Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
“Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.”;
“Số 100 là một hợp số.”;
“Số 2 022 có chia hết cho 4 không?”;
“Phương trình bậc nhất luông có nghiệm.”.
Đáp án đúng là: C
Câu “Số 2 022 có chia hết cho 4 không?” là câu hỏi, không xác định tính đúng sai nên không phải là mệnh đề.
Bình phương của một số tự nhiên bằng 10;
Bình phương của một số \(x\) bằng 10;
Chỉ có một số tự nhiên mà bình phương của nó bằng 10;
Có ít nhất một số tự nhiên mà bình phương của nó bằng 10.
Đáp án đúng là: D
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},\,{x^2} = 10\)” khẳng định rằng: “Có ít nhất một số tự nhiên mà bình phương của nó bằng 10”.
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) không có nghiệm”;
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) có nghiệm”;
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 < 1\) vô nghiệm”;
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 < 1\) có nghiệm”.
Đáp án đúng là: B
Phủ định của mệnh đề “Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) vô nghiệm” là mệnh đề “Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) có nghiệm”.
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,2 \le x \le 5} \right\}\);
\(A = \left\{ {2;\,\,5} \right\}\);
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,2 < x < 5} \right\}\);
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,2 < x < 5} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(x\) là số thực lớn hơn 2 và nhỏ hơn 5, khi đó \(x\) thỏa mãn \(x \in \mathbb{R},\,\,2 < x < 5\).
Vậy \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,2 < x < 5} \right\}\).
\({B_1} = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5;\,\,11} \right\}\);
\({B_2} = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,9} \right\}\);
\({B_3} = \left\{ {1;\,\,3;\,\,7;\,\,9} \right\}\);
\({B_1} = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5;\,\,10} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Trong các tập hợp ở đáp án, ta thấy chỉ có tập hợp \({B_3}\) thỏa mãn mọi phần tử của nó đều là phần tử của tập \(B\) nên tập hợp \({B_3}\) là tập con của \(B\).
Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\mathbb{N}\) là tập hợp các số tự nhiên;
\(\mathbb{Z}\) là tập hợp các số nguyên;
\(\mathbb{Q}\) là tập hợp các số vô tỉ;
\(\mathbb{R}\) là tập hợp các số thực.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\mathbb{N}\) là tập hợp các số tự nhiên; \(\mathbb{Z}\) là tập hợp các số nguyên; \(\mathbb{Q}\) là tập hợp các số hữu tỉ; \(\mathbb{R}\) là tập hợp các số thực.
\(\mathbb{N} \in \mathbb{Z}\);
\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}\);
\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\);
\({\mathbb{N}^*} \in \mathbb{N}\).
Đáp án đúng là: C
Kí hiệu \( \in \) dùng để so sánh giữa phần tử với tập hợp nên đáp án A và D sai.
Tập hợp các số nguyên là tập con của tập hợp các số hữu tỉ nên đáp án B sai.
Tập hợp các số hữu tỉ là tập con của tập hợp các số thực nên đáp án C đúng.\(\left[ { - 2;\, + \infty } \right)\);
\(\left[ { - 2;\,\,0} \right)\);
\(\left[ {0;\,\,5} \right)\);
\(\left[ {5;\,\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(A \cup B = \left[ { - 2;\,\,5} \right) \cup \left[ {0;\, + \infty } \right) = \left[ { - 2;\, + \infty } \right)\).
\(2x - 4y \ge 7\);
\(5{x^3} - 4{y^3} < 2\);
\({x^2} - 2y < 0\);
\({x^2} + 3 > 0\).
Đáp án đúng là: A
Xét bất phương trình \(2x - 4y \ge 7\).
Bất phương trình có hai ẩn \(x,\,\,y\) có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số đều khác 0. Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(\left( {1;\,\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\, - 4} \right)\);
\(\left( {7;\,\,8} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\, - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Xét cặp số \(\left( {7;\,\,8} \right)\) và bất phương trình \(2x + 3y \ge 6\), ta có: \(2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 = 38 > 6\)
Do đó, cặp số \(\left( {7;\,\,8} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y \ge 6\).
\(x - 2y \ge 4\);
\(x - 2y > 4\);
\(x - 2y < 4\);
\(x - 2y \le 4\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {4;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0;\, - 2} \right)\) nên có phương trình là \(x - 2y = 4\).
Xét điểm gốc tọa độ \(O\) thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình trên, ta có:
\(0 - 2 \cdot 0 = 0 < 4\).
Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình bên (bao gồm cả đường thẳng \(d\)) là miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y \le 4\).
