Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
76 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là
Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ.
Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể ngược chiều quay kim đồng hồ.
Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ.
Đáp án đúng là: B
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới. Điểm nào trong bốn đáp án A, B, C, D biểu diễn cho góc lượng giác có số đo bằng \( - 405^\circ ?\)
Điểm \(N.\)
Điểm \(M.\)
Điểm \(P.\)
Điểm \(P.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \( - 405^\circ = - 45^\circ - 360^\circ \) nên điểm biểu diễn của góc có số đo bằng \( - 405^\circ \) trùng với góc có số do bằng \( - 45^\circ .\)
Mà số đo góc lượng giác \(\left( {OA,\,\,OQ} \right)\) bằng \( - 45^\circ \) nên điểm \(Q\) là điểm biểu diễn của góc có số đo bằng \( - 405^\circ \) trên đường tròn lượng giác.
Đổi số đo của góc \(\alpha = \frac{\pi }{3}\) sang độ.
\(\alpha = 90^\circ .\)
\(\alpha = 30^\circ .\)
\(\alpha = 60^\circ .\)
\(\alpha = 45^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\alpha = \frac{\pi }{3} = {\left( {\frac{\pi }{3}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^{\rm{o}}} = 60^\circ .\)
Cho \(2\pi < \alpha < \frac{{5\pi }}{2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\tan \alpha > 0,\,\,\cot \alpha > 0\).
\(\tan \alpha < 0,\,\,\cot \alpha < 0\).
\(\tan \alpha > 0,\,\,\cot \alpha < 0\).
\(\tan \alpha < 0,\,\,\cot \alpha > 0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \[2\pi < \alpha < \frac{{5\pi }}{2}\] nên điểm cuối cung \(\alpha - \pi \) thuộc góc phần tư thứ nhất.
Do đó \(\tan \alpha > 0,\,\,\cot \alpha > 0\).
Với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\) thì \(\tan (2017\pi + \alpha )\) bằng
\( - \tan x\).
\(\cot x\).
\(\tan x\).
\( - \cot x\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\tan (2017\pi + \alpha ) = \tan x\).
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \alpha = - \frac{3}{{\sqrt 5 }}\).
\(\tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\tan \alpha = - \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
\(\tan \alpha = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \frac{2}{3}\\\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \(\sin \alpha = - \frac{2}{3}\).
Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
\[\sin a + \cos a = \sqrt 2 \sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\].
\[\sin a + \cos a = \sqrt 2 \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\].
\[\sin a + \cos a = - \sqrt 2 \sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\].
\[\sin a + \cos a = - \sqrt 2 \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Khẳng định đúng là \[\sin a + \cos a = \sqrt 2 \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x.cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \sin x.cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\cos x.\left( {\sin x - \cos x} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x.cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 2\cos x(\sin x + \cos x)\).
Mà \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\cos x\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin x\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
Vậy \(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
Biến đổi biểu thức \[A = 4\sin x.\sin 2x.\sin 3x\] thành tổng, ta được
\[A = - \sin 4x + \cos 2x - \sin 6x\].
\[A = \sin 4x - \cos 2x - \sin 6x\].
\[A = \sin 4x - \sin 2x + \sin 6x\].
\[A = \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\].
Đáp án đúng là: D
Áp dụng quy tắc từ tích sang tổng, ta được:
\[A = 4\sin x.\sin 2x.\sin 3x = 2\left( {\cos x - \cos 3x} \right)\sin 3x = \sin 4x + \sin 2x - \sin 6x\].
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
\(y = \tan x.\)
\(y = \cot x.\)
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề sai là: Hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Vì hàm số \[y = \tan x\] tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \[y = \frac{{\cos x}}{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)}}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + 2k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi và chỉ khi\(\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{2} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Nghiệm của phương trình \(\cos x = 1\) là
\(x = k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(x = k2\pi \).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Tất cả nghiệm của phương trình \(\tan 2x = \tan \frac{\pi }{{11}}\) là
\(x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{{22}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{{22}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{{22}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
\(\tan 2x = \tan \frac{\pi }{{11}}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{22}} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Tất cả nghiệm của phương trình \(\sin 2x = \sin 3x\) là
\(x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi \) và \(x = \frac{\pi }{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi \) và \(x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}.\)
Đáp án đúng là: D
\(\sin 2x = \sin 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 2x + k2\pi \\3x = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\), với \(k \in \mathbb{Z}\).
