Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3
76 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn
có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng \(1.\)
có tâm trùng với gốc tọa độ.
bán kính bằng \(1.\)
có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng \(2.\)
Đáp án đúng là: A
Theo SGK trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng \(1.\)
Trên đường tròn này chọn điểm \(A\left( {1;\,\,0} \right)\) làm gốc, chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ và chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ, cho góc lượng giác có tia đầu là \(OA\) và số đo là \(135^\circ .\) Hỏi tia cuối của góc lượng giác đã cho là tia nào trong bốn đáp án A, B, C, D bên dưới?
\(OQ.\)
\(OP.\)
\(OM.\)
\(ON.\)
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ ta thấy góc lượng giác \(\left( {OA,\,\,ON} \right) = 135^\circ .\)
Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác nào trong bốn đáp án A, B, C, D có điểm biểu diễn khác các góc còn lại.
\({\alpha _1} = 30^\circ .\)
\({\alpha _2} = 330^\circ .\)
\({\alpha _3} = 390^\circ .\)
\({\alpha _4} = - 330^\circ .\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\alpha _1} = 30^\circ ,\,\,{\alpha _3} = 390^\circ = 30^\circ + 360^\circ ,\,\,{\alpha _4} = - 330^\circ = 30^\circ - 360^\circ \)
Nên ba góc \({\alpha _1},\,\,\,{\alpha _3},\,\,\,{\alpha _4}\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Điểm cuối của góc lượng giác\(\alpha \)ở góc phần phần tư thứ mấy nếu \(\sin \alpha ;\,\,\tan \alpha \) trái dấu?
Thứ I.
Thứ II hoặc IV.
Thứ II hoặc III.
Thứ I hoặc IV.
Đáp án đúng là: C
Nếu \(\sin \alpha ;\,\,\tan \alpha \) trái dấu thì điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần phần tư thứ II hoặc III.
Để \(\tan x\) có nghĩa thì
\(x = \pm \frac{\pi }{2}\).
\(x = 0\).
\(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
\(x \ne k\pi \).
Đáp án đúng là: C
Để \(\tan x\) có nghĩa thì \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Cho \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc của một tam giác. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
\(\sin A = - \sin \left( {2A + B + C} \right)\).
\(\sin A = - \cos \frac{{3A + B + C}}{2}\).
\(\cos C = \sin \frac{{A + B + 3C}}{2}\).
\(\sin C = \sin \left( {A + B + 2C} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba góc của một tam giác nên \(A + B + B = 180^\circ \Leftrightarrow A + B = 180^\circ - C\).
Ta có \(\sin \left( {A + B + 2C} \right) = \sin \left( {180^\circ - C + 2C} \right) = \sin \left( {180^\circ + C} \right) = - \sin C\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\).
\(2\cos a\cos b = \cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Khẳng định B sai vì \[\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\,.\,\cos b + \sin a\,.\,\sin b\].
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).
\(\cos 2a = 2\cos a - 1\).
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b.\cos a\).
Đáp án đúng là: B
Khẳng định B sai vì \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\).
Cho \(\alpha ,\,\,\beta \) là hai góc nhọn thỏa mãn \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\), \(\tan \beta = \frac{3}{4}\). Góc \(\alpha + \,\beta \) có giá trị bằng
\(\frac{\pi }{6}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{\pi }{3}\).
\[\frac{\pi }{2}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1\)
\( \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Mà \(\alpha ,{\rm{ }}\beta \) là hai góc nhọn nên \(\alpha + \beta = \frac{\pi }{4}\).
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số \(y = {\rm{sin}}x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = {\rm{cos}}x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = {\rm{tan}}x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = {\rm{cot}}x\) là hàm số chẵn.
Đáp án đúng là: B
Ta có tập xác định của hàm số y = cosx là \(\mathbb{R}\).
Nếu với \(x \in \mathbb{R}\) thì \( - x \in \mathbb{R}\) và \(y\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}x = y\left( x \right)\).
Vậy hàm số \({\rm{y}} = {\rm{cos}}x\) là hàm số chẵn.
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x - 1}}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Cho hàm số \[y = {\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x\] liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho. Giá trị của \(M + 2m\) bằng
\(2\)
\(5\).
\(4\).
\(3\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y = {\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + {\cos ^2}x = 1 + {\cos ^2}x\)
Do \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 0 \le {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow 1 \le 1 + {\cos ^2}x \le 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 2\\m = 1\end{array} \right..\)
Suy ra \(M + 2m = 2 + 2.1 = 4\)
Trong các phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình \({x^2} - 1 = 0\) là
\(x - 1 = 0\).
\(2{x^2} = 2\).
\({x^2} - 2 = 0\).
\({x^2} + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
\(2{x^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên tương đương nhau.
Tất cả nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) là
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\[x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\].