Trong các hệ bất phương trình sau, đâu là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 5 \ge 0\\x - {y^2} > 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 < 0\\x - 2y > 0\\x + 5y = 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 2\\3x - y < 0\\x - y > 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}7x - y < 1\\x + 6y > 0\\4x + 5y \le 0\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - y < 1\\x + 6y > 0\\4x + 5y \le 0\end{array} \right.\) ta có: \(7x - y < 1\), \(x + 6y > 0\), \(4x + 5y \le 0\) là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Do đó, hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - y < 1\\x + 6y > 0\\4x + 5y \le 0\end{array} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\[\left( {1;\,\,15} \right)\];
\[\left( {1;\,\,2} \right)\];
\[\left( {9;\,\,11} \right)\];
\[\left( {7;\,\,8} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Xét điểm \[\left( {1;\,\,2} \right)\] và hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 15 < 0\\x + y > 0\end{array} \right.\) ta có: \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 15 = - 7 < 0,\,\,1 + 2 = 3 > 0\).
Do đó, điểm \[\left( {1;\,\,2} \right)\] nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 15 < 0\\x + y > 0\end{array} \right.\).
\[0^\circ < \alpha \le 90^\circ \];
\[90^\circ < \alpha \le 180^\circ \];
\[0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \];
\[0^\circ \le \alpha < 90^\circ \].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\cos \alpha > 0\) khi \(0^\circ \le \alpha < 90^\circ \).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
\(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ \);
\(\sin 150^\circ = - \sin 30^\circ \);
\(\tan 150^\circ = \tan 30^\circ \);
\(\cot 150^\circ = \cot 30^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(150^\circ + 30^\circ = 180^\circ \) nên hai góc có số đo \(150^\circ \) và \(30^\circ \) là hai góc bù nhau.
Khi đó, \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ \), \(\tan 150^\circ = - \tan 30^\circ \), \(\cot 150^\circ = - \cot 30^\circ \).
\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\];
1;
\[\sqrt 2 \];
\[2\sqrt 2 \].
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{4}AB \cdot AC\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}BC \cdot AC\);
\( - \frac{1}{2}AB \cdot AC\);
\(\frac{1}{2}AB \cdot AC\).
Đáp án đúng là: A
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin 135^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}AB \cdot AC\).
\[\frac{a}{{\sin A}} = 2R\,\];
\[\sin A = \frac{a}{{2R}}\,\];
\[b\sin B = 2R\,\];
\[\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\,\].
Đáp án đúng là: C
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\].
Suy ra, \[\sin A = \frac{a}{{2R}}\,\], \[\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\,\]. Vậy công thức ở đáp án C sai.
7;
129;
49;
\(\sqrt {129} \).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2BC \cdot AB \cdot \cos B = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49 \Rightarrow AC = 7\).
\(45^\circ \);
\(120^\circ \);
\(60^\circ \);
\(30^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{3^2} + {6^2} - {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot 3 \cdot 6}} = \frac{1}{2}\). Do đó, \(\widehat A = 60^\circ \).
Độ dài 3 cạnh;
Độ dài 3 cạnh và 1 góc bất kỳ;
Số đo 3 góc;
Độ dài 2 cạnh và 2 góc bất kỳ.
Đáp án đúng là: C
Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2). Vậy đáp án C sai.
3;
\(\sqrt 3 \);
\(3\sqrt 3 \);
\(6\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos A = {6^2} + {3^2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 27 \Rightarrow BC = 3\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)
\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 3\).
\(AB\);
\(\overrightarrow {BA} \);
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\);
\(\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng là: D
Vectơ có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\) được kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {DA} \);
\(\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng là: A
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC\,\,{\rm{//}}\,\,AD\), do đó vectơ \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \), do đó đáp án A và đáp án B đúng.
Lại có: \(AB\,{\rm{//}} = DC\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), vậy đáp án D đúng.
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \);
\(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với 3 điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \), do đó đáp án C, D đúng, B sai.
Theo quy tắc hiệu, ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) nên đáp án A đúng.
8;
16;
\(8\sqrt 2 \);
\(2\sqrt 8 \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc hình bình hành đối với hình vuông \(ABCD\) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 8\sqrt 2 \).
\(M\) là điểm thứ tư của hình bình hành \(ACBM\);
\(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\);
\(M\) trùng \(C\);
\(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Do đó, \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} \).
Nên \(M\) trùng với \(G\) hay \(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
\(\overrightarrow a \ne k\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = k\);
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = k\).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (\(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \)) cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \).
\(9\overrightarrow c \);
\( - 8\overrightarrow c \);
\( - 7\overrightarrow c \);
\(\overrightarrow c \).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow c - 8\overrightarrow c = \left( {1 - 8} \right)\overrightarrow c = - 7\overrightarrow c \).
\(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BC} = - 3\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng là: C
Từ hình vẽ, ta có \[AB = \frac{1}{4}AC\], \(BC = \frac{3}{4}AC,\,\,BC = 3AB\).
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \[\overrightarrow {AB} \] cùng hướng nên \[\overrightarrow {AB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \], do đó đáp án A và B sai.
Hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \[\overrightarrow {AC} \] cùng hướng nên\(\overrightarrow {BC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \), do đó đáp án C đúng.
Hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \[\overrightarrow {AB} \] cùng hướng nên\(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {AB} \), do đó đáp án D sai.
\[\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {BD} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {BD} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \].
Đáp án đúng là: B
Sử dụng quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm của đoạn thẳng ta có:
\[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {ID} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {IA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]\[ = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \].