Tập nghiệm của phương trình \[2\sin 2x + 1 = 0\] là
\[S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,\,\,\frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\, - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\[S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\,\,\frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\, - \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án đúng là: A
\[2\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\]
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\].
\[{u_n} = \frac{3}{n}\].
\[{u_n} = {2^n}\].
\[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\].
Đáp án đúng là: C
Dãy số \[{u_n} = {2^n}\] là dãy số tăng.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số \({u_n} = \frac{1}{n} - 2\) là dãy tăng.
Dãy số \[{u_n} = {( - 1)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\] là dãy giảm.
Dãy số \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}}\) là dãy giảm.
Dãy số \({u_n} = 2n + \cos \frac{1}{n}\) là dãy tăng.
Đáp án đúng là: D
Ta có \({u_n} = 2n + \cos \frac{1}{n} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \left( {2 - \cos \frac{1}{{n + 1}}} \right) + \cos \frac{1}{{n + 2}} > 0\).
Do đó dãy số \({u_n} = 2n + \cos \frac{1}{n}\) là dãy tăng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \[{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}}\]. Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
\(\frac{1}{3}\).
1.
\(\frac{1}{2}\).
0.
Đáp án đúng là: B
Ta có \[{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}} = 1 - \frac{2}{{3n + 1}} < 1\].
Mặt khác: \[{u_2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0\] nên suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số 1.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8\).
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12\).
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15\).
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9\).
Đáp án đúng là: C
Ta thấy dãy số \(1; - 3; - 7; - 11; - 15\) là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai là \( - 4\).
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
\({u_n} = {( - 1)^n}(2n + 1)\).
\({u_n} = \sin \frac{\pi }{n}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} - 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}}\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng nên \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) (\(d\) là hằng số).
Vậy dãy số \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} - 1\end{array} \right.\)là cấp số cộng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = \frac{1}{4}\) và \(d = - \frac{1}{4}\). Gọi \({S_5}\) là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({S_5} = - \frac{4}{5}\).
\({S_5} = \frac{4}{5}\).
\({S_5} = \frac{5}{4}\).
\({S_5} = - \frac{5}{4}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{4}\\d = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\]
Do đó \({S_5} = 5{u_1} + \frac{{5\,.\,4}}{2}d = 5\,.\,\frac{1}{4} + 10\,.\,\left( { - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{5}{4}\).
Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là \({S_n} = {n^2} + 4n\) với \(n \in \mathbb{N}*\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng đã cho.
\({u_n} = 2n + 3\).
\({u_n} = 3n + 2\).
\({u_n} = 5\,.\,{3^{n - 1}}\).
\({u_n} = 5\,.\,{\left( {\frac{8}{5}} \right)^{n - 1}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có n2+4n=Sn=d2n2+u1−d2n
⇔d2=1u1−d2=4⇔u1=5d=2
Do đó \({u_n} = 2n + 3\).
Cho các dãy số sau:
\((1):{u_n} = - \frac{{{3^{n - 1}}}}{5}\); \((2):{u_n} = 3n - 1\); \((3):{u_n} = \frac{{{2^n} - 1}}{3}\); \[(4):{u_n} = {n^3}\].
Hỏi có bao nhiêu dãy số là cấp số nhân?
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: A
Có 1 dãy cấp số nhân đó là \((1):{u_n} = - \frac{{{3^{n - 1}}}}{5}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) công bội \(q\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{u_k} = {u_1}{q^{k - 1}}\].
\[{u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\].
\[{u_k} = \sqrt {{u_{k + 1}}\,.\,{u_{k + 2}}} \].
\[{u_k} = {u_1} + (k - 1)q\].
Đáp án đúng là: A
Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) công bội \(q\) thì \[{u_k} = {u_1}{q^{k - 1}}\].
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{20}} = 8{u_{17}}\\{u_1} + {u_5} = 272\end{array} \right.\). Chọn khẳng định đúng?
\(q = 2\).
\(q = - 4\).
\(q = 4\).
\(q = - 2\).
