Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1
76 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây.
Cho hai tia \(Oa\) và \(Ob,\)hỏi tất cả có bao nhiêu góc lượng giác có tia đầu là \(Oa\) và tia cuối là \(Ob?\)
0
vô số.
\(2.\)
\(3.\)
Đáp án đúng là: B
Theo SGK, cho hai tia \(Oa\) và \(Ob,\) sẽ có vô số góc lượng giác có tia đầu là \(Oa\) và tia cuối là \(Ob.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới. Góc lượng giác nào có số đo bằng \( - 45^\circ ?\)
\(\left( {OA,OM} \right).\)
\(\left( {OA,OQ} \right).\)
\(\left( {OA,ON} \right).\)
\(\left( {OA,OP} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Theo SGK, chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ, quan sát hình vẽ ta được số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,\,\,OQ} \right)\) bằng \( - \,45^\circ .\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) trên đường tròn lượng giác điểm gốc là \(A.\) Nếu góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right) = - \frac{{63\pi }}{2}\) thì \(OA\) và \(OM\)
vuông góc.
trùng nhau.
đối nhau.
tạo với nhau một góc \(\frac{\pi }{4}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left( {OA,OM} \right) = - \frac{{63\pi }}{2} = - \left( { - \frac{\pi }{2} + 32\pi } \right) = \frac{\pi }{2} - 16.2\pi \).
Suy ra điểm \(M\) cũng là điểm biểu diễn của góc có số đo \(\frac{\pi }{2}\).
Nên \(OA \bot OM.\)
Cho \(\alpha \) thuộc góc phần phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin \alpha > 0;\,\,\cos \alpha > 0\).
\(\sin \alpha < 0;\,\,\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha > 0;\,\,\cos \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0;\,\,\cos \alpha > 0\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\alpha \) thuộc góc phần phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác nên \(\sin \alpha > 0;\,\,\cos \alpha < 0.\)
Với mọi số thực \(\alpha \), ta có \(\sin \left( {\frac{{9\pi }}{2} + \alpha } \right)\) bằng
\( - \sin \alpha \).
\( - \cos \alpha .\)
\(\sin \alpha \).
\(\cos \alpha \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\sin \left( {\frac{{9\pi }}{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {4\pi + \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha \).
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{{12}}{{13}}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{1}{{13}}\).
\(\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\).
\(\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\).
\(\cos \alpha = - \frac{1}{{13}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{12}}{{13}}\) và \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
Suy ra \(\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \frac{5}{{13}}\).
Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\).
Chọn khẳng định đúng
\(\sin \left( {x + y} \right) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\).
\(\cos \left( {x - y} \right) = \cos x\cos y - \sin x\sin y\).
\(\cos \left( {x + y} \right) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\).
\(\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\).
Đáp án đúng là: A
Chọn A vì đúng theo công thức cộng.
Cho \[\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\] và \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \]. Giá trị của \(\sin \alpha \) là
\(\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{6}\).
\(\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{6}\).
\(\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\).
\(\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\cos x + \sin x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\]
\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\cos x.\sin x = \frac{1}{4}\]
\[ \Leftrightarrow \cos x.\sin x = - \frac{3}{8}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ (1): \[\cos x = \frac{1}{2} - \sin x\] thế vào (2), ta được:
\[\left( {\frac{1}{2} - \sin x} \right)\sin x = - \frac{3}{8}\, \Leftrightarrow - {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin x + \frac{3}{8} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\\\sin x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\,\end{array} \right.\].
Do \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \sin x > 0 \Rightarrow \sin x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x.cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \sin x.cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\cos x.\left( {\sin x - \cos x} \right).\)
\(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x.cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 2\cos x(\sin x + \cos x)\).
Mà \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \left( {\cos x\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sin x\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
Vậy \(1 + \sin 2x + \cos 2x = 2\sqrt 2 \cos x\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{2024}}{{\sin x}}.\)
\({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\]
\[{\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\[y = 1 + \sin 2x.\]
\[y = \cos x.\]
\[y = - \sin x.\]
\[y = - \cos x.\]
Đáp án đúng là: B
Ta thấy tại \(x = 0\) thì \(y = 1\). Do đó loại đáp án C và D
Tại \(x = \frac{\pi }{2}\) thì \(y = 0\). Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn.
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\) (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm \(t\) (giờ) trong một ngày bởi công thức \[h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12.\] Mực nước của kênh cao nhất khi
\(t = 13\) (giờ).
\(t = 16\) (giờ).
\(t = 15\) (giờ).
\(t = 14\) (giờ).
Đáp án đúng là: D
Mực nước của kênh cao nhất khi \[h\] lớn nhất nên ta có:
\(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = k2\pi \) với \(0 < t \le 24\) và \(k \in \mathbb{Z}.\)
Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn.