\(0^\circ \);
\(90^\circ \);
\(180^\circ \);
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: C
Nếu vectơ \(\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow b \) thì góc giữa hai vectơ bằng \(180^\circ \).
30;
60;
– 30;
– 60.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 10 \cdot 12 \cdot \cos 120^\circ = - 60\).
\(\alpha = 90^\circ \);
\(\alpha = 180^\circ \);
\(\alpha = 60^\circ \);
\(\alpha = 45^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0\).
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow a ^2} + \frac{2}{5}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3{\overrightarrow b ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - \frac{{13}}{5}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \alpha = - 1\)\( \Leftrightarrow \cos \alpha = - 1\)
Do đó, \(\alpha = 180^\circ \).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Một xí nghiệp có ba nhóm máy I, II, III dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm \(A\)và \(B\). Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:
Nhóm | Số máy trong mỗi nhóm | Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm | |
Loại \(A\) | Loại \(B\) | ||
I | 15 | 3 | 3 |
II | 4 | 0 | 2 |
III | 12 | 2 | 4 |
Một đơn vị sản phẩm loại \(A\) lãi 40 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại \(B\) lãi 50 nghìn đồng. Hỏi xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để có lãi cao nhất?
Gọi số sản phẩm loại \(A\) cần sản xuất là \(x\); số sản phẩm loại \(B\) cần sản xuất là \(y\)
(\(x,y \ge 0\)).
Số máy nhóm I cần sử dụng là: \(3x + 3y\).
Số máy nhóm II cần sử dụng là: \(2y\).
Số máy nhóm III cần sử dụng là: \(2x + 4y\).
Lãi suất thu được là: \(F(x;y) = 40x + 50y\) (nghìn đồng).
Bài toán trở thành:
Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{0 \le y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x + 2y \le 6}\end{array}} \right.\) sao cho \(F(x;y) = 40x + 50y\) lớn nhất.
Vẽ các đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2,\left( {{d_2}} \right):x + y = 5,\left( {{d_3}} \right):x + 2y = 6\). Ta có miền nghiệm của bất phương trình là miền ngũ giác \(EABCD\) với \(E\left( {0;\,0} \right),\,A\left( {0;\,2} \right)\), \(B\left( {2;\,2} \right)\), \(C\left( {4;\,\,1} \right)\), \(D\left( {5;\,0} \right)\).
Ta có \(F(0;\,\,0) = 0\), \(F(0;\,\,2) = 100\),\(F(2;\,\,2) = 180\),\(F(4;\,\,1) = 210\), \(F(5;\,\,0) = 200\).
Vì\(F(x;y) = 40x + 50y\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 4;y = 1\) nên phương án sản xuất 4 sản phẩm loại \(A\) và 1 sản phẩm loại \(B\) sẽ có lãi cao nhất.
(1 điểm) Hai chiếc tàu thủy \(P\) và \[Q\] cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân \(B\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bờ biển (hình bên). Từ \(P\) và \(Q,\) người ta nhìn thấy tháp hải đăng \(AB\) dưới các góc \(\widehat {BPA} = 35^\circ \) và \(\widehat {BQA} = 48^\circ \). Tính chiều cao (làm tròn đến hàng phần trăm) của tháp hải đăng đó.
Ta có: \(\widehat {PAQ} = \widehat {BQA} - \widehat {BPA} = 48^\circ - 35^\circ = 13^\circ \) (tính chất góc ngoài trong tam giác).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(APQ\), ta có: \(\frac{{PQ}}{{\sin \widehat {PAQ}}} = \frac{{AQ}}{{\sin \widehat {BPA}}}\).
Thay số: \(\frac{{300}}{{\sin 13^\circ }} = \frac{{AQ}}{{\sin 35^\circ }}\)\( \Rightarrow AQ \approx 764,93\;{\rm{(m)}}\).
Tam giác \(ABQ\) vuông tại \(B\) nên \(AB = AQ \cdot \sin 48^\circ \)\( \approx 568,46\,{\rm{(m)}}\).
Vậy chiều cao của tháp hải đăng xấp xỉ bằng 568,46 m.
(1 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\), hai điểm \(M,\,N\) thỏa mãn \[2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \], \[2\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \] và \[\frac{{AD}}{{BC}} = x\]. Tính \[\frac{{\cos \widehat {DBC}}}{{\cos \widehat {ADB}}}\] theo \(x\) để \[MN \bot BD\].
Ta có biểu diễn
\[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NA} } \right) + \overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} \]
\[ = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \]
Vậy \[\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \].
Do đó, \[MN \bot BD \Leftrightarrow \left( {2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \overrightarrow {BD} = 0 \Leftrightarrow 2BC \cdot \cos \widehat {DBC} + AD \cdot \cos \widehat {ADB} = 0\]
Suy ra \[\frac{{\cos \widehat {DBC}}}{{\cos \widehat {ADB}}} = - \frac{{AD}}{{2BC}} = - \frac{x}{2}\].