Đáp án đúng là: A
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_{20}} = 8{u_{17}}\\{u_1} + {u_5} = 272\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^{19}} = 8{u_1}{q^{16}}\\{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 272\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^3} = 8\\{u_1} = \frac{{272}}{{1 + {q^4}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 16\end{array} \right.\end{array} \right.\].
Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối \({u_6}\) của cấp số nhân đã cho.
\({u_6} = 32\).
\({u_6} = 104\).
\({u_6} = 48\).
\({u_6} = 96\).
Đáp án đúng là: D
Theo giả thiết q=2S6=189=u11−q61−q=u11−261−2⇔q=2u1=3
\( \Rightarrow {u_6} = {u_1}{q^5} = 3\,.\,{2^5} = 96\).
Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\)?
0.
2.
1.
vô số.
Đáp án đúng là: C
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Ba điểm phân biệt.
Một điểm và một đường thẳng.
Hai đường thẳng cắt nhau.
Bốn điểm phân biệt.
Đáp án đúng là: C
Các yếu tố để xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(MN\) cắt \(AD,\,\,BC\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\). Biết \(MP\) cắt \(NQ\) tại \(I\). Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
\(I,\,\,A,\,\,C\).
\(I,\,\,B,\,\,D\).
\(I,\,\,A,\,\,B\).
\(I,\,\,C,\,\,D\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \((ABD) \cap (BCD) = BD\).
Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}I \in MP \subset (ABD)\\I \in nq \subset (BCD)\end{array} \right.\]
Suy ra \(I\) thuộc giao tuyến của \((ABD)\) và \((BCD)\) nên \(I \in BD\).
Vậy ba điểm \(I,\,\,B,\,\,D\) thẳng hàng.
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là các điểm thuộc \[AB,{\rm{ }}AC\]. Giao tuyến của hai mặt phẳng \[(DBN)\] và \((DCM)\) là
\[DG\] với \[G\] là trung điểm của \[BN\].
\[DG\] với \[G\] là giao điểm của \[BN\] và \[CM\].
\[DG\] với \[G\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
\[DG\] với \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
Đáp án đúng là: B
Dễ thấy \(D\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
Trong mặt phẳng \((ABC)\), gọi \(G = BN \cap CM\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in BN \subset (BDN)\\G \in CM \subset (DCM)\end{array} \right.\)
\[ \Rightarrow G \in (DBN) \cap (DCM)\]
\( \Rightarrow DG = (DBN) \cap (DCM)\).
Do \(M,\,\,N\) là các điểm bất kì thuộc hai đoạn thẳng \(AB,\,\,AC\) chưa kết luận được vị trí của \(G\).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \((DBN)\) và \((DCM)\) là \(DG\) với \(D\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Đáp án đúng là: B
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Hai đường thẳng được gọi là song song nếu
chúng không có điểm chung.
chúng có một điểm chung duy nhất.
chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
chúng đồng phẳng.
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AD\) không song song với \(BC\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,T\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,BD,\,\,BC,\,\,CD,\,\,SA,\,\,SD\). Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
\(MP\)và \(RT\).
\(MQ\)và \(RT\).
\(MN\)và \(RT\).
\(PQ\)và \(RT\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(M,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,CD\).
Suy ra \(MQ\) là đường trung bình của tam giác MQ // AD(1)
Mặt khác \(R,\,\,T\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SD\).
Suy ra \(RT\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) nên RT // SD(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MQ\,{\rm{//}}\,RT\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Các điểm \(P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\); điểm \(R\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BR = 2RC\). Gọi \(S\) là giao điểm của mặt phẳng \((PQR)\) và cạnh \(AD\). Tính tỉ số \(\frac{{SA}}{{SD}}\).
2.
1.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(RQ\).
Nối \(P\) với \(I\), cắt \(AD\) tại \(S\).
• Xét tam giác \(BCD\) bị cắt bởi \(IR\), ta có:
\(\frac{{DI}}{{IB}}\,.\,\frac{{BR}}{{RC}}\,.\,\frac{{CQ}}{{QD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IB}}\,.\,2\,.\,1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IB}} = \frac{1}{2}\).