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{{5\pi }}{6}\) nên tất cả nghiệm của phương trình là \(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Tất cả nghiệm của phương trình \(\tan x = \sqrt 3 \) là
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(\tan x = \sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{3}\) nên tất cả nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tất cả nghiệm của phương trình \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{8}\) là
\(x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{8} + k2\pi \) và \(x = - \frac{{3\pi }}{8} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\) và \(x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
\(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{8} \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{8} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)với \(k \in \mathbb{Z}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{ - \,n}}{{n + 1}}\). Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào?
\[ - \frac{1}{2};\,\, - \frac{2}{3};\,\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}\].
\[ - \frac{2}{3};\,\, - \frac{3}{4};\,\, - \frac{4}{5}; - \frac{5}{6}; - \frac{6}{7}\].
\[\frac{1}{2};\,\frac{2}{3};\,\,\frac{3}{4};\,\,\frac{4}{5};\,\,\frac{5}{6}\].
\[\frac{2}{3};\,\,\frac{3}{4};\,\,\frac{4}{5};\,\,\frac{5}{6};\,\,\frac{6}{7}\].
Đáp án đúng là: A
Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:
\[{u_1} = - \frac{1}{2};\,\,{u_2} = - \frac{2}{3};\,\,{u_3} = - \frac{3}{4};\,\,{u_4} = - \frac{4}{5};\,\,{u_5} = - \frac{5}{6}\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \[{u_n} = 2\,.\,{3^n}\] với \(n \in \mathbb{N}*\). Công thức truy hồi của dãy số đó là
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\{u_n} = 6{u_{n - 1}},\,\,n > 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\{u_n} = 3{u_{n - 1}},\,\,n > 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_n} = 3{u_{n - 1}},\,\,n > 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_n} = 6{u_{n - 1}},\,\,n > 1\end{array} \right.\].
Đáp án đúng là: B
Vì \[{u_1} = 2\,.\,{3^1} = 6\] nên ta loại các đáp án C và D.
Ta có \[{u_2} = 2\,.\,{3^2} = 18\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {{u_n} + 1} \right)\end{array} \right.\]. Tìm số hạng \({u_4}\).
\({u_4} = \frac{5}{9}\).
\({u_4} = 1\).
\({u_4} = \frac{2}{3}\).
\({u_4} = \frac{{14}}{{27}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1;\,\,{u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \frac{2}{3};\]
\[{u_4} = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}\].
Vậy \({u_4} = \frac{5}{9}\).
Cho cấp số cộng có \({u_1} = - \frac{1}{2};\,\,d = \frac{1}{2}\) thì dạng khai triển của cấp số cộng này là
\[ - \frac{1}{2};\,\,0;\,\,1;\,\,\frac{1}{2};\,\,1;\,...\].
\[ - \frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{2};\,...\].
\[\frac{1}{2};\,\,1;\,\,\frac{3}{2};\,\,2\,;\,\,\frac{5}{2};\,...\].
\[ - \frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{2};\,\,1;\,\,\frac{3}{2};\,...\].
Đáp án đúng là: D
Cấp số cộng có \({u_1} = - \frac{1}{2};\,\,d = \frac{1}{2}\) thì dạng khai triển của cấp số cộng này là\[ - \frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{2};\,\,1;\,\,\frac{3}{2};\,...\].
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = - 1;\,\,{u_{n + 1}} = 8\). Công sai của cấp số cộng đó là
\(d = - 9\).
\(d = 7\).
\(d = - 7\).
\(d = 9\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(d = \,{u_{n + 1}} - {u_n} = 8 - \left( { - 1} \right) = 9\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_2} = 2001\) và \({u_5} = 1995\). Khi đó \({u_{1001}}\) bằng
\({u_{1001}} = 4005\).
\({u_{1001}} = 4003\).
\({u_{1001}} = 3\).
\({u_{1001}} = 1\).
Đáp án đúng là: C
Ta có 2001=u2=u1+d1995=u5=u1+4d⇔u1=2003d=−2
Do đó \({u_{1001}} = {u_1} + 1000d = 3\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15\\{u_1} + {u_6} = 27\end{array} \right.\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = - 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 18\\d = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = 4\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
u1−u3+u5=15u1+u6=27⇔u1−u1+2d+u1+4d=15u1+u1+5d=27
⇔u1+2d=152u1+5d=27⇔u1=21d=−3
Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 1,\,\,n \ge 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = - 3{u_n},\,\,n \ge 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3,\,\,n \ge 1\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_n} = \sin \left( {\frac{\pi }{{n - 1}}} \right),\,\,n \ge 1\end{array} \right.\].
Đáp án đúng là: B
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \({u_{n + 1}} = q{u_n}\).
