Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Câu nào dưới đây là một mệnh đề?
“Tháng 8 dương lịch có 31 ngày.”;
“Số 2 022 có chia hết cho 20 không?”;
“Vườn hoa này đẹp quá!”;
“Cảnh báo đường trơn, hãy lái xe cẩn thận!”.
Đáp án đúng là: A
Câu “Tháng 8 dương lịch có 31 ngày.” là một khẳng định đúng nên nó là mệnh đề.
“”;
“”;
“”;
“”.
Đáp án đúng là: B
Giả sử hai số thực là \(a\) và \(b\), ta có \(a,\,b \in \mathbb{R}\), hơn nữa hai số này khác nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử \(a < b\). Khi đó, mệnh đề đã cho được viết là:
“\(\forall a,\,b \in \mathbb{R},\,\,a < b,\,\,\exists r \in \mathbb{Q}:a < r < b\)”.
Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai đường trung tuyến bằng nhau và một góc bằng \(60^\circ \);
Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương hai cạnh còn lại;
Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông;
Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.
Đáp án đúng là: D
Xét mệnh đề A, mệnh đề này đúng vì khi hai đường trung tuyến tròn một tam giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân, có thêm yếu tố một góc bằng \(60^\circ \) nên tam giác đó là tam giác đều. Ngược lại hiển nhiên tam giác đều suy ra được hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng \(60^\circ \).
Xét mệnh đề B, mệnh đề này đúng theo định lí Pythagore.
Xét mệnh đề C, mệnh đề này đúng theo định nghĩa và dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.
Xét mệnh đề D, mệnh đề này sai vì khi hai tam giác đồng dạng thì ba cặp góc tương ứng của hai tam giác đó bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau, nên điều kiện để hai tam giác bằng nhau phải có thêm cặp cạnh bằng nhau.
\(A = \left\{ { - 8;\,\,2} \right\}\);
\(A = \left( { - 8;\,\,2} \right)\);
\(A = \left[ { - 8;\,\,2} \right]\);
\(A = \left[ { - 8;\,\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 8 \le x < 2} \right\} = \left[ { - 8;\,\,2} \right)\).
\(X = Y\);
\(Y = Z\);
\[Y \subset Z\];
\(X \subset Y\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(Y = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x\,\, \vdots \,\,10,\,x < 50} \right\} = \left\{ {0;\,\,10;\,\,20;\,\,30;\,\,40} \right\}\).
Do đó, \(X \ne Y \ne Z\), \(X \subset Y\). Vậy đáp án D đúng.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{N}\);
\(\mathbb{Q} \cup \mathbb{R} = \mathbb{R}\);
\(\mathbb{Q} \cap {\mathbb{N}^*} = {\mathbb{N}^*}\);
\(\mathbb{Q} \cup {\mathbb{N}^*} = {\mathbb{N}^*}\).
Đáp án đúng là: D
D sai do \(\mathbb{Q} \supset {\mathbb{N}^*} \Rightarrow \mathbb{Q} \cup {\mathbb{N}^*} = \mathbb{Q}\).
\(\sqrt 5 \in \mathbb{Q}\);
\(\sqrt 5 \notin \mathbb{Q}\);
\(\sqrt 5 \in \mathbb{N}\);
\(\sqrt 5 \not\subset \mathbb{Q}\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\sqrt 5 \) không phải là số hữu tỉ nên \(\sqrt 5 \) không thuộc tập hợp các số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\), do đó ta viết \(\sqrt 5 \notin \mathbb{Q}\).
\(\left[ { - 2;\,\, + \infty } \right)\);
\(\left( {0;\,\,3} \right]\);
\(\left[ {0;\,\,3} \right]\);
\(\left( {0;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(A \cap B = \left[ { - 2;\,\,3} \right] \cap \left( {0;\,\, + \infty } \right) = \left( {0;\,\,3} \right]\).
