Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{Z},x\,\, \vdots \,\,5\)” được diễn tả bằng lời là
Tồn tại một số nguyên \(x\) để \(x\) chia hết cho 5;
Mọi số nguyên \(x\) chia hết cho 5;
Tồn tại một số nguyên \(x\) để \(x\) không chia hết cho 5;
Mọi số nguyên \(x\) không chia hết cho 5.
Đáp án đúng là: A
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{Z},x\,\, \vdots \,\,5\)” được diễn tả bằng lời như sau:
Tồn tại một số nguyên \(x\) để \(x\) chia hết cho 5.
Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân vì tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\);
Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân do đó tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\); ;
Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân thì tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\);
Tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\) khi và chỉ khi tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân.
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là: “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân thì tứ giác \(ABCD\) có \(AC = BD\)”.
Cho định lí: “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ” để phát biểu lại định lí. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau;
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau;
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau;
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng bằng nhau.
Đáp án đúng là: B
Định lí: “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” được phát biểu lại bằng một trong các cách sau:
+ “Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau”.
+ “Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau”.
1;
2;
– 1;
0.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Do đó, \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} - 2x + 1 = 0} \right\} = \left\{ 1 \right\}\).
Vậy \(1 \in A\).
\(\left( { - 1;6} \right)\)
\(\left( {45;69} \right)\);
\(\left( {23;34} \right)\);
\(\left( {1;50} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|5 < x < 50} \right\} = \left( {5;\,50} \right)\).
Mà \(\left( {23;34} \right) \subset \left( {5;50} \right)\).
Vậy \(\left( {23;34} \right) \subset B\).
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là
\(\mathbb{N}\);
\({\mathbb{N}^*}\);
\(\mathbb{Z}\);
\(\mathbb{Q}\).
Đáp án đúng là: D
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là \(\mathbb{Q}\).
Khẳng định nào sau đây là sai ?
\(\mathbb{N} = {\mathbb{N}^*}\);
\({\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N}\);
\(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\);
\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\mathbb{N}^*} = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,...} \right\}\); \(\mathbb{N} = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,...} \right\}\).
Vậy \({\mathbb{N}^*} \ne \mathbb{N}\) và \({\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N}\), do đó khẳng định A sai, khẳng định B đúng.
Tương tự, ta có \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\), nên khẳng định C và D đúng.
\(\left[ {3;5} \right]\);
\(\left( {3;5} \right)\);
\(\left[ {1;3} \right]\);
\(\left[ {1;58} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A = \left[ {3;58} \right)\), \(B = \left[ {1;5} \right]\).
\( \Rightarrow A \cup B = \left[ {1;58} \right)\).
\(x - y \ge 8\);
\(3x + 7y < 0\);
\(4x > - 3\);
\(x - y + z < 1\).
Đáp án đúng là: D
Bất phương trình \(x - y + z < 1\) có ba ẩn \(x,\,\,y,\,\,z\) nên nó không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(\left( {3;\,2} \right)\);
\(\left( {1;\,\,11} \right)\);
\(\left( { - 1; - 14} \right)\);
\(\left( { - 2; - 20} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = 1\) và \(y = 11\) vào biểu thức \(10x - y\) ta có:
\(10 \cdot 1 - 11 = - 1 < 0\).
Vậy cặp số \(\left( {1;\,\,11} \right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(10x - y \ge 0\).
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (không kể bờ);
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (có kể bờ);
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (có kể bờ);
Nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\)(không kể bờ).
Đáp án đúng là: C
Xét điểm \(\left( {0;0} \right)\) có \(3 \cdot 0 - 0 = 0 < 1\). Do đó, điểm \(\left( {0;0} \right)\) không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - y \ge 1\).
Vậy miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(3x - y \ge 1\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(3x - y = 1\) không chứa điểm \(\left( {0;0} \right)\) (có kể bờ).
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} > 4\\2x + y < 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2y \le z\\x + y < 9\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^5} - y > 0\\x + {y^5} < 6\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 > 4\\2x + y + 2 < 19\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 > 4\\2x + y + 2 < 19\end{array} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(\left( {1;2} \right)\);
\(\left( {4;5} \right)\);
\(\left( {10;30} \right)\);
\(\left( { - 5;10} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}5 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot 10 = - 45 \le 0\\ - 5 + 10 = 5 < 10\end{array} \right.\).
Vậy cặp số \(\left( { - 5;10} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.\).
\(\frac{{AB}}{{AC}}\);
\(\frac{{AB}}{{BC}}\);
\(\frac{{AC}}{{BC}}\);
\(\frac{{AC}}{{AB}}\).
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\cos \alpha = \cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}}\).
\[\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right)\];
\[\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)\];
\[\tan \left( { - \alpha } \right)\];
\[1 - \cot \left( \alpha \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\tan \alpha = \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right)\] (hai góc phụ nhau).