Vậy dãy số \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = - 3{u_n},\,\,n \ge 1\end{array} \right.\]là cấp số nhân.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \[{u_n} \ne 0,\,\,n \in \mathbb{N}*\]. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
\[{u_1};\,\,{u_3};\,\,{u_5};...\].
\[3{u_1};\,\,3{u_2};\,\,3{u_3};...\].
\[\frac{1}{{{u_1}}};\,\,\frac{1}{{{u_2}}};\,\,\frac{1}{{{u_3}}};...\].
\[{u_1} + 2;\,\,{u_2} + 2;\,\,{u_3} + 2;...\].
Đáp án đúng là: D
Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân công bội \(q\) thì
• Dãy \[{u_1};\,\,{u_3};\,\,{u_5};...\] là cấp số nhân công bội \({q^2}\).
• Dãy \[3{u_1};\,\,3{u_2};\,\,3{u_3};...\] là cấp số nhân công bội \(3q\).
• Dãy \[\frac{1}{{{u_1}}};\,\,\frac{1}{{{u_2}}};\,\,\frac{1}{{{u_3}}};...\] là cấp số nhân công bội \(\frac{1}{q}\).
• Dãy \[{u_1} + 2;\,\,{u_2} + 2;\,\,{u_3} + 2;...\] không phải là cấp số nhân.
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là \(x - 6;\,\,x\) và \(y\). Tìm \(y\), biết rằng công bội của cấp số nhân là 6.
\(y = 216\).
\(y = \frac{{324}}{5}\).
\(y = \frac{{1296}}{5}\).
\(y = 12\).
Đáp án đúng là: C
Cấp số nhân là \(x - 6;\,\,x\) và \(y\) có công bội là \[q = 6\] nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = x - 6,\,\,q = 6\\x = {u_2} = 6\left( {x - 6} \right)\\x = {u_3} = {u_2}{q^2} = 36x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{36}}{5}\\y = 36\,.\,\frac{{36}}{5} = \frac{{1296}}{5}\end{array} \right.\].
Cho cấp số nhân có số hạng lần lượt là \(1;\,\,4;\,\,16;\,\,64;\,\,...\) Gọi \({S_n}\) là tổng của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\({S_n} = {4^{n - 1}}\).
\({S_n} = \frac{{n\left( {1 + {4^{n - 1}}} \right)}}{2}\).
\[{S_n} = \frac{{{4^n} - 1}}{3}\].
\({S_n} = \frac{{4\left( {{4^n} - 1} \right)}}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Cấp số nhân đã cho có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 4\end{array} \right.\).
Do đó \[{S_n} = {u_1}\,.\,\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1\,.\,\frac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} = \frac{{{4^n} - 1}}{3}\].
Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
6.
4.
3.
1.
Đáp án đúng là: B
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa \(C_4^3 = 4\) (mặt phẳng).
Cho 3 đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) không cùng một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ba đường thẳng trên đồng quy.
Ba đường thẳng trên trùng nhau.
Ba đường thẳng trên chứa ba cạnh của một tam giác.
Các khẳng định ở A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
Khẳng định B sai. Nếu ba đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Khẳng định C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác, khi đó sẽ tạo ra được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành một mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Thiết diện của một tứ diện có thể là
tam giác.
tứ giác.
ngũ giác.
tam giác hoặc tứ giác.
Đáp án đúng là: D
• \(S\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \((SMN)\) và \((SAC)\).
Gọi \(O = AC \cap BD\) là tâm của hình bình hành.
Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(T = AC \cap MN\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\\O \in MN \subset (SMN) \Rightarrow O \in (SMN)\end{array} \right.\)
Do đó \(O\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \((SMN)\) và \((SAC).\)
Vậy \((SMN) \cap (SAC) = SO.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\,\,(AB\,{\rm{//}}\,CD)\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Hình chóp \(S.ABCD\) có 4 mặt bên.
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) là \(SO\,\,(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD).\)
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) là \(SI\,\,(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC).\)
Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) là đường trung bình của \(ABCD\).
Đáp án đúng là: D
•Hình chóp \(S.ABCD\) có 4 mặt bên: \((SAB),\,\,(SBC),\,\,(SCD),\,\,(SAD).\) Do đó A đúng.
• \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).
\[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\\O \in BD \subset (SBD) \Rightarrow O \in (SBD)\end{array} \right.\]
Khi đó, \(O\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD).\)
Suy ra \((SAC) \cap (SBD) = SO\). Do đó B đúng.
• Tương tự, ta có \((SAD) \cap (SBC) = SI\). Do đó C đúng.
• \((SAB) \cap (SAD) = SA\) mà \(SA\) không phải là đường trung bình của hình thang \(ABCD.\) Do đó D sai.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau hoặc trùng nhau.
Cho ba mặt phẳng phân biệt \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right),\,\,\left( \gamma \right)\) có \(\left( \alpha \right) \cap \,\left( \beta \right) = {d_1};\)\(\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2};\)\(\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}.\) Khi đó ba đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\)
đôi một cắt nhau.