• Xét tam giác \(ABD\) bị cắt bởi \(PI\), ta có:
\(\frac{{AS}}{{SD}}\,.\,\frac{{DI}}{{IB}}\,.\,\frac{{BP}}{{PA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SA}}{{SD}}\,.\,\frac{1}{2}\,.\,1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{SA}}{{SD}} = 2\).
II. Tự luận (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải phương trình:
a) \(\cot \left( {x + 30^\circ } \right) = \cot \frac{x}{2}\); b) \(\sin 2x = \cos 3x\).
a) Điều kiện x+20°≠k . 180°x2≠k . 180°⇔x≠30°x≠n . 360° (k, n∈ℤ)
Ta có \(\cot \left( {x + 30^\circ } \right) = \cot \frac{x}{2}\)
\( \Leftrightarrow x + 30^\circ = \frac{x}{2} + k\,.\,180^\circ \)
\( \Leftrightarrow 2x + 60^\circ = x + k\,.\,360^\circ \)
\( \Leftrightarrow x = - 60^\circ + k\,.\,360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - 60^\circ + k\,.\,360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
b) \(\sin 2x = \cos 3x \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5};\,\,x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
(1,0 điểm) Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là \(12\,\,288\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)). Tính diện tích mặt trên cùng.
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \[{u_1} = \frac{{12\,\,288}}{2} = 6\,\,144\].
Khi đó diện tích mặt trên cùng là: \[{u_{11}} = {u_1}{q^{10}} = \frac{{6\,\,144}}{{{2^{10}}}} = 6\].
(1,0 điểm)Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(SB\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\).
b) Chứng minh \(ON\) song song với mặt phẳng \[(SAD)\].
c) Tìm giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \((SAC)\).
a) Xét hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) có \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng.
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset (SAB)\\CD\, \subset \,(SCD)\end{array} \right.\).
Gọi \(Sx\) là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AB\) và CD.
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng đi qua \(Sx\).
b) Xét tam giác \(SBD\) có \(ON\,{\rm{//}}\,SD\) (vì \(O,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(SB\)).
Mà \(SD\, \subset \,(SCD)\) nên \(ON\,{\rm{//}}\,\,(SCD)\).
c) Xét mặt phẳng \((ABCD)\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM\).
Xét hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBM)\).
Ta có \((SAC) \cap (SBM) = SI\).
Gọi \(J\) là giao điểm của \(SI\) và \(MN\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}J \in SI \subset (SAC)J \in (SAC)\\J \in MN\end{array} \right.\).
Vậy \(J\) là giao điểm của \(MN\) và mặt phẳng \((SAC)\).
c) Chọn mặt phẳng \((SAC)\) chứa \(NC\). Tìm giao tuyến của \((SAC)\) và \((SMQ)\):
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in (SAC) \cap (SMQ)\\AC\,{\rm{//}}\,MQ,\,\,AC \subset (SAC),\,\,MQ \subset (SMQ)\end{array} \right.\).
Do đó \[(SAC) \cap (SMQ) = Sx\,{\rm{//}}\,AC\,{\rm{//}}\,MQ\].
Trong mặt phẳng \((SAC)\), gọi \(J = CN \cap Sx\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}J \in CN\\J \in Sx \subset (SMQ)\end{array} \right. \Rightarrow J = CN \cap (SMQ)\)
Vậy \(J\) là giao điểm của đường thẳng \(CN\) và mặt phẳng \((SMQ)\).
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{Z},x\,\, \vdots \,\,5\)” được diễn tả bằng lời là
Tồn tại một số nguyên \(x\) để \(x\) chia hết cho 5;
Mọi số nguyên \(x\) chia hết cho 5;
Tồn tại một số nguyên \(x\) để \(x\) không chia hết cho 5;
Mọi số nguyên \(x\) không chia hết cho 5.
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{Z},x\,\, \vdots \,\,5\)” được diễn tả bằng lời như sau:
Tồn tại một số nguyên \(x\) để \(x\) chia hết cho 5.
Cho mệnh đề \(P\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân” và mệnh đề \(Q\): “Tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\)”. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là
Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân vì tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\);
Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân do đó tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\); ;
Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân thì tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\);
Tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\) khi và chỉ khi tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân.
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là: “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân thì tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\)”.
Cho định lí: “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ” để phát biểu lại định lí. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau;
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau;
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau;
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng bằng nhau.
