Bài tập Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là:
1.
2.
3.
0.
Đáp án đúng là: A
Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì có 1 điểm chung duy nhất.
Nếu hai đường tròn không cắ nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là:
1.
2.
3.
0.
Đáp án đúng là: D
Hai đường tròn không cắt nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là 0.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) với R > r cắt nhau tại hai điểm phân biệt và OO' = d. Chọn khẳng định đúng:
d = R – r.
d > R + r.
R – r < d < R + r.
>
d < R – r.
>
Đáp án đúng là: C
Hai đường tròn (O; R) và (O'; r) có (R > r) cắt nhau.
Khi đó (O) và (O') có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn AB.
Hệ thức liên hệ R – r < d < R + r.
>
Cho hai đường tròn (O; 8 cm) và (O'; 6 cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp tuyến của (O'). Độ dài dây AB là:
AB = 8,6 cm.
AB = 6,9 cm.
AB = 4,8 cm.
AB = 9,6 cm.
Đáp án đúng là: D
Vì OA là tiếp tuyến của (O') nên ∆OAO' vuông tại A.
Vì (O) và (O') cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO' là đường trung trực của đoạn AB.
Gọi giao điểm của AB và OO' là I thì AB ⊥ OO' tại I là trung điểm của AB.
Xét ∆IAO và ∆AO'O có: \(\widehat {OIA} = \widehat {OAO'} = 90^\circ \), \(\widehat {AOI} = \widehat {O'OA}\)
Suy ra ∆IAO ∽ ∆AO'O (g.g) suy ra \(\frac{{IA}}{{AO'}} = \frac{{AO}}{{OO'}}\)
hay IA = \(\frac{{AO'.AO}}{{OO'}} = \frac{{8.6}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{48}}{{10}}\) = 4,8 cm.
Do đó, AB = 2AI = 9,6 cm.
Cho hai đường tròn (O; 6 cm) và (O'; 2 cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp tuyến của (O'). Độ dài dây AB là:
AB = \(3\sqrt {10} \) cm.
AB = \(\frac{{6\sqrt {10} }}{5}\) cm.
AB = \(\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\) cm.
AB = \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\) cm.
Đáp án đúng là: B
Vì OA là tiếp tuyến của (O') nên ∆OAO' vuông tại A.
Vì (O) và (O') cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO' là đường trung trực của đoạn AB.
Gọi giao điểm của AB và OO' là I thì AB ⊥ OO' tại I là trung điểm của AB.
Xét ∆IAO và ∆AO'O có: \(\widehat {OIA} = \widehat {OAO'} = 90^\circ \), \(\widehat {AOI} = \widehat {O'OA}\)
Suy ra ∆IAO ∽ ∆AO'O (g.g) suy ra \(\frac{{IA}}{{AO'}} = \frac{{AO}}{{OO'}}\)
hay IA = \(\frac{{AO'.AO}}{{OO'}} = \frac{{2.6}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2}} }} = \frac{{12}}{{2\sqrt {10} }} = \frac{{6\sqrt {10} }}{{10}}\) cm.
Do đó, AB = 2AI = \(\frac{{6\sqrt {10} }}{5}\) cm.
Vị trí tương đối của hai đường tròn là:
Nằm ngoài nhau.
Cắt nhau.
Tiếp xúc ngoài.
Tiếp xúc trong.
Đáp án đúng là: D
Vì hai đường tròn có một điểm chung là A và OO' = AO – \(\frac{{AO}}{2}\) = R – r nên hai đường tròn tiếp xúc trong.
Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C. Khi đó:
\(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).
\(\frac{{AD}}{{AC}} = 3\).
OD ∕∕ O'C.
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: B
Xét đường tròn (O') có OA là đường kính và C ∈ (O') nên ∆ACo vuông tại C suy ra OC vuông góc với AD.
Xét đường tròn (O) có OA = OD suy ra ∆OAD cân tại O có OC là đường cao cùng là đường trung tuyến nên CD = AC.
Do đó chọn B.
Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9
Cho (O1; 3 cm) tiếp xúc với (O2; 1 cm) tại A. Vẽ bán kính O1B và O2C song song với nhau cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ O1O2. Gọi D là giao điểm của BC và O1O2.
Số đo góc BAC là:
90°.
60°.
100°.
80°.