\({x^2} + 3{y^2} \ge 9\);
\({3^3}x + {4^2}y > 25\);
\(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} < 5\);
\( - xy + {3^2}y < 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({3^3}x + {4^2}y > 25 \Leftrightarrow 27x + 16y > 25\), đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(5x + 3y > 1\);
\(4x - 7y < 10\);
\(7x + y \ge 2\);
\(x - 9y \le 7\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(5 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 2} \right) = - 1 < 1\), nên đáp án A không thỏa mãn.
\(4 \cdot 1 - 7 \cdot \left( { - 2} \right) = 18 > 10\), nên đáp án B không thỏa mãn.
\(7 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) = 5 > 2\), nên \(\left( {1;\,\, - 2} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình \(7x + y \ge 2\), chọn đáp án C.
\(1 - 9 \cdot \left( { - 2} \right) = 18 > 7\), nên đáp án D không thỏa mãn.
nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \(d\));
nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \(d\));
mửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (không kể bờ \(d\));
nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (không kể bờ \(d\)).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(0 + 5 \cdot 0 = 0 < 2\), do đó miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x + 5y > 2\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:x + 5y = 2\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (không kể bờ \(d\)).
Hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 5{y^2} \ge 1\\ - x + y < 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x{y^2} < 1\\x + 2y > - 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{y} > 1\\\frac{2}{x} + y > 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\{5^2}x + 7y > 2\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\{5^2}x + 7y > 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\25x + 7y > 2\end{array} \right.\), đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì các bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(\left( {2;\, - 3} \right)\);
\(\left( {4;\,\,1} \right)\);
\(\left( { - 2;\,\, - 2} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,5} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \( - 1 - 5 = - 6 < 2;\,\,2 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 = 3 < 8;\,\, - \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 5 = 16 > 6\).
Vậy cặp số \(\left( { - 1;\,\,5} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 2\\2x + y < 8\\ - x + 3y \ge 6\end{array} \right.\).
\(\alpha \) và \(\beta \) bù nhau;
\(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau;
\(\alpha \) và \(\beta \) bằng nhau;
\(\alpha \) và \(\beta \) không có mối liên hệ.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\tan \alpha = \cot \beta \) khi \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau.
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\);
\(\frac{2}{3}\);
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\);
\(\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), suy ra \(\sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Mà \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) nên \(\sin \alpha \ge 0\). Do đó, \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
0;
1;
\[\sqrt 3 \];
– 1.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(H = \sin 90^\circ + \cos 18^\circ + \sin 32^\circ + \cos 162^\circ - \sin 148^\circ \)
\( = \sin 90^\circ + \cos 18^\circ + \sin 32^\circ + \left( { - \cos \left( {180^\circ - 162^\circ } \right)} \right) - \sin \left( {180^\circ - 148^\circ } \right)\)
\( = \sin 90^\circ + \cos 18^\circ + \sin 32^\circ - \cos 18^\circ - \sin 32^\circ \)
\( = \sin 90^\circ = 1\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2}\);
\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca \cdot \cos B\);
\({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos C\).
Đáp án đúng là: B
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\)
\({b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca \cdot \cos B\)
\({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos C\)
Do đó, đáp án A, C, D đúng.
Đáp án B sai vì đẳng thức \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) chỉ xảy ra khi tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
\[S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \];
\[S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\];
\[S = ac\sin B\];
\[S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \].
Đáp án đúng là: D
Ta có công thức Heron: \[S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \], do đó đáp án D đúng.
2;
4;
12;
20.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\cos A = - \cos \left( {B + C} \right) = - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (hai góc bù nhau).
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {2^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4\).
Suy ra \(BC = 2\).
\(5\sqrt 3 \);
\(5\sqrt 6 \);
\(10\sqrt 3 \);
\(10\sqrt 6 \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\cos A = - \cos \left( {B + C} \right) = - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (hai góc bù nhau).
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {2^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4\).
Suy ra \(BC = 2\).
tìm độ dài các cạnh còn lại của tam giác khi biết số đo các góc;
tìm số đo các góc còn lại của tam giác khi biết độ dài các cạnh;
tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó;
tính diện tích tam giác bằng các cách khác nhau.