đôi một song song.
đồng quy.
đôi một song song hoặc đồng quy.
Đáp án đúng là: D
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì giao tuyến ấy đôi một song song hoặc đồng quy.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I\) và \(J\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD\) và \(AC,\,\,G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((GIJ)\) và \((BCD)\) là đường thẳng
qua \(I\) và song song với \(AB\).
qua \(J\) và song song với \(BD\).
qua \(G\) và song song với \(CD\).
qua \(G\) và song song với \(BC\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(GIJ) \cap (BCD) = G\\IJ \subset (GIJ),\,\,CD \subset (BCD)\\IJ\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right.\)
Do đó \((GIJ) \cap (BCD) = Gx\,{\rm{//}}\,IJ\,{\rm{//}}\,CD\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I\) là trung điểm \(SA\). Thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \((IBC)\) là
tam giác \(IBC\).
hình thang \(IBCJ\,\,(J\) là trung điểm của \(SD\)).
hình thang \(IGBC\,\,(G\) là trung điểm của \(SB\)).
tứ giác \(IBCD\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(IBC) \cap (SAD) = I\\BC \subset (IBC),\,\,AD \subset (SAD)\\BC\,{\rm{//}}\,AD\end{array} \right.\)
Suy ra \((IBC) \cap (SAD) = Ix\,{\rm{//}}\,BC{\rm{//}}\,AD\).
Trong mặt phẳng \((SAD)\) có \(Ix\,{\rm{//}}\,AD\), gọi \(Ix \cap SD = J\) nên \(IJ\,{\rm{//}}\,BC\).
Vậy thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \((IBC)\) là hình thang \(IBCJ\).
II. Tự luận (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ \(t\) của năm 2017 được cho bởi một hàm số \(y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] + 10\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365.\) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Vì \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] \le 1\) nên \(y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] + 10 \le 14.\)
Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất thì \(y = 14 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}(t - 60)} \right] = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}(t - 60) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 149 + 356k\)
Khi đó \( - \frac{{149}}{{356}} < k \le \frac{{54}}{{98}}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0\).
Với \(k = 0\) thì \(t = 149\) rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì năm 2017 không phải là năm nhuận).
(1,0 điểm) Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là \(80\,\,000\) đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm \(5\,\,000\) đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống \[50\,\,m\] mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
Giá tiền khoan mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 80\,\,000;\,\,d = 5\,\,000\).
Do cần khoan \[50\,\,m\] nên tổng số tiền cần trả là:
\[{u_1} + {u_2} + ... + {u_{50}} = 50{u_1} + \frac{{50\,.\,49}}{2}d = 50\,.\,\,80\,\,000 + \frac{{50\,.\,49}}{2}\,.\,\,5\,\,000 = 10\,\,125\,\,000\] (đồng).
Vậy phải trả \[10\,\,125\,\,000\] đồng để khoan cái giếng đó.
(1,0 điểm)Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SO\). Mặt phẳng \((ICD)\) cắt \(SA,\,\,SB\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\)
a) Nêu cách xác định hai điểm \(M\) và \(N\). Cho \(AB = a\). Tính \(MN\) theo \(a.\)
b) Trong mặt phẳng \((CDMN)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\). Chứng minh \[SK\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD\].
a) Trong mặt phẳng \((SAC)\), gọi \(M\) là giao điểm của \(CI\) và \(SA,\,\,CI \subset (ICD)\) nên \(M \in (ICD)\).
Trong mặt phẳng \((SBD)\), gọi \(N\) là giao điểm của \(DI\) và \(SB,\,\,DI \subset (ICD)\) nên \(N \in (ICD)\).
Ta có \((KCD) \cap (SAB) = MN\).
Mà \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,CD\).
Theo định lí Menelaus, trong tam giác \(SOA\), ta có: \[\frac{{SM}}{{MA}}\,.\,\frac{{AC}}{{CO}}\,.\,\frac{{OI}}{{IS}} = 1\].
Hay \[\frac{{SM}}{{MA}}\,.\,2\,.\,1 = 1\] suy ra \[\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}\] nên \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3}\].
Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,AB\) nên \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{MN}}{{AB}}\].
Vậy \(MN = \frac{1}{3}a\).
b) \(K \in CN;\,\,CN \subset (SBC)\) nên \(K \in (SBC)\).
\(K \in DM;\,\,DM \subset (SAD)\) nên \(K \in (SAD)\).
Ta có \(S\) và \(K\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) nên \(SK\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).
Mà \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên \[SK\,{\rm{//}}\,BC\,{\rm{//}}\,AD\].
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Mệnh đề là
một câu cảm thán;
một khẳng định luôn đúng;
một câu nghi vấn hoặc câu cầu khiến;
một khẳng định chỉ có thể đúng hoặc sai.
