Đặt: a = 28x, b = 28y, ƯCLN(x,y) = 1.

Ta có: 28x + 28y = 224

=> 28(x+y) = 224

=> x+y = 224:28 = 8

Do x > y và ƯCLN(x,y) = 1 nên:

Với: x = 7; y = 1=> a = 196; b = 28.

Với: x = 5; y = 3 => a = 140, b = 84

Gọi số ngày phải tìm là a => a = BCNN(12,10)

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}12=2^2.3\\ 10=2.5\end{array}\right.$

=> BCNN(12,10) = $2^2.3.5=60$

Vậy sau ít nhất 60 ngày thì hai bạn lại trực nhật cùng nhau

Gọi số phần thưởng là: a

Số vở đã chia là: 133 – 13 = 120

Số bút bi đã chia là: 80 – 8 = 72

Số tập giấy đã chia là: 170 – 2 = 168

a là ước chung của 120, 72, 168 và a > 13

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}120=2^3.3.5\\ 72=2^3.3^2\\ 168=2^3.3.7\\ a>13\end{array}\right.$ => ƯC(120,72,168) = $2^3.3$ = 24.

Vậy có tất cả 24 phần thưởng

Vì x chia cho 3 có số dư­ là 1 nên (x+2)$⋮$3

Vì x chia cho 5 có số dư­ là 3 nên (x+2)$⋮$5

Vì x chia cho 7 có số dư­ là 5 nên (x+2)$⋮$7

Vì x là số tự nhiên nhỏ nhất => (x+2) là bội chung nhỏ nhất của 3 ;5 ;7

Ta có: BCNN(3,5,7) = 105 => x + 2 = 105 => x = 103

Vậy x = 103 thỏa mãn

Giả sử ƯCLN(2n+3 ;4n+8) = d

$\left\{\begin{array}{l}\left(2n+3\right)⋮d\\ \left(4n+8\right)⋮d\end{array}\Rightarrow 2\left(2n+3\right)⋮d\right.$

=> $\left[\left(4n+8\right)-2\left(2n+3\right)\right]=2⋮d$

=>d = 1 hoặc d = 2 .

Giả sử nếu d = 2 => (2n+3)$⋮$2 (vô lý)

Vậy d = 1 hay 2n+3 và 4n+8 là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi số đội viên của liên đội là a (100≤ a ≤ 150)

Ta có: a – 1 là bội chung của 2,3,4,5 và 99 ≤ a – 1 ≤ 149

Mà: BCNN(2,3,4,5) = 60 => BC(2,3,4,5) = {0 ;60 ;120 ;180 ;…}.

Vì: 99 ≤ a – 1 ≤ 149 => a – 1 = 120 => a = 121

Vậy số đội viên của liên đội là 121 người

Ta có: $A=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\left(5^5+5^6\right)+\left(5^7+5^8\right)$

= $\left(5+5^2\right)+5^2\left(5+5^2\right)+5^4\left(5+5^2\right)+5^6\left(5+5^2\right)$

= $30+5^2.30+5^4.30+5^6.30$

= $30.(1+5^2+5^4+5^6)⋮30$

Vậy A là bội của 30

a, Gọi d là ƯCLN(2n+2;2n)

=> $\left\{\begin{array}{l}\left(2n+2\right)⋮d\\ \left(2n\right)⋮d\end{array}\Rightarrow \left(2n+2-2n\right)=2⋮d\right.$

Mà d là ƯCLN nên d là số lớn nhất và cũng là ước của 2.

Vậy d = 2

b, Gọi ƯCLN(3n+2 ;2n+1) = d

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(3n+2\right)⋮d\\ \left(2n+1\right)⋮d\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\left(3n+2\right)⋮d\\ 3\left(2n+1\right)⋮d\end{array}\right.\right.$

=>[2(3n+2) – 3(2n+1)] = 1$⋮$d

Vậy d = 1