Đáp án đúng là: C
Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.
6;
12;
\(12\sqrt 3 \);
24.
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R\].
Suy ra \(AB = 2R\sin C = 2 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ = 12\).
chúng có cùng hướng và cùng độ dài;
chúng có hướng ngược nhau và cùng độ dài;
chúng có cùng độ dài;
chúng có cùng phương và cùng độ dài.
Đáp án đúng là: A
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.
2;
3;
4;
6.
Đáp án đúng là: B
Có 3 vectơ khác vectơ-không, ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow {OA} \), có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác đều, đó là: \(\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {FE} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} \).
Đáp án đúng là: A
Xét từng đáp án, ta có:
+) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DB} \), do đó đáp án A đúng.
+) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DA} \), sai do \(A,\,\,D\) phân biệt, do đó đáp án B sai.
+) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CA} \), sai do \(A,\,\,C\) phân biệt, do đó đáp án C sai.
+)\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CA} \), sai do \(A,\,\,C\) phân biệt, do đó đáp án D sai.
Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\). Tìm khẳng định sai?
\(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BO} \);
\(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BO} \);
\(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {DC} \).
Đáp án đúng là: B
Xét từng đáp án, ta có:
+) Đáp án A đúng vì \(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
+) Đáp án B sai vì \(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BO} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BO} - \overrightarrow {AO} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BA} \) (vô lí).
+) Đáp án C đúng vì \(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BO} \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BO} - \overrightarrow {AO} \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \).
+) Đáp án D đúng vì \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
\(3\sqrt {10} \);
\(12\);
\(10\sqrt 3 \);
\(15\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do \(ABCD\) nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\), từ định lí Pythagore ta suy ra
\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{9^2} + {3^2}} = 3\sqrt {10} \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = 3\sqrt {10} \).
\(M\) là đỉnh thức tư của hình bình hành \(CABM\);
\(M\) là đỉnh thức tư của hình bình hành \(CBAM\);
\(M\) trùng \(B\);
\(M\) trùng \(C\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CM} \).
Vì \(A,\,\,B,\,C\) là ba đỉnh của tam giác nên chúng không thẳng hàng.
Do đó, \(M\) là đỉnh thức tư của hình bình hành \(CBAM\).
\(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OA} \);
\(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OB} \);
\(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {OB} \);
\(\overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng là: B
Vì \(O\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AB = 2OB\), hơn nữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OB} \).
\(\overrightarrow {BC} = - 4\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) ngược hướng và \(AB = 3AC\), do đó 3 điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng và điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(B\) và \(C\) như hình sau:
Khi đó, hai vectơ \(\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) cùng hướng nên đáp án A và B sai.
Mà \(BC = 4AC\) nên \(\overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {AC} \), do đó đáp án C sai và đáp án D đúng.
\( - 3\);
\(\frac{3}{2}\);
\(\frac{{ - 3}}{2}\);
3.
Đáp án đúng là: D
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM\) là trung tuyến.
Lại có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(AM = 3GM\).
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {GM} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \).
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AM} = \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: A
Vì điểm \[M\] thuộc cạnh \(BC\) và \[BM = 3MC\] nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).
Khi đó, \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \].
Nếu \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) < 90^\circ \) thì \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b < 0\);
Nếu \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) > 90^\circ \) thì \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b > 0\);
Nếu \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) < 90^\circ \) thì \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b > 0\);
Nếu \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) \ne 90^\circ \) thì \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b < 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) < 90^\circ \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) > 0\).
Do đó, \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) > 0\).
\(8{a^2}\);
\(a\);
\(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\);
\({a^2}\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: A
Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \(A\), suy ra \(AB = AC,\,\,\widehat B = \widehat C = 45^\circ \).
Đặt \(AB = AC = x > 0\). Theo định lí Pythagore, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\).
Hay \({x^2} + {x^2} = {\left( {4a} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} = 8{a^2} \Rightarrow x = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AC = 2a\sqrt 2 \).