Đáp án đúng là: B
Định lí: “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” được phát biểu lại bằng một trong các cách sau:
+ “Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau”.
+ “Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau”.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 2x + 1 = 0} \right\}\). Trong các phần tử sau, phần tử nào thuộc tập hợp \(A\)?
1;
2;
– 1;
0.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Do đó, \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} - 2x + 1 = 0} \right\} = \left\{ 1 \right\}\).
Vậy \(1 \in A\).
Cho tập hợp \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|5 < x < 50} \right\}\). Khoảng nào sau đây là tập con của \(B\) ?
\(\left( { - 1;6} \right)\)
\(\left( {45;69} \right)\);
\(\left( {23;34} \right)\);
\(\left( {1;50} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|5 < x < 50} \right\} = \left( {5;\,50} \right)\).
Mà \(\left( {23;34} \right) \subset \left( {5;50} \right)\).
Vậy \(\left( {23;34} \right) \subset B\).
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là
\(\mathbb{N}\);
\({\mathbb{N}^*}\);
\(\mathbb{Z}\);
\(\mathbb{Q}\).
Đáp án đúng là: D
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là \(\mathbb{Q}\).
Khẳng định nào sau đây là sai ?
\(\mathbb{N} = {\mathbb{N}^*}\);
\({\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N}\);
\(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\);
\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\mathbb{N}^*} = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,...} \right\}\); \(\mathbb{N} = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,...} \right\}\).
Vậy \({\mathbb{N}^*} \ne \mathbb{N}\) và \({\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N}\), do đó khẳng định A sai, khẳng định B đúng.
Tương tự, ta có \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\), nên khẳng định C và D đúng.
Cho hai tập hợp \(A = \left[ {3;58} \right)\) và \(B = \left[ {1;5} \right]\). Khi đó tập hợp \(A \cup B\) là
\(\left[ {3;5} \right]\);
\(\left( {3;5} \right)\);
\(\left[ {1;3} \right]\);
\(\left[ {1;58} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A = \left[ {3;58} \right)\), \(B = \left[ {1;5} \right]\).
\( \Rightarrow A \cup B = \left[ {1;58} \right)\).
Bất phương trình nào dưới đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x - y \ge 8\);
\(3x + 7y < 0\);
\(4x > - 3\);
\(x - y + z < 1\).
Đáp án đúng là: D
Bất phương trình \(x - y + z < 1\) có ba ẩn \(x,\,\,y,\,\,z\) nên nó không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(10x - y \ge 0\)?
\(\left( {3;\,2} \right)\);
\(\left( {1;\,\,11} \right)\);
\(\left( { - 1; - 14} \right)\);
\(\left( { - 2; - 20} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = 1\) và \(y = 11\) vào biểu thức \(10x - y\) ta có:
\(10 \cdot 1 - 11 = - 1 < 0\).
Vậy cặp số \(\left( {1;\,\,11} \right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(10x - y \ge 0\).
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - y \ge 1\) là
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (không kể bờ);
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (có kể bờ);
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (có kể bờ);
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\)(không kể bờ).
Đáp án đúng là: C
Xét điểm \(\left( {0;0} \right)\) có \(3 \cdot 0 - 0 = 0 < 1\). Do đó, điểm \(\left( {0;0} \right)\) không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - y \ge 1\).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - y \ge 1\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (có kể bờ).
Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} > 4\\2x + y < 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2y \le z\\x + y < 9\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^5} - y > 0\\x + {y^5} < 6\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 > 4\\2x + y + 2 < 19\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 > 4\\2x + y + 2 < 19\end{array} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\) ?
\(\left( {1;2} \right)\);
\(\left( {4;5} \right)\);
\(\left( {10;30} \right)\);
\(\left( { - 5;10} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}5 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot 10 = - 45 \le 0\\ - 5 + 10 = 5 < 10\end{array} \right.\).
Vậy cặp số \(\left( { - 5;10} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\).
Cho góc \(\alpha \) biết \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \). Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} = \alpha \). Khi đó, giá trị \(\cos \alpha \) bằng
\(\frac{{AB}}{{AC}}\);
\(\frac{{AB}}{{BC}}\);
\(\frac{{AC}}{{BC}}\);
\(\frac{{AC}}{{AB}}\).