Vì với \(t = 14 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = 2\pi \) (đúng với \(k = 1 \in \mathbb{Z}\)).
Trong các phương trình sau, phương trình không tương đương với phương trình \({x^2} - 4 = 0\) là
\(2{x^2} = 8\).
\(\sqrt {2{x^2} - 4} = x\).
\[{x^2} - 4 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{1}{{x - 3}}\].
\(3{x^2} - 12 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Vì \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \,2\).
\[\sqrt {2{x^2} - 4} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2{x^2} - 4 = {x^2}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\].
Phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4} = x\) không cùng tập nghiệm với \({x^2} - 4 = 0\) nên không tương đương.
Tất cả nghiệm của phương trình \(\sin 2x = - \frac{3}{2}\) là
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \) và \(x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Phương trình vô nghiệm.
Đáp án đúng là: D
Vì \( - \frac{3}{2} < - 1\) nên phương trình \(\sin 2x = - \frac{3}{2}\) vô nghiệm.
Tất cả nghiệm của phương trình \(\cos 2x = \cos \left( {x + 60^\circ } \right)\) là
\(x = - 20^\circ + k120^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = 60^\circ + k360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = 60^\circ + k360^\circ \) và \(x = - 20^\circ + k360^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = 60^\circ + k360^\circ \) và \(x = - 20^\circ + k120^\circ ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
\(\cos 2x = \cos \left( {x + 60^\circ } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + 60^\circ + k360^\circ \\2x = - \left( {x + 60^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60^\circ + k360^\circ \\x = - 20^\circ + k120^\circ \end{array} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Tại các giá trị nào của \(x\) thì đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \sin x\) giao nhau?
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: A
\(\cos x = \sin x \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{n}{{{3^n} - 1}}\]. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là.
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{27}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{25}}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{28}}\].
Đáp án đúng là: B
Thay lần lượt \[n = 1;\,\,n = 2;\,\,n = 3\] vào công thức số hạng tổng quát ta được đáp án B.
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = {u_n} - 2\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
\(\left( {{u_n}} \right)\) không là dãy số tăng cũng không là dãy số giảm .
\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không đổi.
Đáp án đúng là: B
Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = - 2 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] được xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 3 + {u_n}\end{array} \right.,\forall n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\]. Tìm công thức số hạng tổng quát của \[\left( {{u_n}} \right)\].
\({u_n} = 3n - 1\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].
\({u_n} = 3n - 1\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\].
\({u_n} = {3^n}\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\].
\({u_n} = {2^n}\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].
Đáp án đúng là: A
Vì dãy số đã cho có \(5\) số hạng nên loại đáp án B và C.
• Xét \({u_n} = {2^n}\). Ta có: \({u_1} = 2;\,{u_2} = 4\) suy ra \({u_2} = 2 + {u_1}\) không thỏa công thức đã cho.
• Xét \({u_n} = 3n - 1\) với \[n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].
Ta có: \({u_1} = 2;\,\,\,{u_2} = 5 = 3 + {u_1};\,\,{u_3} = 8 = 3 + {u_2};\,\,{u_4} = 11 = 3 + {u_3};\,\,{u_5} = 14 = 3 + {u_4}\) thỏa công thức.
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?
\[ - \frac{2}{3};\,\, - \frac{1}{3};\,\,0;\,\,\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3};\,\,1;\,\,\frac{4}{3};...\].
\[15\sqrt 2 ;\,\,12\sqrt 2 ;\,\,9\sqrt 2 ;\,\,6\sqrt 2 ;...\].
\[\frac{4}{5};\,\,1;\,\,\frac{7}{5};\,\,\frac{9}{5};\,\,\frac{{11}}{5};...\].
\[\frac{1}{{\sqrt 3 }};\,\,\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\,\,\sqrt 3 ;\,\,\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{5}{{\sqrt 3 }};...\].
Đáp án đúng là: C
Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: \({u_{m + 1}} - {u_m} \ne {u_{k + 1}} - {u_k}\) thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.
Ta thấy dãy số \[\frac{4}{5};\,\,1;\,\,\frac{7}{5};\,\,\frac{9}{5};\,\,\frac{{11}}{5};...\]có \[\frac{1}{5} = {u_2} - {u_1} \ne {u_3} - {u_2} = \frac{2}{5}\]
Do đó dãy số \[\frac{4}{5};\,\,1;\,\,\frac{7}{5};\,\,\frac{9}{5};\,\,\frac{{11}}{5};...\] không phải là cấp số cộng.
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {2n + 1} \right)\).
\({u_n} = \sin \frac{\pi }{n}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} - 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}}\end{array} \right..\)
Đáp án đúng là: C
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_n} = an + b\) (\(a,\,\,b\) là hằng số).
Viết ba số hạng xen giữa các số \(2\) và \(22\) để được một cấp số cộng có năm số hạng.