Đáp án đúng là: D
Mệnh đề là một khẳng định chỉ có thể đúng hoặc sai.
Cách phát biểu nào sau đây không dùng để phát biểu định lí toán học dưới dạng \(P \Rightarrow Q\)?
Nếu \(P\) thì \(Q\);
\(P\) kéo theo \(Q\);
\(P\) là điều kiện cần để có \(Q\);
\(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\).
Đáp án đúng là: C
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là “Nếu \(P\) thì \(Q\)” hoặc “\(P\) kéo theo \(Q\)”, khi mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là định lí, ta còn nói “\(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\)”. Do đó, đáp án C sai.
Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 > 0\)” là mệnh đề
“\(\forall x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 = 0\)”;
“\(\forall x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 \le 0\)”;
“\(\exists x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 < 0\)”;
“\(\exists x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 \le 0\)”.
Đáp án đúng là: D
Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 > 0\)” là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 \le 0\)”.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - \frac{3}{2}} \right) = 0} \right\}\). Viết tập hợp \(A\) dưới dạng liệt kê các phần tử của tập hợp ta được
\(A = \left\{ {1;\,\,\frac{3}{2}} \right\}\);
\(A = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\,\frac{3}{2}} \right\}\);
\(A = \left\{ { - 1;\,\,1} \right\}\);
\(A = \left\{ { - 1;\,\frac{3}{2}} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - \frac{3}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - \frac{3}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên ta chọn \(x = - 1,\,\,x = 1\). Vậy \(A = \left\{ { - 1;\,\,1} \right\}\).
Cho tập \(Y = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Số tập con của \(Y\) là 16;
Số tập con của \(Y\) có 2 phần tử là 3;
Số tập con của \(Y\) chứa số 1 là 6;
Số tập con của \(Y\) chứa 3 phần tử là 0.
Đáp án đúng là: B
Tập hợp \(Y\) có 3 phần tử nên \(Y\)có \({2^3} = 8\) tập con, do đó đáp án A sai.
Các tập con của \(Y\) có 2 phần tử là \(\left\{ {1;\,\,2} \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {2;\,\,3} \right\}\). Do đó, có 3 tập con có 2 phần tử của \(Y\), nên đáp án B đúng.
Các tập con của \(Y\) chứa số 1 là \(\left\{ 1 \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2} \right\},\,\left\{ {1;\,3} \right\},\,\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\). Do đó, có 4 tập con của \(Y\) chứa số 1 nên đáp án C sai.
Các tập con của \(Y\) chứa 3 phần tử là \(Y = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\). Do đó, có 1 tập con của \(Y\) chứa 3 phần tử nên đáp án D sai.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{N}\);
\(\mathbb{Q} \cup \mathbb{R} = \mathbb{R}\);
\(\mathbb{Q} \cap {\mathbb{N}^*} = {\mathbb{N}^*}\);
\(\mathbb{Q} \cup {\mathbb{N}^*} = {\mathbb{N}^*}\).
Đáp án đúng là: D
D sai do \(\mathbb{Q} \supset {\mathbb{N}^*} \Rightarrow \mathbb{Q} \cup {\mathbb{N}^*} = \mathbb{Q}\).
Ký hiệu nào sau đây để chỉ 3 là số tự nhiên ?
\(3 \in \mathbb{N}\);
\(3 \notin \mathbb{N}\);
\(3 = \mathbb{N}\);
\(3 \subset \mathbb{N}\).
Đáp án đúng là: A
Kí hiệu \( \in \) dùng để so sánh giữa phần tử với tập hợp.
Ta có 3 là số tự nhiên nên \(3 \in \mathbb{N}\).
Cho hai tập hợp \(A = \left( {0;\,\,2} \right)\) và \(B = \left[ {1;\,\,4} \right)\). Tập hợp là
\(\left( { - \infty ;\,\,1} \right) \cup \left( {4;\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\,0} \right) \cup \left( {4;\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\,1} \right) \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\,0} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(A \cap B = \left( {0;\,\,2} \right) \cap \left[ {1;\,4} \right) = \left[ {1;\,\,2} \right)\).
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\( - x - 5{y^2} \ge 8\);
\({2^3}x - {3^2}y < 5\);
\(\frac{1}{x} - 2y < 0\);
\( - x + 3y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({2^3}x - {3^2}y < 5\)\( \Leftrightarrow 8x - 9y < 5\), đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số nào là một nghiệm của bất phương trình \( - 5x - y > 6\)?
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\);
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\,0} \right)\);
\(\left( {4;\,\, - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Xét cặp số \(\left( { - 3;\,\,0} \right)\) và bất phương trình \( - 5x - y > 6\), ta có: \(\left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 3} \right) - 0 = 15 > 6\).
Do đó, cặp số \(\left( { - 3;\,\,0} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình \( - 5x - y > 6\).