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\[\sqrt 3 \];
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).
Mà \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \) nên \(\cos \alpha \ge 0\), do đó, \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 \).
\(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \varphi }}\);
\({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha \);
\({b^2} = {c^2} + {b^2} - 2ac \cdot \cos \beta \);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc \cdot \cos \alpha \).
Đáp án đúng là: A
Theo định lí sin trong tam giác ta có: \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \varphi }}\), do đó đáp án A đúng.
Theo định lí côsin trong tam giác ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha \\{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos \beta \\{c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos \varphi \end{array} \right.\), do đó các đáp án B, C, D đều sai.
\(S = \frac{1}{2}a{h_a}\);
\(S = \frac{1}{2}b{h_a}\);
\(S = \frac{1}{2}ab.\sin \varphi \);
\[S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}ab.\sin \varphi = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).
Vậy \(S = \frac{1}{2}b{h_a}\) là sai.
\(45^\circ \);
\(62^\circ \);
\(63^\circ \);
\(48^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(MNP\)
Áp dụng định lí côsin ta có: \(M{N^2} = P{N^2} + M{P^2} - 2PN \cdot MP \cdot \cos \widehat {MPN}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {MPN} = \frac{{P{N^2} + M{P^2} - M{N^2}}}{{2PN \cdot MP}} = \frac{{{5^2} + {9^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 9}} = \frac{7}{{15}}\).
Vì \(0^\circ < \widehat {MPN} < 180^\circ \) nên \(\widehat {MPN} \approx 62^\circ \).
6 cm;
9 cm;
8 cm;
7 cm.
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) có \(BC = 9\,\,{\rm{cm}} \Rightarrow BA = BC = 9\,{\rm{cm}}\).
Áp dụng định lí côsin ta có:
\(A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} - 2BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {9^2} + {9^2} - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \cos 38^\circ \approx 34\).
Vì \(AC > 0\) nên \(AC \approx \sqrt {34} \approx 6\,\,{\rm{cm}}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó;
Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi chưa biết yếu tố nào của tam giác đó;
Ta không thể vận dụng các định lí sin, định lí côsin để giải tam giác;
Ta không thể giải tam giác khi biết độ dài ba cạnh của tam giác đó.
Đáp án đúng là: A
Giải tam giác là đi tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó.
Ta sử dụng các định lí sin, định lí côsin để giải tam giác. Ta có thể giải tam giác khi biết độ dài ba cạnh của tam giác đó dựa vào định lí côsin.
\(62^\circ \);
\(63^\circ \);
\(64^\circ \);
\(65^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(MNP\)
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\,\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MPN}}} = \frac{{MP}}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{5}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \sin \widehat {MNP} = \frac{{5 \cdot \sin 45^\circ }}{4} = \frac{{5\sqrt 2 }}{8}\).
Mà \(0^\circ < \widehat {MNP} < 180^\circ \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 62^\circ \).
\(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu là \(A\) và không có điểm cuối;
\(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là \(B\);
\(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu là \(B\) và điểm cuối là \(A\);
\(\overrightarrow {AB} \) có giá là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d\).
Đáp án đúng là: B
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) khác vectơ – không, có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là \(B\) và giá là đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\,\,B\)chính là đường thẳng \(d\). Vậy đáp án B đúng.
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BI} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng;
\(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {IB} \) ngược hướng;
\(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {BI} \) không cùng phương.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A\), \(I\), \(B\) cùng thuộc đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng phương.
Và chúng cùng hướng từ trái sang phải.
Do đó, \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng.
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc ba điểm cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt. Ta có:
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \).
Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \);
\(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \) (Áp dụng quy tắc hình bình hành).
\(\sqrt {65} \,\,{\rm{cm}}\);
\(8\,\,{\rm{cm}}\);
\(\sqrt {66} \,\,{\rm{cm}}\);
\(7\,\,{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} } \right) - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CA} \).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {4^2} + {7^2} = 65 \Rightarrow AC = \sqrt {65} \) (cm)
Vậy \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = AC = \sqrt {65} \,\,{\rm{cm}}\).
\(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\);
\(C\) không thuộc đường thẳng \(AB\);
\(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\);
\(C\) ở giữa \(A\) và \(B\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và \(AB = BC\).
Do đó, \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng và \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
Một vectơ \(\overrightarrow v \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \);
Một vectơ \(\overrightarrow v \) ngược hướng với \(\overrightarrow u \);
Một đoạn thẳng có độ dài bằng \(k\) lần độ dài của \(\overrightarrow u \);
Một số thực bằng \(k\) lần độ dài của \(\overrightarrow u \).
Đáp án đúng là: A
Tích của \(\overrightarrow u \) với số thực \(k > 0\) là một vectơ \(\overrightarrow v \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \) và có độ dài bằng \(k\) lần độ dài của \(\overrightarrow u \).
