đây?
\(\left( { - \infty ;\,2} \right) \cup \left( {9;\, + \infty } \right)\);
\(\left[ { - 2;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( {2;\,\,9} \right)\);
\(\left( { - \infty ;\,2} \right] \cup \left[ {9;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 2 \le x < 9} \right\} = \left[ { - 2;\,\,9} \right)\).
\(A \cap B = \left[ { - 2;\,\,9} \right) \cap \left( {2;\,\, + \infty } \right) = \left( {2;\,\,9} \right)\).
Suy ra \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {2;\,\,9} \right) = \left( { - \infty ;\,2} \right] \cup \left[ {9;\,\, + \infty } \right)\).
Bạn Hằng muốn dùng 1 triệu đồng để mua \(x\) cốc trà sữa trân châu đường đen và \(y\) cái bánh pizza. Biết rằng mỗi cốc trà sữa trân châu đường đen có giá là 40 000 đồng và mỗi cái bánh pizza có giá là 139 000 đồng. Một bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với \(x\) và \(y\) để Hằng không mua hết số tiền ban đầu là
\(40x + 139y > 1\,000\);
\(40x + 139y \le 1\,000\);
\(40x + 139y \ge 1\,000\);
\(40x + 139y < 1\,000\).
Đáp án đúng là: B
Số tiền để mua \(x\) cốc trà sữa trân châu đường đen và \(y\) cái bánh pizza là \(40\,\,000x + 139\,\,000y\).
Vì Hằng không mua hết số tiền ban đầu là 1 triệu đồng nên ta có
\(40\,\,000x + 139\,\,000y \le 1\,\,000\,\,000\) hay \(40x + 139y \le 1\,000\).
Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 4y \ge 10\)?
\(\left( {0;\,\,2} \right)\);
\(\left( {3;\,\,0} \right)\);
\(\left( {1;\,\,2} \right)\)
\(\left( {1;\,\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 11 > 10\).
Vậy điểm \(\left( {1;\,\,2} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 4y \ge 10\).
Hệ bất phương trình nào dưới đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 15\\x - 3y < 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y > 4\\x - 2y \le 5\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 4xy > 2\\2x - y < 7\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5{y^2} < 2\\2x - 7y < 9\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 15\\x - 3y < 3\end{array} \right.\) gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn nên đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) là
Một nửa mặt phẳng;
Miền tam giác;
Miền tứ giác;
Miền ngũ giác.
Đáp án đúng là: B
Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) , ta xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.
+) Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng có bờ là trục \(Oy\) chứa điểm \(\left( {1;\,\,1} \right)\) (kể cả bờ).
+) Miền nghiệm của bất phương trình \(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng có bờ là trục \(Ox\) chứa điểm \(\left( {1;\,\,1} \right)\) (kể cả bờ).
+) Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(x + y = 4\) chứa điểm \(\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ).
Giao của các miền nghiệm trên là miền tam giác \(OAB\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {0;\,4} \right),\,\,B\left( {4;\,\,0} \right)\).
Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) là miền tam giác.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin 120^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
\(\cos 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
\(\tan 120^\circ = \sqrt 3 \);
\(\cot 120^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\,\cos 120^\circ = - \cos 60^\circ = - \frac{1}{2}\), \(\tan 120^\circ = - \tan 60^\circ = - \sqrt 3 \),
\(\cot 120^\circ = - \cot 60^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \[BC = a,\,AC = b,\,AB = c\] và \(\widehat A = 60^\circ \). Khi đó ta có công thức tính độ dài cạnh \(a\) là
\(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - bc} \);
\(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} + bc} \);
\(a = b - c\);
\(a = c - b\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos 60^\circ = {b^2} + {c^2} - bc\)
Suy ra \(a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - bc} \).
Một mảnh đất hình tam giác có độ dài hai cạnh là \(AB = 10\,\,{\rm{m}},\,AC = 20\,\,{\rm{m}}\) và \(\widehat {BAC} = 150^\circ \). Diện tích mảnh đất là
100 m2;
50 m2;
173 m2;
137 m2.
Đáp án đúng là: B
Diện tích mảnh đất hình tam giác là
\(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 \cdot \sin 150^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\) (m2).2
Cho hai điểm \(A\), \(B\) phân biệt. Có tất cả bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có được lập từ hai điểm này?
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Các vectơ thỏa mãn là: \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} \). Có hai vectơ thỏa mãn.