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\cos \alpha = \cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}}\).
Cho góc \(\alpha \) biết \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \), \(\alpha \ne 90^\circ \), ta có: \[\tan \alpha = ?\]
\[\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right)\];
\[\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)\];
\[\tan \left( { - \alpha } \right)\];
\[1 - \cot \left( \alpha \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\tan \alpha = \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right)\] (hai góc phụ nhau).
Cho góc \(\alpha \) biết \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \) thỏa mãn \[\sin \alpha = \frac{1}{2}\]. Khi đó, giá trị \(\cot \alpha \) là
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\[\sqrt 3 \];
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).
Mà \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \) nên \(\cos \alpha \ge 0\), do đó, \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 \).
Cho tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\), các góc đối diện các cạnh đó lần lượt là \(\alpha \), \(\beta \), \(\varphi \). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \varphi }}\);
\({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha \);
\({b^2} = {c^2} + {b^2} - 2ac \cdot \cos \beta \);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc \cdot \cos \alpha \).
Đáp án đúng là: A
Theo định lí sin trong tam giác ta có: \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \varphi }}\), do đó đáp án A đúng.
Theo định lí côsin trong tam giác ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha \\{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos \beta \\{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos \varphi \end{array} \right.\), do đó các đáp án B, C, D đều sai.
Cho tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\), các góc đối diện các cạnh đó lần lượt là \(\alpha \), \(\beta \), \(\varphi \), các đường cao tương ứng lần lượt là \({h_a}\), \({h_b}\), \({h_c}\), diện tích tam giác đó là \(S\), nửa chu vi tam giác là \(p\). Khẳng định nào sau đây là sai ?
\(S = \frac{1}{2}a{h_a}\);
\(S = \frac{1}{2}b{h_a}\);
\(S = \frac{1}{2}ab.\sin \varphi \);
\[S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}ab.\sin \varphi = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).
Vậy \(S = \frac{1}{2}b{h_a}\) là sai.
Cho tam giác \(MNP\) có \(MN = 8\,\)cm, \(PN = 5\,\)cm, \(MP = 9\)cm. Vậy \(\widehat {MPN} = ?\) (làm tròn đến độ)
\(45^\circ \);
\(62^\circ \);
\(63^\circ \);
\(48^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(MNP\)
Áp dụng định lí côsin ta có: \(M{N^2} = P{N^2} + M{P^2} - 2PN \cdot MP \cdot \cos \widehat {MPN}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {MPN} = \frac{{P{N^2} + M{P^2} - M{N^2}}}{{2PN \cdot MP}} = \frac{{{5^2} + {9^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 9}} = \frac{7}{{15}}\).
Vì \(0^\circ < \widehat {MPN} < 180^\circ \) nên \(\widehat {MPN} \approx 62^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) có \(BC = 9\,\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {ABC} = 38^\circ \). Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ta được độ dài cạnh \(AC\) là
6 cm;
9 cm;
8 cm;
7 cm.
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) có \(BC = 9\,\,{\rm{cm}} \Rightarrow BA = BC = 9\,{\rm{cm}}\).
Áp dụng định lí côsin ta có:
\(A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} - 2BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {9^2} + {9^2} - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \cos 38^\circ \approx 34\).
Vì \(AC > 0\) nên \(AC \approx \sqrt {34} \approx 6\,\,{\rm{cm}}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó;
Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi chưa biết yếu tố nào của tam giác đó;
Ta không thể vận dụng các định lí sin, định lí côsin để giải tam giác;
Ta không thể giải tam giác khi biết độ dài ba cạnh của tam giác đó.
Đáp án đúng là: A
Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó.
Ta sử dụng các định lí sin, định lí côsin để giải tam giác. Ta có thể giải tam giác khi biết độ dài ba cạnh của tam giác đó dựa vào định lí côsin.
Cho tam giác \(MNP\) có \(MN = 4\,\,{\rm{cm}}\), \(MP = 5\,\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {MPN} = 45^\circ \). Làm tròn đến độ ta được số đo \(\widehat {MNP}\) bằng
\(62^\circ \);
\(63^\circ \);
\(64^\circ \);
\(65^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(MNP\)
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\,\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MPN}}} = \frac{{MP}}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{5}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \sin \widehat {MNP} = \frac{{5 \cdot \sin 45^\circ }}{4} = \frac{{5\sqrt 2 }}{8}\).