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(2x - 5y \ge 3\) là
nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:2x - 5y = 3\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \(d\));
nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:2x - 5y = 3\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \(d\));
mửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:2x - 5y = 3\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (không kể bờ \(d\));
nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:2x - 5y = 3\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (không kể bờ \(d\)).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 = 0 < 3\), do đó miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(2x - 5y \ge 3\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d:2x - 5y = 3\) không chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \(d\)).
Hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 5\\ - 3x + 5y < 9\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} < - 2\\8x + y > - 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + \frac{2}{y} > 2\\\frac{1}{x} + 3y > 6\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2y\left( {x + y} \right) < 1\\x + 7y > 0\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 5\\ - 3x + 5y < 9\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn do nó là hệ bao gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 4\\ - 3x + 2y \ge - 5\end{array} \right.\) là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình nào dưới đây?
;
;
;
.
Đáp án đúng là: B
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 4\\ - 3x + 2y \ge - 5\end{array} \right.\) .
+ Vẽ đường thẳng \({d_1}:2x + y = 4\). Ta có \(2 \cdot 0 + 0 = 0 < 4\), do đó miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \({d_1}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \({d_1}\)).
+ Vẽ đường thẳng \({d_2}: - 3x + 2y = - 5\). Ta có \( - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 > - 5\), do đó miền nghiệm của bất phương trình \( - 3x + 2y \ge - 5\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \({d_2}\) chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) (kể cả bờ \({d_2}\)).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 4\\ - 3x + 2y \ge - 5\end{array} \right.\) là giao của hai miềm nghiệm của hai bất phương trình \(2x + y \le 4\), \( - 3x + 2y \ge - 5\) và chính là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình ở đáp án B.
Cho góc nhọn alpha . Chọn khẳng định sai.
\[\sin \alpha > 0\];
\[\cos \alpha < 0\];
\[\tan \alpha > 0\];
\[\cot \alpha > 0\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\alpha \) là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của \(\alpha \) đều dương nên khẳng định ở đáp án B sai.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) và \(\cos \alpha < 0\). Số đo của góc \(\alpha \) thuộc khoảng nào sau đây?
\(\left( {0^\circ ;\,\,45^\circ } \right)\);
\(\left( {45^\circ ;\,\,90^\circ } \right)\);
\(\left( {45^\circ ;\,\,135^\circ } \right)\);
\(\left( {90^\circ ;\,180^\circ } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Từ điều kiện \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) và \(\cos \alpha < 0\) ta xác định được vị trí của điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat {xOM} = \alpha \) trên nửa đường tròn đơn vị. Khi đó ta suy ra \(\alpha \in \left( {90^\circ ;\,\,180^\circ } \right)\).
Giá trị của biểu thức \(K = \sin 135^\circ \cdot \cos 60^\circ + \sin 60^\circ \cdot \cos 150^\circ \) là
\[\frac{{3 + \sqrt 2 }}{4}\];
\[\frac{{3 - \sqrt 2 }}{4}\];
\[\frac{{ - 3 + \sqrt 2 }}{4}\];
\[\frac{{ - 3 - \sqrt 2 }}{4}\].
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\sin 135^\circ = \sin \left( {180^\circ - 135^\circ } \right) = \sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\(\cos 150^\circ = - \cos \left( {180^\circ - 150^\circ } \right) = - \cos 30^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Khi đó \(K = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{ - 3 + \sqrt 2 }}{4}\).
Cho tam giác \(ABC\) với \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c\); \(R\), \(r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác; \(S\) là diện tích tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(S = \frac{{abc}}{{4r}}\);
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc \cdot \cos A\);
\(R = \frac{a}{{\sin A}}\);
\(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).
Đáp án đúng là: D
Công thức tính diện tích tam giác: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{{abc}}{{4R}}\), do đó đáp án A sai và đáp án D đúng.
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\) ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A\) nên đáp án B sai.
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\), do đó đáp án C sai.
Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,\,AC = 7,\,\,\widehat A = 135^\circ \) bằng
\[\frac{{7\sqrt 2 }}{2}\];
\[7\sqrt 2 \];
\[\frac{{7\sqrt 2 }}{4}\];
\[\frac{{ - 7\sqrt 2 }}{2}\].
Đáp án đúng là: A
Diện tích tam giác \(ABC\) là\(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \sin 135^\circ = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 150^\circ ,\,\,BC = 24\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng
24;
12;
48;
8.
Đáp án đúng là: A
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\).
Suy ra \(R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{24}}{{2\sin 150^\circ }} = 24\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 8,\,\,AC = 14,\,\,\widehat C = 120^\circ \). Độ dài cạnh \(AB\) là
\(3\sqrt {92} \);
\(2\sqrt {93} \);
\(2\sqrt {37} \);
\(3\sqrt {27} \).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC \cdot AC \cdot \cos C = {8^2} + {14^2} - 2 \cdot 8 \cdot 14 \cdot \cos 120^\circ = 372 \Rightarrow AB = 2\sqrt {93} \).