\(7;\,\,12;\,\,17\).
\(6;\,\,10;\,\,14\).
\(8;\,\,13;\,\,18\).
\(6;\,\,12;\,\,18.\)
Đáp án đúng là: A
Giữa số \(2\) và \(22\) có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có năm số hạng với \({u_1} = 2;\,\,{u_5} = 22\); ta cần tìm \[{u_2};\,\,{u_3};\,\,{u_4}\].
Ta có \({u_5} = {u_1} + 4d \Leftrightarrow d = \frac{{{u_5} - {u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2}}{4} = 5\).
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d = 7\\{u_3} = {u_1} + 2d = 12\\{u_4} = {u_1} + 3d = 17\end{array} \right.\].
Vậy ba số hạng xen giữa các số \(2\) và \(22\) là \(7;\,\,12;\,\,17\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đầu lần lượt là \(5;\,\,9;\,\,13;\,\,17;...\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng.
\({u_n} = 5n + 1\).
\({u_n} = 5n - 1\).
\({u_n} = 4n + 1\).
\({u_n} = 4n - 1.\)
Đáp án đúng là: C
Các số \(5;\,\,9;\,\,13;\,\,17;...\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) nên
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = {u_2} - {u_1} = 4\end{array} \right.\].
Do đó công thức tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + 4(n - 1) = 4n + 1\).
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
\[1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;...\].
\[3;\,\,{3^2};\,\,{3^3};\,\,{3^4};...\].
\[4;\,\,2;\,\,\frac{1}{2};\,\,\frac{1}{4};...\].
\[\frac{1}{\pi };\,\,\frac{1}{{{\pi ^2}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};...\].
Đáp án đúng là: D
Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là \(2;\,\,3;\,\,\frac{1}{2}.\)
Xét đáp án D: \[\frac{1}{\pi };\,\,\frac{1}{{{\pi ^2}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};...\]
Ta có \[\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\].
Do đó dãy \[\frac{1}{\pi };\,\,\frac{1}{{{\pi ^2}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};\,\,\frac{1}{{{\pi ^4}}};...\]không phải là cấp số nhân.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{3}{2}\,.\,{5^n}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{3}{2}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\).
\(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \frac{5}{2}\) và số hạng đầu \({u_1} = 3\).
Đáp án đúng là: C
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{3}{2}\,.\,{5^n}\) là cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\).
Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là \(2x + 1\) và \(4{x^2} - 1\). Số hạng thứ ba của cấp số nhân là
\(2x - 1\).
\(2x + 1\).
\(8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1\).
\(8{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1\).
Đáp án đúng là: C
Công bội của cấp số nhân là: \[q = \frac{{4{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = 2x - 1\].
Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là \[\left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1\].
Một cấp số nhân có công bội bằng \(3\) và số hạng đầu bằng \(5\). Biết số hạng chính giữa là \(32\,\,805\). Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
\(18\).
\(17\).
\(16\).
\(9\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[32\,\,805 = {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 5\,.\,{3^{n - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6\,\,561 = {3^8} \Leftrightarrow n = 9\].
Vậy \({u_9}\) là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Hai mặt phẳng cùng đi qua ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) không thẳng hàng thì mặt phẳng đó trùng nhau.
Đáp án đúng là: B
Nếu hai mặt phẳng trùng nhau, khi đó hai mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.
Cho tứ giác \(ABCD\). Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của giác giác \(ABCD\)?
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(0\).
Đáp án đúng là: A
Từ 4 điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) ta tạo thành một tứ giác. Khi đó, 4 điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) đồng phẳng và tạo thành một mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng \((ABCD)\).
Cho điểm \(A\) không nằm trên mặt phẳng \((\alpha )\) chứa tam giác \(BCD\). Lấy \(E,\,\,F\) là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(AB,\,\,AC\). Khi \(EF\) và \(BC\) cắt nhau tại \(I\) thì \(I\) không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?
\[(BCD)\] và \[(DEF)\].
\[(BCD)\] và \[(ABC)\].
\[(BCD)\] và \[(AEF)\].
\[(BCD)\] và \[(ABD)\].
Đáp án đúng là: D
Điểm \(I\) là giao điểm của \(EF\) và \(BC\).
Mà \[\left\{ \begin{array}{l}EF \subset (DEF)\\EF \subset (ABC)\\EF \subset (AEF)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I = (BCD) \cap (DEF)\\I = (BCD) \cap (ABC)\\I = (BCD) \cap (AEF)\end{array} \right.\].
Vậy thì \(I\) không phải là điểm chung của hai mặt phẳng \[(BCD)\] và \[(ABD)\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\,\,(AD\,{\rm{//}}\,BC)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \((MSB)\) và \((SAC)\) là
\(SI\,\,(I\)là giao điểm của \(AC\) và \(BM)\).