Mà \(0^\circ < \widehat {MNP} < 180^\circ \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 62^\circ \).
Cho vectơ \(\overrightarrow {AB} \) khác vectơ – không, biết \(A\) và \(B\) nằm trên đường thẳng \(d\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu là \(A\) và không có điểm cuối;
\(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là \(B\);
\(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu là \(B\) và điểm cuối là \(A\);
\(\overrightarrow {AB} \) có giá là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d\).
Đáp án đúng là: B
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) khác vectơ – không, có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là \(B\) và giá là đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\,\,B\)chính là đường thẳng \(d\). Vậy đáp án B đúng.
Cho đoạn thẳng \(AB\) có trung điểm \(I\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BI} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {IB} \) ngược hướng;
\(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {BI} \) không cùng phương.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A\), \(I\), \(B\) cùng thuộc đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng phương.
Và chúng cùng hướng từ trái sang phải.
Do đó, \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng.
Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt. Ta có: \(\overrightarrow {AC} = ?\)
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc ba điểm cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt. Ta có:
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \).
Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \) (Áp dụng quy tắc hình bình hành).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = 4\,\,{\rm{cm}}\), \(BC = 7\,\,{\rm{cm}}\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} \).
\(\sqrt {65} \,\,{\rm{cm}}\);
\(8\,\,{\rm{cm}}\);
\(\sqrt {66} \,\,{\rm{cm}}\);
\(7\,\,{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} } \right) - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CA} \).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {4^2} + {7^2} = 65 \Rightarrow AC = \sqrt {65} \) (cm)
Vậy \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = AC = \sqrt {65} \,\,{\rm{cm}}\).
Cho ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\), biết \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\);
\(C\) không thuộc đường thẳng \(AB\);
\(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\);
\(C\) ở giữa \(A\) và \(B\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và \(AB = BC\).
Do đó, \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng và \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
Cho vectơ \(\overrightarrow u \) khác vectơ – không. Tích của \(\overrightarrow u \) với số thực \(k > 0\) có thể nhận kết quả là
Một vectơ \(\overrightarrow v \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \);
Một vectơ \(\overrightarrow v \) ngược hướng với \(\overrightarrow u \);
Một đoạn thẳng có độ dài bằng \(k\) lần độ dài của \(\overrightarrow u \);
Một số thực bằng \(k\) lần độ dài của \(\overrightarrow u \).
Đáp án đúng là: A
Tích của \(\overrightarrow u \) với số thực \(k > 0\) là một vectơ \(\overrightarrow v \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \) và có độ dài bằng \(k\) lần độ dài của \(\overrightarrow u \).
Cho hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\), điểm \(M\) là trung điểm của \(OC\), ta có: \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AO} = ?\)
\(\overrightarrow {MC} \);
\(\overrightarrow {CM} \);
\(\overrightarrow {OC} \);
\(\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: A
Xét hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\), ta có:
\(M\) là trung điểm của \(OC\) nên \(MC = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}AO\).
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {MC} \) cùng hướng.
Vậy \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {MC} \).
Cho đoạn thẳng \(AB\) có điểm \(M\) sao cho \(AM = \frac{1}{5}AB\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} \);
\(\overrightarrow {AB} = \frac{4}{5}\overrightarrow {AM} \);
\(\overrightarrow {AM} = 4\overrightarrow {BM} \);
\(\overrightarrow {BA} = - 5\overrightarrow {AM} \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A\), \(B\), \(M\) thẳng hàng và\(BA = 5AM\).
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {AM} \) ngược hướng.
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} = - 5\overrightarrow {AM} \).
Cho tam giác \(ABC\) và hai điểm \(M\), \(N\) lần lượt nằm trên hai cạnh \(AB\) và \(AC\) sao cho \(BM = \frac{1}{4}AB\) và \(AN = \frac{3}{4}AC\). Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \) ta được
\( - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
\(\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
\( - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
\(\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) có:
\(BM = \frac{1}{4}AB \Rightarrow AM = \frac{3}{4}AB \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \)
\(AN = \frac{3}{4}AC \Rightarrow \,\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \)
Vậy \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác vectơ – không, tích \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0\), nhận xét nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow u \,\,{\rm{//}}\,\,\overrightarrow v \);
u→⊥v→
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng hướng;
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) ngược hướng.