Giải tam giác là
tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó;
tìm độ dài các cạnh của tam giác;
tìm số đo ba góc của tam giác;
tính diện tích tam giác bằng các cách khác nhau.
Đáp án đúng là: A
Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 16;\,\,\widehat B = 56^\circ ,\,\widehat C = 70^\circ \). Độ dài cạnh \(AC\) xấp xỉ bằng
16,4;
16,3;
16,2;
1\(6\),1.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\widehat A = 180^\circ - \left( {56^\circ + 70^\circ } \right) = 54^\circ \).
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).
Suy ra \(AC = \frac{{BC\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{16 \cdot \sin 56^\circ }}{{\sin 54^\circ }} \approx 16,4\).
Chọn khẳng định đúng.
Hai vectơ cùng hướng thì có giá song song;
Hai vectơ cùng phương thì có giá song song;
Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương;
Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ cùng phương thì có giá song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi vectơ?
Diện tích;
Thể tích;
Giá tiền;
Lực.
Đáp án đúng là: D
Đại lượng lực là đại lượng có hướng bao gồm cả độ lớn và hướng nên lực cần được biểu diễn bởi vectơ.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \), do đó đáp án A và đáp án B đúng.
Lại có: \(AB\,{\rm{//}} = DC\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)Vậy đáp án D đúng.
Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {EO} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {EB} - \overrightarrow {OC} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow 0 \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \).
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 3a,\,\,AD = a\). Khi đó, \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right|\) bằng
\(a\sqrt {10} \);
\(4a\);
\(3a\);
\(5a\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Do \(ABCD\) nên tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\), từ định lí Pythagore ta suy ra
\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt {10} \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = a\sqrt {10} \).
Cho điểm \(A\) cố định và vectơ \(\overrightarrow v \) khác vectơ-không. Có bao nhiêu điểm \(M\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\)?
0;
1;
2;
Vô số.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow AM = \left| {\overrightarrow v } \right|\).
Khi đó điểm \(M\) thuộc đường tròn tâm \(A\), bán kính \(R = \left| {\overrightarrow v } \right|\), do đó có vô số điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho vectơ \(\overrightarrow a \) khác \(\overrightarrow 0 \) và một số thực \(k \ne 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn cùng phương;
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn cùng hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) có độ dài bằng nhau;
Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn ngược hướng.
Đáp án đúng là: A
Với vectơ \(\overrightarrow a \) khác \(\overrightarrow 0 \) và một số thực \(k \ne 0\), ta có hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a \) luôn cùng phương với nhau.
Cho hình thang \(MNPQ\) có \(MN\,{\rm{//}}\,PQ,\,MN = 2PQ\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {PQ} \);
\(\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ} \);
\(\overrightarrow {MQ} = - 2\overrightarrow {NP} \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(MN\,\,{\rm{//}}\,\,PQ\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PQ} \) cùng phương.
Lại có vectơ \(\overrightarrow {MN} \) có hướng đi từ trái sang phải, còn vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) có hướng đi từ phải sang trái. Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PQ} \) ngược hướng. Mà \(MN = 2PQ\).
Vậy \(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ} \).
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ dưới?
\(\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \);
\(\overrightarrow {MN} = 6\overrightarrow {MP} \);
\(\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {PM} \).
Đáp án đúng là: B
Từ hình vẽ ta thấy đoạn thẳng \(MN\) được chia thành 6 phần bằng nhau và điểm \(P\) thuộc đoạn \(MN\) và \(MP\) chiếm 2 phần hay \(MP = \frac{2}{6}MN = \frac{1}{3}MN\) và \(NP = \frac{4}{6}MN = \frac{2}{3}MN\), \(MP = \frac{2}{4}NP = \frac{1}{2}NP\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {NP} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NP} \).
Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {PM} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {PM} \).
Vậy đáp án B đúng.
Cho tam giác \[ABC\] và điểm \[I\] thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]. Biểu diễn \[\overrightarrow {IC} \] theo các vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {AC} \] ta được
\(\overrightarrow {IC} = - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \].
Vậy \[\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \].
Cho tam giác \[ABC\]. Giá trị của biểu thức \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) bằng
\(AB \cdot AC \cdot \cos A\);
\( - AB \cdot AC \cdot \cos A\);
\(AB \cdot AC \cdot \cos B\);
\(AB \cdot AC \cdot \cos C\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) = AB \cdot AC \cdot \cos A\).
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \(A\) có \(\widehat A = 120^\circ \) và \(AB = a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {CA} \) bằng
\(\frac{{{a^2}}}{2}\);
\( - \frac{{{a^2}}}{2}\);
\(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\);
\( - \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Vì tam giác \[ABC\] cân tại \(A\) nên \(AC = AB = a\).