\(SJ\,\,(J\)là giao điểm của \(AM\) và \(BD)\).
\(SO\,\,(O\)là giao điểm của \(AC\) và \(BD)\).
\(SP\,\,(P\)là giao điểm của \(AB\) và \(CD)\).
Đáp án đúng là: A
•\(S\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \((MSB)\) và \((SAC)\).
• Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset (SMB) \Rightarrow I \in (SMB)\\I \in AC \subset (SAC) \Rightarrow I \in (SAC)\end{array} \right.\)
Do đó \(I\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \((MSB)\) và \((SAC)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cắt nhau hoặc song song.
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a,\,\,b\) và điểm \(M\) ở ngoài \(a\) và ngoài \(b\). Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua \(M\) cắt cả \(a\) và \(b\)?
\(1\).
\(2\).
\(0\).
Vô số.
Đáp án đúng là: A
Gọi \((P)\) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng \(a\) và \(M\); \((Q)\) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng \(b\) và \(M\).
Giả sử \(c\) là đường thẳng qua \(M\) cắt cả \(a\) và \(b\).
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}c \in (P)\\c \in (Q)\end{array} \right. \Rightarrow c = (P) \cap (Q)\].
Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua \(M\) cắt cả \(a\) và \(b\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng \(AB;\,\,P,\,\,Q\) là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng \(CD\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng \[MP,\,\,NQ\] là
\[MP\,{\rm{//}}\,NQ\].
\[MP \equiv NQ\].
\[MP\] cắt \[NQ\].
\[MP,\,\,NQ\] chéo nhau.
Đáp án đúng là: D
Xét mặt phẳng \((ABP)\).
Ta có \(M,\,\,N\) cùng thuộc \(AB\)nên \(M,\,\,N\) cùng thuộc mặt phẳng \((ABP)\).
Mặt khác \(AC \cap (ABP) = P\).
Mà \(Q \in CD\) nên \(Q \notin (ABP)\).
Do đó \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) không đồng phẳng.
Vậy \[MP,\,\,NQ\] chéo nhau.
Cho tứ diện \(ABCD\), \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(MN\) cắt tứ diện \(ABCD\) theo thiết diện là đa giác \((T)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\((T)\) là hình chữ nhật.
\((T)\) là hình tam giác.
\((T)\) là hình thoi.
\((T)\) là hình tam giác; hình thang hoặc hình bình hành.
Đáp án đúng là: D
• Trường hợp \((\alpha ) \cap AD = K\).
Khi đó \((T)\) là tam giác \(MNK\). Do đó A và C sai.
• Trường hợp \((\alpha ) \cap (BCD) = IJ\), với \(I \in BD,\,\,J \in CD;\,\,I,\,\,J\) không trùng \(D\).
Khi đó \((T)\) là tứ giác. Do đó D đúng.
II. Tự luận (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức:
\(h(t) = 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9)\),
với \(h\) tính bằng độ \(C\) và \(t\) là thời gian trong ngày tính bằng giờ.
(Theo https://www.sciencedirect.com//science/articlelabs//pii/0168192385900139)
Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ \(C\) và vào lúc mấy giờ?
Vì \( - 1 \le \sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) \le 1\) nên \(29 + 3\,.\,( - 1) \le 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) \le 29 + 3\,.\,1\)
\( \Leftrightarrow 26 \le 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) \le 32\)
\( \Leftrightarrow 26 \le h(t) \le 32\)
Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(26^\circ C\) khi:
\(29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = 26\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = - 1\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}(t - 9) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow t = 3 + 24k,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiệt độ thấp nhất của thành phố là \(26^\circ C\).
(1,0 điểm) Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 giờ, sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?
Kể từ lúc 1 giờ đến 24 giờ thì số tiếng được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với \({u_1} = 1\), công sai \(d = 1\).
Số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:
\(S = {S_{24}} = \frac{{24}}{2}\left( {{u_1} + {u_{24}}} \right) = 12(1 + 24) = 300\) (tiếng chuông).
Vậy một ngày đồng hồ đó đánh 300 tiếng chuông.
(1,0 điểm)Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(AC\). Trên cạnh \(PD\) lấy điểm \(P\) sao cho \(DP = 2PB\).
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD),\,\,(BCD).\)
b) Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(Q\) sao \(DQ = 2QA\). Chứng minh: \(PQ\) song song với mặt phẳng \((ABC)\), ba đường thẳng \(DC,\,\,QN,\,\,PM\) đồng quy.
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset (MNP)\\AB \subset (ABD)\\MN\,\,{\rm{//}}\,\,AB\end{array} \right. \Rightarrow (MNP) \cap (ABD) = Px\,\,{\rm{//}}\,\,AB\,\,{\rm{//}}\,\,MN\)
Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD)\) là \(Px\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\M \in BC \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow M \in (MNP) \cap (BCD)\).