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác vectơ – không, ta có: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow v \).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(C\) cạnh \(AC = 5\,\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {ACB} = 45^\circ \). Tính \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = ?\)
\(\frac{{25\sqrt 2 }}{2}\);
\( - \frac{{25\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\);
\(25\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) cân tại \(C\) cạnh \(AC = 5\,\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {ACB} = 45^\circ \).
Do đó,\(BC = AC = 5\,\,\,{\rm{cm}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 5\,\,{\rm{cm}}\).
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {ACB} = 45^\circ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 5 \cdot 5 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{25\sqrt 2 }}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2\sqrt 3 \) và \(AB = 2\), \(AC = 3\). Làm tròn đến độ ta được số đo của \(\widehat {BAC}\) là
\(55^\circ \);
\(54^\circ \);
\(56^\circ \);
\(57^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\widehat {BAC} = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 2\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow 2 \cdot 3 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 2\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \approx 55^\circ \Leftrightarrow \widehat {BAC} \approx 55^\circ \).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Trong một cuộc thi làm bánh, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20 kg bột mì, 2 kg bột nở, 5 kg kem béo. Để làm một cái bánh cỡ bé cần 0,4 kg bột mì, 0,05 kg bột nở và 0,1 kg kem béo; để làm một cái bánh cỡ trung bình 0,6 kg bột mì, 0,075 kg bột nở và 0,15 kg kem béo. Mỗi cái bánh cỡ bé được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh cỡ lớn được 7 điểm thưởng. Hỏi cần phải làm mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất?
Gọi số bánh cỡ bé làm được là \(x\) (cái), số bánh cỡ lớn làm được là \(y\) (cái) (\(x,y \in {\mathbb{N}^*}\))
Khi đó, số điểm thưởng là: \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\).
Số kg bột mì cần dùng là: \(0,4x + 0,6y\) (kg).
Số kg bột nở cần dùng là: \(0,05x + 0,075y\) (kg).
Số kg kem béo cần dùng là: \(0,1x + 0,15y\) (kg).
Vì trong cuộc thi này chỉ được sử dụng tối đa 20 kg bột mì, 2 kg bột nở và 5 kg kem béo nên ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0,4x + 0,6y \le 20\\0,05x + 0,075y \le 2\\0,1x + 0,15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(F\left( {x;y} \right)\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tam giác \(OAB\) (kể cả biên).
Hàm số \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\) sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ một trong các đỉnh \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {40;0} \right)\), \(B\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right)\).
Mà \(F\left( {0;0} \right) = 0\), \(F\left( {40;0} \right) = 200\), \(F\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right) = \frac{{560}}{3}\).
Suy ra \(F\left( {x;y} \right)\) lớn nhất khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {40;0} \right)\).
Do đó, cần phải làm 40 cái bánh cỡ bé để nhận được số điểm thưởng là lớn nhất.
(1 điểm) Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) dài 15 km, từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) dài 9 km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằng \(86^\circ \). Tính khoảng cách từ vị trí \(B\) đến vị trí \(C\) (h.57). (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Xét tam giác \(ABC\)
Áp dụng định lí côsin ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {ABC} = {15^2} + {9^2} - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \cos 86^\circ \approx 287,17\)
\( \Rightarrow BC \approx 16,95\) (m)
Vậy khoảng cách từ vị trí \(B\) đến vị trí \(C\) là khoảng 16,95 m.
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(AD\) là đường phân giác trong góc \(A\). Tính \({\overrightarrow {AD} ^2}\) theo \(a\), \(b\), \(c\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
Suy ra \({\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)
Ta lại có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = bc \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = bc \cdot \frac{{\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\)
\( \Rightarrow A{M^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\)
Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\).
Suy ra \(\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{b}{c}\overrightarrow {DC} \) (*)
Mặt khác \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \) thay vào (*) ta được
\(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2}\)
\( \Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{(b + c)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\).
Vậy \({\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{(b + c)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\).