Ta có: \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {CA} = \left( { - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \)\( = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) = AB \cdot AC \cdot \cos A\,\)
\( = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = - \frac{{{a^2}}}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(\widehat B = 50^\circ \). Hệ thức nào sau đây là sai?
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = 130^\circ \);
\[\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = 40^\circ \];
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = 50^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = 120^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có \(\widehat B = 50^\circ \) nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \).
Dựng vectơ \(\overrightarrow {AD} \) sao cho \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} = \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ \), do đó đáp án A đúng.
Dựng vectơ \(\overrightarrow {BM} \) sao cho \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AC} \).
Ta có: \[\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BM} } \right) = \widehat {CBM} = \widehat {ACB} = 40^\circ \], do đó đáp án B đúng.
Dựng vectơ \(\overrightarrow {AQ} \) sao cho \(\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {CB} \).
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AQ} } \right) = \widehat {QAB} = \widehat {ABC} = 50^\circ \), do đó đáp án C đúng.
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AQ} } \right) = \widehat {QAC} = \widehat {QAB} + \widehat {BAC} = 50^\circ + 90^\circ = 140^\circ \), do đó đáp án D sai.
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24gam hương liệu, 9 lít nước và 210gam đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30gam đường, 1 lít nước và 1gam hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10gam đường, 1 lít nước và 4gam hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?
Gọi \(x\), \(y\) là số lít nước cam và táo mà mỗi đội cần pha chế \(\left( {x;y \in \mathbb{N}} \right)\).
Lượng hương liệu dùng để pha chế \(x\)lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \[x + 4y\](gam).
Lượng nước dùng để pha chế \(x\)lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \[x + y\](lít).
Lượng đường dùng để pha chế \(x\)lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \[30x + 10y\](gam).
Theo đề ra ta có hệ bất phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}x + 4y \le 24\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x,y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4y \le 24\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x,y \ge 0\end{array} \right.\].
Số điểm thưởng nhận được là \(T(x;y) = 60x + 80y\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền ngũ giác \(ABCDO\)(kễ cả biên), với \(A\left( {0;\,\,6} \right)\), \(B\left( {4;\,\,5} \right)\), \(C\left( {6;\,\,3} \right)\), \(D\left( {7;\,\,0} \right)\), \(O\left( {0;\,\,0} \right)\).
Tại điểm \(A\left( {0;\,\,6} \right)\), ta có \(T(0;\,\,6) = 60 \cdot 0 + 80 \cdot 6 = 480\).
Tại điểm \(B\left( {4;\,\,5} \right)\), ta có \(T(4;\,5) = 60 \cdot 4 + 80 \cdot 5 = 640\).
Tại điểm \(C\left( {6;\,\,3} \right)\), ta có \(T(6;\,\,3) = 60 \cdot 6 + 80 \cdot 3 = 600\).
Tại điểm \(D\left( {7;\,\,0} \right)\), ta có \(T(7;\,\,0) = 60 \cdot 7 + 80 \cdot 0 = 420\).
Tại điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), ta có \(T(0;\,\,0) = 60 \cdot 0 + 80 \cdot 0 = 0\).
Do đó \(T\left( {x;y} \right)\) lớn nhất bằng \(640\)khi \(x = 4;y = 5\).
Vậy cần phải pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo thì số điểm thưởng cao nhất.
(1 điểm) Từ hai vị trí \(A\) và \(B\) của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh \(C\) của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70\) m, phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \(30^\circ \), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \(15^\circ 30'\). Tính chiều cao của ngọn núi (làm tròn đến hàng đơn vị).
Giả sử chiều cao của ngọn núi là \(CH\).
Ta có: \(\widehat {BAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \), \(\widehat {CBA} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 90^\circ + 15,5^\circ = 105,5^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {60^\circ + 105,5^\circ } \right) = 14,5^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {CBA}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\).
Suy ra \(AC = \frac{{AB \cdot \sin \widehat {CBA}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{70 \cdot \sin 105,5^\circ }}{{\sin 14,5^\circ }} \approx 269,41\).
Tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\) nên \(CH = AC \cdot \sin \widehat {CAH} \approx 269,41 \cdot \sin 30^\circ \approx 135\) (m).
Vậy chiều cao của ngọn núi xấp xỉ bằng 135 mét.
(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AC\), \(M\) là trung điểm của \(HD\). Chứng minh \[AM \bot BD\].
![(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AC\), \(M\) là trung điểm của \(HD\). Chứng minh \[AM \bot BD\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/21-1763347393.png)
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} } \right)\); \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} \).
Vậy \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HD} } \right)\).
Mà \(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BH} = 0;\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HD} = 0\).
Nên \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HD} \cdot \overrightarrow {HC} } \right)\] (vì \[\overrightarrow {BH} = \overrightarrow {HC} \])
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\).
Vậy \[AM \bot BD.\]