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}P \in (MNP)\\P \in BD \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow P \in (MNP) \cap (BCD)\).
Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((BCD)\) là \(MP\).
Vậy giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD),\,\,(BCD)\) lần lượt là \(Px\) và \(MP\).
b) Vì \(\frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(PQ\,\,{\rm{//}}\,\,AB\).
Do đó \(PQ\) song song với mặt phẳng \((ABC)\).
Ta có \(Q \in (MNP)\). Do đó:
• \((MNP) \cap (ACD) = QN\)
• \((MNP) \cap (BCD) = PM\)
• \((ACD) \cap (BCD) = CD\)
Vì \(\frac{{CM}}{{MB}} \ne \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(DC\) cắt \(PM\) tại \(I\).
Do đó ba đường thẳng \(DC,\,\,QN,\,\,PM\) đồng quy.
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?
“Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.”;
“Số 100 là một hợp số.”;
“Số 2 022 có chia hết cho 4 không?”;
“Phương trình bậc nhất luông có nghiệm.”.
Đáp án đúng là: C
Câu “Số 2 022 có chia hết cho 4 không?” là câu hỏi, không xác định tính đúng sai nên không phải là mệnh đề.
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},\,{x^2} = 10\)” khẳng định rằng
Bình phương của một số tự nhiên bằng 10;
Bình phương của một số \(x\) bằng 10;
Chỉ có một số tự nhiên mà bình phương của nó bằng 10;
Có ít nhất một số tự nhiên mà bình phương của nó bằng 10.
Đáp án đúng là: D
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},\,{x^2} = 10\)” khẳng định rằng: “Có ít nhất một số tự nhiên mà bình phương của nó bằng 10”.
Phủ định của mệnh đề “Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) vô nghiệm” là mệnh đề
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) không có nghiệm”;
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) có nghiệm”;
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 < 1\) vô nghiệm”;
“Bất phương trình \(2{x^2} + 3 < 1\) có nghiệm”.
Đáp án đúng là: B
Phủ định của mệnh đề “Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) vô nghiệm” là mệnh đề “Bất phương trình \(2{x^2} + 3 > 1\) có nghiệm”.
Viết tập hợp A: “tập hợp các số thực lớn hơn 2 và nhỏ hơn 5” dưới dạng nêu tính chất đặc trưng cho phần tử của tập hợp, ta được
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,2 \le x \le 5} \right\}\);
\(A = \left\{ {2;\,\,5} \right\}\);
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,2 < x < 5} \right\}\);
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,2 < x < 5} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(x\) là số thực lớn hơn 2 và nhỏ hơn 5, khi đó \(x\) thỏa mãn \(x \in \mathbb{R},\,\,2 < x < 5\).
Vậy \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,2 < x < 5} \right\}\).
Cho tập hợp \(B = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,9} \right\}\). Tập hợp nào sau đây là tập con của tập \(B\)?
\({B_1} = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5;\,\,11} \right\}\);
\({B_2} = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,9} \right\}\);
\({B_3} = \left\{ {1;\,\,3;\,\,7;\,\,9} \right\}\);
\({B_1} = \left\{ {1;\,\,3;\,\,5;\,\,10} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Trong các tập hợp ở đáp án, ta thấy chỉ có tập hợp \({B_3}\) thỏa mãn mọi phần tử của nó đều là phần tử của tập \(B\) nên tập hợp \({B_3}\) là tập con của \(B\).
Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\mathbb{N}\) là tập hợp các số tự nhiên;
\(\mathbb{Z}\) là tập hợp các số nguyên;
\(\mathbb{Q}\) là tập hợp các số vô tỉ;
\(\mathbb{R}\) là tập hợp các số thực.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\mathbb{N}\) là tập hợp các số tự nhiên; \(\mathbb{Z}\) là tập hợp các số nguyên; \(\mathbb{Q}\) là tập hợp các số hữu tỉ; \(\mathbb{R}\) là tập hợp các số thực.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\mathbb{N} \in \mathbb{Z}\);
\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}\);
\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\);
\({\mathbb{N}^*} \in \mathbb{N}\).
Đáp án đúng là: C
Kí hiệu \( \in \) dùng để so sánh giữa phần tử với tập hợp nên đáp án A và D sai.
Tập hợp các số nguyên là tập con của tập hợp các số hữu tỉ nên đáp án B sai.
Tập hợp các số hữu tỉ là tập con của tập hợp các số thực nên đáp án C đúng.
Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 2;\,\,5} \right)\) và \(B = \left[ {0;\,\, + \infty } \right)\). Tập hợp \(A \cup B\) là
\(\left[ { - 2;\, + \infty } \right)\);
\(\left[ { - 2;\,\,0} \right)\);
\(\left[ {0;\,\,5} \right)\);
\(\left[ {5;\,\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(A \cup B = \left[ { - 2;\,\,5} \right) \cup \left[ {0;\, + \infty } \right) = \left[ { - 2;\, + \infty } \right)\).