Cho vectơ \(\overrightarrow {MN} \) khác vectơ – không. Độ dài vectơ \(\overrightarrow {MN} \) là
Giá của vectơ \(\overrightarrow {MN} \);
Độ dài của đoạn thẳng \(MN\);
Phương của vectơ \(\overrightarrow {MN} \);
Hướng của vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
Đáp án đúng là: B
Độ dài vectơ \(\overrightarrow {MN} \) là độ dài của đoạn thẳng \(MN\).
Thực hiện phép tính \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} - \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {DE} \) ta được kết quả là
\[\overrightarrow {AE} \];
\[\overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {AF} \];
\[\overrightarrow {AD} \].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} - \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {DE} \)
\( = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} } \right) + \left( {\overrightarrow {FA} - \overrightarrow {FE} } \right)\)
\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} \)
\( = \overrightarrow {AC} + \left( {\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \).
Cho tam giác \[ABC\] có \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,\,\,AC,\,\,BC\). Vectơ \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} \) bằng vectơ nào sau đây?
\(\overrightarrow {AM} \);
\(\overrightarrow {PB} \);
\(\overrightarrow {AP} \);
\(\overrightarrow {MN} \).
Đáp án đúng là: C
Vì \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,\,\,AC,\,\,BC\) nên từ định lí đường trung bình trong tam giác ta suy ra được \(MP\,\,{\rm{//}} = \,AN\), do đó \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AN} \).
Ta có: \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} \).
Cho vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow a \) và \(6\overrightarrow a \) cùng phương;
\(\overrightarrow a \) và \( - 6\overrightarrow a \) cùng phương;
\(\overrightarrow a \) và \(6\overrightarrow a \) không cùng hướng;
\(\overrightarrow a \) và \( - 6\overrightarrow a \) ngược hướng.
Đáp án đúng là: C
Với vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và số thực \(k \ne 0\), ta có:
+) \(k\overrightarrow a \) là một vectơ cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\);
+) \(k\overrightarrow a \) là một vectơ ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\);
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(k\overrightarrow a \) luôn cùng phương.
Vậy với \(k = 6\) thì “\(\overrightarrow a \) và \(6\overrightarrow a \) cùng hướng” nên khẳng định C sai.
Chotam giác \[ABC\] và điểm \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AI} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AI} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 5\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow - 6\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) < 90^\circ \). Khi đó ta có
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b < 0\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b > 0\);
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \ge 0\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) < 90^\circ \) nên \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) > 0\).
Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| > 0,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| > 0\) (do hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \)).
Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) > 0\).
Cho hình vuông \[ABCD\] cạnh bằng 3. Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(C\). Khi đó, tích vô hướng \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} \) bằng
18;
\(9\sqrt 3 \);
\(9\sqrt 5 \);
45.
Đáp án đúng là: A
Vì \(E\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(C\) nên \(C\) là trung điểm của \(DE\), do đó \(DE = 2DC = 2 \cdot 3 = 6\).
Ta có: \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {AB} \)
Do \(AB \bot AD\) nên \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DE} \) cùng hướng nên \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {DE} } \right) = 0^\circ \).
Do đó, \(\overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {DE} } \right) = DE \cdot AB \cdot \cos 0^\circ = 6 \cdot 3 \cdot 1 = 18\).
Vậy \(\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 + 18 = 18\).
II. Tự luận (4 điểm)
(1 điểm) Cho các tập hợp khác tập rỗng \(A = \left[ {m - 1;\,\frac{{m + 3}}{2}} \right]\) và \(B = \left( { - \infty ;\,\, - 3} \right) \cup \left[ {3;\,\, + \infty } \right)\). Xác định các giá trị nguyên dương của \(m\) để \(A \cap B \ne \emptyset \).
Để \(A \cap B \ne \emptyset \) thì điều kiện là \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < \frac{{m + 3}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m - 1 < - 3\\\frac{{m + 3}}{2} \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left[ {3;\,\,5} \right)\).
Vì \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {3;\,\,4} \right\}\).
(1 điểm) Một công ty dự kiến chi 500 triệu đồng cho một đợt quảng cáo sản phẩm của mình. Biết rằng chi phí cho một block 1 phút quảng cáo trên đài phát thanh là 10 triệu đồng và chi phí cho một block 10 giây quảng cáo trên đài truyền hình là 25 triệu đồng. Đài phát thanh chỉ nhận các chương trình quảng cáo với ít nhất 5 block, đài truyền hình chỉ nhận các chương trình quảng cáo với số block ít nhất là 10. Theo thống kê của công ty, sau 1 block quảng cáo trên đài truyền hình thì số sản phẩm bán ra tăng 4%, sau 1 block quảng cáo trên đài phát thanh thì số sản phẩm bán ra tăng 2%. Để đạt hiệu quả tối đa thì công ty đó cần quảng cáo bao nhiêu block trên đài phát thanh và trên đài truyền hình?
Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số block công ty đó thuê quảng cáo trên đài phát thanh và trên đài truyền hình.
Chi phí công ty cần bỏ ra là \(10x + 25y\) (triệu đồng). Mức chi này không vượt quá chi phí công ty đặt ra nên \(10x + 25y \le 500\) hay \(2x + 5y \le 100\).
Do các điều kiện đài phát thanh và đài truyền hình đưa ra nên ta có \(x \ge 5;\,y \ge 10\).
Hiệu quả quảng cáo (phần trăm tăng tưởng sản phẩm do quảng cáo) là \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 0,02x + 0,04y\).
Bài toán trở thành: Xác định \(x,\,\,y\) sao cho \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y \le 100\\x \ge 5\\y \ge 10\end{array} \right.\) (*).
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) lên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ta được:
Miền nghiệm của hệ (*) là miền tam giác \(ABC\) với \(A\left( {5;\,\,18} \right),\,\,B\left( {25;\,\,10} \right),\,\,C\left( {5;\,\,10} \right)\).
Ta có: \(F\left( {5;\,\,18} \right) = 0,02 \cdot 5 + 0,04 \cdot 18 = 0,82\);
\(F\left( {25;\,\,10} \right) = 0,02 \cdot 25 + 0,04 \cdot 10 = 0,9\);
\(F\left( {5;\,\,10} \right) = 0,02 \cdot 5 + 0,04 \cdot 10 = 0,5\).
Do đó, giá trị lớn nhất của \(F\left( {x;\,\,y} \right)\) bằng 0,9 tại \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {25;\,\,10} \right)\).
Vậy để đạt hiệu quả cao nhất thì công ty đó cần quảng cáo 25 block trên đài phát thanh và 10 block trên đài truyền hình.
(1 điểm) Để đo chiều cao của một tòa nhà, bác Hương lấy hai điểm \(A\) và \(D\) trên mặt đất có khoảng cách \(AD = 10\,\,{\rm{m}}\) cùng thẳng hàng với chân \(B\) của tòa nhà để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao 1,2 m. Gọi \(C\) là đỉnh của tòa nhà và hai điểm \({A_1},\,\,{D_1}\) là đỉnh của hai giác kế cùng thẳng hàng với điểm \({B_1}\) thuộc chiều cao \(BC\) của tòa nhà. Bác đo được các góc \(\widehat {C{D_1}{B_1}} = 35^\circ ,\,\,\widehat {C{A_1}B} = 40^\circ \).
Hỏi chiều cao của tòa nhà là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Ta có: \({A_1}{D_1} = AD = 10\,\,{\rm{m}}\), \(\widehat {{D_1}C{A_1}} = \widehat {C{A_1}{B_1}} - \widehat {C{D_1}{A_1}} = 40^\circ - 35^\circ = 5^\circ \).
Áp dụng định lí sin cho \(\Delta C{D_1}{A_1}\), ta có: \(\frac{{{A_1}C}}{{\sin \widehat {C{D_1}{A_1}}}} = \frac{{{A_1}{D_1}}}{{\sin \widehat {{D_1}C{A_1}}}}\).
Suy ra \({A_1}C = \frac{{{A_1}{D_1}\sin \widehat {C{D_1}{A_1}}}}{{\sin \widehat {{D_1}C{A_1}}}} = \frac{{10 \cdot \sin 35^\circ }}{{\sin 5^\circ }} \approx 65,81\).
Xét tam giác \({A_1}{B_1}C\) vuông tại \({B_1}\), ta có
Ta có: \(B{B_1} = A{A_1} = D{D_1} = 1,2\) m.
Do đó, \(BC = B{B_1} + {B_1}C \approx 1,2 + 42,30 \approx 43,50\) (m)
Vậy chiều cao của tòa nhà xấp xỉ bằng 43,50 mét.
(1 điểm) Cho tam giác \[ABC\] có trực tâm \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Chứng minh rằng \[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\].
![Cho tam giác \[ABC\] có trực tâm \(H\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/7-1763354073.png)
Do \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:
\[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {CH} } \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} } \right)\] \[ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)\]
Vì \(H\) là trực tâm của \[\Delta ABC,\] nên \[BH \bot CA{\rm{ }},{\rm{ }}CH \bot BA\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} = 0,{\rm{ }}\overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\].
Do đó, \[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)\]
\[ = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {BH} \cdot \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {CH} \cdot \left( {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)} \right] = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\]
\( = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {CH} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HC} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2} = \frac{1}{4}B{C^2}\).
Vậy \[\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\].