Ta có: \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \)\( = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos C = CA \cdot CB \cdot \cos 45^\circ = 2a\sqrt 2 \cdot 4a \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 8{a^2}\).
\(45^\circ \);
\[135^\circ \];
\(50^\circ \);
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Trên tia đối của tia \(CD\), lấy điểm \(O\) sao cho \(CD = CO\), khi đó \(CO{\rm{//}} = AB\).
Do đó, \(\overrightarrow {CO} = \overrightarrow {AB} \).
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \left( {\overrightarrow {CO} ,\,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {ACO} = \widehat {ACB} + \widehat {BCO} = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ \).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio trên hai dây chuyền độc lập. Radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày. Để sản xuất một chiếc radio kiểu một cần 12 linh kiện, để sản xuất một chiếc radio kiểu hai cần 9 linh kiện. Tiền lãi khi bán một chiếc radio kiểu một là 250 000 đồng, lãi thu được khi bán một chiếc radio kiểu hai là 180 000 đồng. Hỏi cần sản xuất như thế nào để tiền lãi thu được là nhiều nhất, biết rằng số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 ?
Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số radio kiểu một và kiểu hai sản xuất được trong một ngày. \(\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\)
Vì radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày nên \(x \le 45,\,\,y \le 80\).
Sản xuất \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai cần số linh kiện là \(12x + 9y\).
Mà số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 nên \(12x + 9y \le 900\) hay tương đương với \(4x + 3y \le 300\).
Tiền lãi thu được khi bán \(x\) chiếc radio kiểu một và \(y\) chiếc radio kiểu hai là \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) (đồng).
Khi đó, bài toán đã cho trở thành: Tìm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\)để \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) lớn nhất.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) lên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ta được:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.\) là miền ngũ giác \(OABCD\) (kể cả biên) với \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\,80} \right),\,\,B\left( {15;\,\,80} \right),\,\,C\left( {45;\,\,40} \right),\,\,D\left( {45;\,\,0} \right)\).
Người ta chứng minh được \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác \(OABCD\).
Ta có: \(T\left( {0;\,\,0} \right) = 0\);
\(T\left( {0;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 0 + 180\,\,000 \cdot 80 = 14\,\,400\,\,000\);
\(T\left( {15;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 15 + 180\,\,000 \cdot 80 = 18\,\,150\,\,000\);
\(T\left( {45;\,\,40} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 40 = 18\,\,450\,\,000\);
\(T\left( {45;\,\,0} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 0 = 11\,\,250\,\,000\).
Do đó, \(T = 250\,\,000x + 180\,\,000y\) đạt giá trị lớn nhất tại \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {45;\,\,40} \right)\).
Vậy cần sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai thì lãi thu được trong một ngày là lớn nhất.
(1 điểm) Một chiếc thuyền chạy trên đường thẳng được 3 km thì rẽ \(45^\circ \) và đi tiếp thêm 6 km nữa (như hình vẽ). Khi đó chiếc thuyền cách điểm xuất phát của nó bao xa? (làm tròn đáp án đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy)
Giả sử các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là điểm thuyền xuất phát, điểm rẽ \(45^\circ \) và điểm chiếc thuyền cách điểm rẽ 6 km. Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ dưới đây.
Khi đó ta có: \(AB = 3\) km, \(BC = 6\) km, \(\widehat {ABC} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {3^2} + {6^2} - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos 135^\circ \approx 70,46\).
Suy ra \(AC \approx 8,39\) km.
Vậy chiếc thuyền lúc này cách điểm xuất phát khoảng 8,39 km.
(1 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\) có \[A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}\]. Chứng minh rằng hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.
Ta có: \[A{B^2} + C{D^2} = B{C^2} + A{D^2}\]
\( \Leftrightarrow A{B^2} + C{D^2} - B{C^2} - A{D^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {A{B^2} - B{C^2}} \right) + \left( {C{D^2} - A{D^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {CD} }^2} - {{\overrightarrow {DA} }^2}} \right) = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) = 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} + \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {CA} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right)} \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {BD} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} } \right)\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow AC \bot BD\).
Vậy hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.