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2x - 4y \ge 7\);
\(5{x^3} - 4{y^3} < 2\);
\({x^2} - 2y < 0\);
\({x^2} + 3 > 0\).
Đáp án đúng là: A
Xét bất phương trình \(2x - 4y \ge 7\).
Bất phương trình có hai ẩn \(x,\,\,y\) có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số đều khác 0. Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số nào là nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y \ge 6\)?
\(\left( {1;\,\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\, - 4} \right)\);
\(\left( {7;\,\,8} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\, - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Xét cặp số \(\left( {7;\,\,8} \right)\) và bất phương trình \(2x + 3y \ge 6\), ta có: \(2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 = 38 > 6\)
Do đó, cặp số \(\left( {7;\,\,8} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y \ge 6\).
Nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình bên (bao gồm cả đường thẳng \(d\)) là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
\(x - 2y \ge 4\);
\(x - 2y > 4\);
\(x - 2y < 4\);
\(x - 2y \le 4\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {4;\,\,0} \right)\) và \(\left( {0;\, - 2} \right)\) nên có phương trình là \(x - 2y = 4\).
Xét điểm gốc tọa độ \(O\) thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình trên, ta có:
\(0 - 2 \cdot 0 = 0 < 4\).
Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình bên (bao gồm cả đường thẳng \(d\)) là miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y \le 4\).
Trong các hệ bất phương trình sau, đâu là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 5 \ge 0\\x - {y^2} > 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 < 0\\x - 2y > 0\\x + 5y = 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 2\\3x - y < 0\\x - y > 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}7x - y < 1\\x + 6y > 0\\4x + 5y \le 0\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - y < 1\\x + 6y > 0\\4x + 5y \le 0\end{array} \right.\) ta có: \(7x - y < 1\), \(x + 6y > 0\), \(4x + 5y \le 0\) là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Do đó, hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - y < 1\\x + 6y > 0\\4x + 5y \le 0\end{array} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 15 < 0\\x + y > 0\end{array} \right.\) chứa điểm nào trong các điểm sau đây?
\[\left( {1;\,\,15} \right)\];
\[\left( {1;\,\,2} \right)\];
\[\left( {9;\,\,11} \right)\];
\[\left( {7;\,\,8} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Xét điểm \[\left( {1;\,\,2} \right)\] và hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 15 < 0\\x + y > 0\end{array} \right.\) ta có: \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 15 = - 7 < 0,\,\,1 + 2 = 3 > 0\).
Do đó, điểm \[\left( {1;\,\,2} \right)\] nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 15 < 0\\x + y > 0\end{array} \right.\).
Với giá trị nào của \(\alpha \) thì \(\cos \alpha > 0\)?
\[0^\circ < \alpha \le 90^\circ \];
\[90^\circ < \alpha \le 180^\circ \];
\[0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \];
\[0^\circ \le \alpha < 90^\circ \].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\cos \alpha > 0\) khi \(0^\circ \le \alpha < 90^\circ \).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
\(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ \);
\(\sin 150^\circ = - \sin 30^\circ \);
\(\tan 150^\circ = \tan 30^\circ \);
\(\cot 150^\circ = \cot 30^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(150^\circ + 30^\circ = 180^\circ \) nên hai góc có số đo \(150^\circ \) và \(30^\circ \) là hai góc bù nhau.
Khi đó, \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ \), \(\tan 150^\circ = - \tan 30^\circ \), \(\cot 150^\circ = - \cot 30^\circ \).
Giá trị của \(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ \) là
\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\];
1;
\[\sqrt 2 \];
\[2\sqrt 2 \].
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Diện tích tam giác \(ABC\) là
\(\frac{{\sqrt 2 }}{4}AB \cdot AC\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}BC \cdot AC\);
\( - \frac{1}{2}AB \cdot AC\);
\(\frac{1}{2}AB \cdot AC\).
Đáp án đúng là: A
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin 135^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}AB \cdot AC\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,AC = b,\,AB = c\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Trong các công thức dưới đây, công thức sai là
\[\frac{a}{{\sin A}} = 2R\,\];
\[\sin A = \frac{a}{{2R}}\,\];
\[b\sin B = 2R\,\];
\[\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\,\].
Đáp án đúng là: C
Theo định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\].
Suy ra, \[\sin A = \frac{a}{{2R}}\,\], \[\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\,\]. Vậy công thức ở đáp án C sai.
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = 60^\circ ,\,\,BC = 8,\,AB = 5\). Độ dài cạnh \(AC\) bằng
7;
129;
49;
\(\sqrt {129} \).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2BC \cdot AB \cdot \cos B = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49 \Rightarrow AC = 7\).