\(\overrightarrow {MC} \);
\(\overrightarrow {CM} \);
\(\overrightarrow {OC} \);
\(\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: A
Xét hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\), ta có:
\(M\) là trung điểm của \(OC\) nên \(MC = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}AO\).
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {MC} \) cùng hướng.
Vậy \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {MC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} \);
\(\overrightarrow {AB} = \frac{4}{5}\overrightarrow {AM} \);
\(\overrightarrow {AM} = 4\overrightarrow {BM} \);
\(\overrightarrow {BA} = - 5\overrightarrow {AM} \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A\), \(B\), \(M\) thẳng hàng và\(BA = 5AM\).
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {AM} \) ngược hướng.
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} = - 5\overrightarrow {AM} \).
\( - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
\(\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
\( - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
\(\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) có:
\(BM = \frac{1}{4}AB \Rightarrow AM = \frac{3}{4}AB \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \)
\(AN = \frac{3}{4}AC \Rightarrow \,\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \)
Vậy \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow u \,\,{\rm{//}}\,\,\overrightarrow v \);
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng hướng;
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) ngược hướng.
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác vectơ – không, ta có: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow v \).
\(\frac{{25\sqrt 2 }}{2}\);
\( - \frac{{25\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\);
\(25\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác \(ABC\) cân tại \(C\) cạnh \(AC = 5\,\,{\rm{cm}}\), \(\widehat {ACB} = 45^\circ \).
Do đó,\(BC = AC = 5\,\,\,{\rm{cm}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 5\,\,{\rm{cm}}\).
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {ACB} = 45^\circ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 5 \cdot 5 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{25\sqrt 2 }}{2}\).
\(55^\circ \);
\(54^\circ \);
\(56^\circ \);
\(57^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\widehat {BAC} = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 2\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow 2 \cdot 3 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 2\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \approx 55^\circ \Leftrightarrow \widehat {BAC} \approx 55^\circ \).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Trong một cuộc thi làm bánh, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20 kg bột mì, 2 kg bột nở, 5 kg kem béo. Để làm một cái bánh cỡ bé cần 0,4 kg bột mì, 0,05 kg bột nở và 0,1 kg kem béo; để làm một cái bánh cỡ trung bình 0,6 kg bột mì, 0,075 kg bột nở và 0,15 kg kem béo. Mỗi cái bánh cỡ bé được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh cỡ lớn được 7 điểm thưởng. Hỏi cần phải làm mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất?
Gọi số bánh cỡ bé làm được là \(x\) (cái), số bánh cỡ lớn làm được là \(y\) (cái) (\(x,y \in {\mathbb{N}^*}\))
Khi đó, số điểm thưởng là: \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\).
Số kg bột mì cần dùng là: \(0,4x + 0,6y\) (kg).
Số kg bột nở cần dùng là: \(0,05x + 0,075y\) (kg).
Số kg kem béo cần dùng là: \(0,1x + 0,15y\) (kg).
Vì trong cuộc thi này chỉ được sử dụng tối đa 20 kg bột mì, 2 kg bột nở và 5 kg kem béo nên ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0,4x + 0,6y \le 20\\0,05x + 0,075y \le 2\\0,1x + 0,15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (*)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(F\left( {x;y} \right)\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tam giác \(OAB\) (kể cả biên).
Hàm số \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y\) sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ một trong các đỉnh \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {40;0} \right)\), \(B\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right)\).
Mà \(F\left( {0;0} \right) = 0\), \(F\left( {40;0} \right) = 200\), \(F\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right) = \frac{{560}}{3}\).
Suy ra \(F\left( {x;y} \right)\) lớn nhất khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {40;0} \right)\).
Do đó, cần phải làm 40 cái bánh cỡ bé để nhận được số điểm thưởng là lớn nhất.
(1 điểm) Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) dài 15 km, từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) dài 9 km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằng \(86^\circ \). Tính khoảng cách từ vị trí \(B\) đến vị trí \(C\) (h.57). (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Xét tam giác \(ABC\)
Áp dụng định lí côsin ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {ABC} = {15^2} + {9^2} - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \cos 86^\circ \approx 287,17\)
\( \Rightarrow BC \approx 16,95\) (m)
Vậy khoảng cách từ vị trí \(B\) đến vị trí \(C\) là khoảng 16,95 m.
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(AD\) là đường phân giác trong góc \(A\). Tính \({\overrightarrow {AD} ^2}\) theo \(a\), \(b\), \(c\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
Suy ra \({\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)
Ta lại có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = bc \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = bc \cdot \frac{{\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\)
\( \Rightarrow A{M^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\)
Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\).
Suy ra \(\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{b}{c}\overrightarrow {DC} \) (*)
Mặt khác \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \) thay vào (*) ta được
\(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2}\)
\( \Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{(b + c)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\).
Vậy \({\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{(b + c)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)\).