Tam giác \(ABC\) có các cạnh \(BC = 3\sqrt 3 \), \(AC = 6\), \(AB = 3\). Độ lớn của góc \(A\) là
\(45^\circ \);
\(120^\circ \);
\(60^\circ \);
\(30^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{3^2} + {6^2} - {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot 3 \cdot 6}} = \frac{1}{2}\). Do đó, \(\widehat A = 60^\circ \).
Chọn đáp án sai. Một tam giác giải được nếu biết
Độ dài 3 cạnh;
Độ dài 3 cạnh và 1 góc bất kỳ;
Số đo 3 góc;
Độ dài 2 cạnh và 2 góc bất kỳ.
Đáp án đúng là: C
Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2). Vậy đáp án C sai.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3,\,\,AC = 6\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là
3;
\(\sqrt 3 \);
\(3\sqrt 3 \);
\(6\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos A = {6^2} + {3^2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 27 \Rightarrow BC = 3\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)
\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 3\).
Vectơ có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\) được kí hiệu là
\(AB\);
\(\overrightarrow {BA} \);
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\);
\(\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng là: D
Vectơ có điểm đầu là \(A\), điểm cuối là \(B\) được kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} \).
Với \(A,\,B,\,C,\,D\) là bốn đỉnh của hình vuông thì vectơ \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng với vectơ
\(\overrightarrow {AD} \);
\(\overrightarrow {DA} \);
\(\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng là: A
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC\,\,{\rm{//}}\,\,AD\), do đó vectơ \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AD} \).
Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \);
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \);
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \), do đó đáp án A và đáp án B đúng.
Lại có: \(AB\,{\rm{//}} = DC\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), vậy đáp án D đúng.
Cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt. Đẳng thức nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \);
\(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \);
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với 3 điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \), do đó đáp án C, D đúng, B sai.
Theo quy tắc hiệu, ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) nên đáp án A đúng.
Cho hình vuông \(ABCD\)có cạnh bằng 8. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) là
8;
16;
\(8\sqrt 2 \);
\(2\sqrt 8 \).
Đáp án đúng là: C
Áp dụng quy tắc hình bình hành đối với hình vuông \(ABCD\) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 8\sqrt 2 \).
Cho tam giác \(ABC\) có điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Điểm \(M\) thỏa mãn bài toán khi
\(M\) là điểm thứ tư của hình bình hành \(ACBM\);
\(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\);
\(M\) trùng \(C\);
\(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Do đó, \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} \).
Nên \(M\) trùng với \(G\) hay \(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (\(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \)) cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho
\(\overrightarrow a \ne k\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = k\);
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = k\).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (\(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \)) cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \).
Thực hiện phép toán vectơ \(\overrightarrow c - 8\overrightarrow c \) được kết quả là
\(9\overrightarrow c \);
\( - 8\overrightarrow c \);
\( - 7\overrightarrow c \);
\(\overrightarrow c \).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow c - 8\overrightarrow c = \left( {1 - 8} \right)\overrightarrow c = - 7\overrightarrow c \).
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên? 
\(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {BC} = - 3\overrightarrow {AB} \).
Đáp án đúng là: C
Từ hình vẽ, ta có \[AB = \frac{1}{4}AC\], \(BC = \frac{3}{4}AC,\,\,BC = 3AB\).
Mà hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \[\overrightarrow {AB} \] cùng hướng nên \[\overrightarrow {AB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \], do đó đáp án A và B sai.
Hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \[\overrightarrow {AC} \] cùng hướng nên\(\overrightarrow {BC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \), do đó đáp án C đúng.
Hai vectơ \(\overrightarrow {BC} \) và \[\overrightarrow {AB} \] cùng hướng nên\(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {AB} \), do đó đáp án D sai.
Cho tam giác \[ABC\] có \[I,{\rm{ }}D\] lần lượt là trung điểm\[AB,{\rm{ }}CI\]. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\[\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {BD} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \];
\[\overrightarrow {BD} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \].
Đáp án đúng là: B
Sử dụng quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm của đoạn thẳng ta có:
\[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {ID} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right)\]
\[ = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {IA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]\[ = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \].
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Nếu vectơ \(\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow b \) thì góc giữa hai vectơ bằng
\(0^\circ \);
\(90^\circ \);
\(180^\circ \);
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: C
Nếu vectơ \(\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow b \) thì góc giữa hai vectơ bằng \(180^\circ \).
Trong tam giác \(ABC\) có \(AB = 10,\,\,AC = 12,\,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Khi đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) bằng
30;
60;
– 30;
– 60.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 10 \cdot 12 \cdot \cos 120^\circ = - 60\).
Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\) và hai vectơ \(\vec u = \frac{2}{5}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \) và \(\vec v = \overrightarrow a + \overrightarrow b \) vuông góc với nhau. Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b .\)
\(\alpha = 90^\circ \);
\(\alpha = 180^\circ \);
\(\alpha = 60^\circ \);
\(\alpha = 45^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0\).
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b } \right) \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow a ^2} + \frac{2}{5}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3{\overrightarrow b ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - \frac{{13}}{5}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \alpha = - 1\)\( \Leftrightarrow \cos \alpha = - 1\)
Do đó, \(\alpha = 180^\circ \).
II. Tự luận (3 điểm)
(1 điểm) Một xí nghiệp có ba nhóm máy I, II, III dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm \(A\)và \(B\). Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:
Nhóm | Số máy trong mỗi nhóm | Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm | |
Loại \(A\) | Loại \(B\) | ||
I | 15 | 3 | 3 |
II | 4 | 0 | 2 |
III | 12 | 2 | 4 |
Một đơn vị sản phẩm loại \(A\) lãi 40 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại \(B\) lãi 50 nghìn đồng. Hỏi xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để có lãi cao nhất?
Gọi số sản phẩm loại \(A\) cần sản xuất là \(x\); số sản phẩm loại \(B\) cần sản xuất là \(y\)
(\(x,y \ge 0\)).
Số máy nhóm I cần sử dụng là: \(3x + 3y\).
Số máy nhóm II cần sử dụng là: \(2y\).
Số máy nhóm III cần sử dụng là: \(2x + 4y\).
Lãi suất thu được là: \(F(x;y) = 40x + 50y\) (nghìn đồng).
Bài toán trở thành:
Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{0 \le y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x + 2y \le 6}\end{array}} \right.\) sao cho \(F(x;y) = 40x + 50y\) lớn nhất.
Vẽ các đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2,\left( {{d_2}} \right):x + y = 5,\left( {{d_3}} \right):x + 2y = 6\). Ta có miền nghiệm của bất phương trình là miền ngũ giác \(EABCD\) với \(E\left( {0;\,0} \right),\,A\left( {0;\,2} \right)\), \(B\left( {2;\,2} \right)\), \(C\left( {4;\,\,1} \right)\), \(D\left( {5;\,0} \right)\).
Ta có \(F(0;\,\,0) = 0\), \(F(0;\,\,2) = 100\),\(F(2;\,\,2) = 180\),\(F(4;\,\,1) = 210\), \(F(5;\,\,0) = 200\).
Vì\(F(x;y) = 40x + 50y\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 4;y = 1\) nên phương án sản xuất 4 sản phẩm loại \(A\) và 1 sản phẩm loại \(B\) sẽ có lãi cao nhất.
(1 điểm) Hai chiếc tàu thủy \(P\) và \[Q\] cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân \(B\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bờ biển (hình bên). Từ \(P\) và \(Q,\) người ta nhìn thấy tháp hải đăng \(AB\) dưới các góc \(\widehat {BPA} = 35^\circ \) và \(\widehat {BQA} = 48^\circ \). Tính chiều cao (làm tròn đến hàng phần trăm) của tháp hải đăng đó.
Ta có: \(\widehat {PAQ} = \widehat {BQA} - \widehat {BPA} = 48^\circ - 35^\circ = 13^\circ \) (tính chất góc ngoài trong tam giác).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(APQ\), ta có: \(\frac{{PQ}}{{\sin \widehat {PAQ}}} = \frac{{AQ}}{{\sin \widehat {BPA}}}\).
Thay số: \(\frac{{300}}{{\sin 13^\circ }} = \frac{{AQ}}{{\sin 35^\circ }}\)\( \Rightarrow AQ \approx 764,93\;{\rm{(m)}}\).
Tam giác \(ABQ\) vuông tại \(B\) nên \(AB = AQ \cdot \sin 48^\circ \)\( \approx 568,46\,{\rm{(m)}}\).
Vậy chiều cao của tháp hải đăng xấp xỉ bằng 568,46 m.
(1 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\), hai điểm \(M,\,N\) thỏa mãn \[2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \], \[2\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \] và \[\frac{{AD}}{{BC}} = x\]. Tính \[\frac{{\cos \widehat {DBC}}}{{\cos \widehat {ADB}}}\] theo \(x\) để \[MN \bot BD\].
Ta có biểu diễn
\[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NA} } \right) + \overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} \]
\[ = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \]
Vậy \[\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \].
Do đó, \[MN \bot BD \Leftrightarrow \left( {2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \overrightarrow {BD} = 0 \Leftrightarrow 2BC \cdot \cos \widehat {DBC} + AD \cdot \cos \widehat {ADB} = 0\]
Suy ra \[\frac{{\cos \widehat {DBC}}}{{\cos \widehat {ADB}}} = - \frac{{AD}}{{2BC}} = - \frac{x}{2}\].