Đáp án đúng là: A
Xét (O1) có O1B = O1A nên ∆O1AB cân tại O1, suy ra \(\widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB}\).
Xét (O2) có O2C = O2A nên ∆O2AC cân tại O1, suy ra \(\widehat {{O_2}CA} = \widehat {{O_2}AC}\).
Lại có O1B ∕∕ O2C nên \(\widehat {{O_1}BC} + \widehat {{O_2}CB}\) = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)
Suy ra \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 360^\circ - \widehat {{O_2}CB} - \widehat {{O_1}BC} = 180^\circ \).
2(\(\widehat {{O_2}AC} + \widehat {{O_1}AB}\)) = 180°.
Suy ra \(\widehat {{O_2}AC} + \widehat {{O_1}AB}\) = 90° suy ra \(\widehat {CAB} = 90^\circ \).
Tính độ dài O1D.
O1D = 4,5 cm.
O1D = 5 cm.
O1D = 8 cm.
O1D = 6 cm.
Đáp án đúng là: D
Vì ∆O1BD có O1B ∕∕ O2C nên theo hệ quả định lí Thelès ta có:
\(\frac{{{O_2}D}}{{{O_1}D}} = \frac{{{O_2}C}}{{{O_1}B}} = \frac{1}{3}\) suy ra \(\frac{{{O_2}{O_1}}}{{{O_1}D}} = \frac{2}{3}\).
Mà O1O2 = O1A + O2A = 3 + 1 = 4 suy ra O1D = \(\frac{3}{2}{O_2}{O_1}\) = 6 cm.
Đáp án D.
Cho hai đường tròn (O; 20 cm) và (O'; 15 cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO', biết rằng AB = 24 cm và O và O' nằm cùng phía đối với AB.
OO' = 7 cm.
OO' = 8 cm.
OO' = 9 cm.
OO' = 25 cm.
Đáp án đúng là: A
Ta có: AO = \(\frac{{AB}}{2}\) = 12 cm.
Theo định lí Pythagore, ta có: OI2 = OA2 – AI2 = 256 suy ra IO = 16 cm.
\(O'I = \sqrt {O'{A^2} - I{A^2}} = 9\) cm.
Do đó, OO' = OI – O'I = 16 – 9 = 7 cm.
Hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau thì có
1 điểm chung.
0 điểm chung.
2 điểm chung.
3 điểm chung.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau thì có 2 điểm chung.
R1 > R2.
R1 < R2.
R1 = R2.
R1 ≥ R2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường tròn (O; R2) đựng đường tròn (O; R1) khi R1 < R2.
Để hai đường tròn (O; 2 cm) và (O1; 1 cm) tiếp xúc ngoài nhau thì
OO1 = 1 cm.
OO1 = 2 cm.
OO1 = 3 cm.
OO1 = 4 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Để hai đường tròn (O; 2 cm) và (O1; 1 cm) tiếp xúc ngoài nhau thì OO1 = 2 + 1 = 3 cm.
4 cm.
5 cm.
6 cm.
3 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Để hai đường tròn (O; 4 cm) và (O1; 2 cm) cắt nhau thì 4 – 2 < OO1 < 4 + 2, suy ra 2 < OO1 < 6. Do đó, độ dài đoạn thẳng OO1 không thể bằng 6 cm.
x = 2 cm.
x = 3 cm.
x = 1 cm.
x = 4 cm
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Để hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; x cm) tiếp xúc trong thì nên |5 – x| = 2, suy ra 5 – x = 2 hoặc 5 – x = –2. Vậy chọn đáp án B.
Với x = 2 thì hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; 3 cm) cắt nhau.
Để hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; 3 cm) cắt nhau thì 2 < x < 8.
Với x = 1 cm thì đường tròn (O; 5 cm) đựng đường tròn (I; 3 cm).
Không có giá trị nào của x để đường tròn (I; 3 cm) đựng đường tròn (O; 5 cm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Vì 5 – 3 = 2 nên với x = 2 thì hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; 3 cm) tiếp xúc trong.
b) Đúng.
Để hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; 3 cm) cắt nhau thì 5 – 3 < OI < 5 + 3;
suy ra 2 < x < 8.
Vậy để hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; 3 cm) cắt nhau thì 2 < x < 8.
c) Đúng.
Vì 1 < 5 – 3.
Vậy với x = 1 cm thì đường tròn (O; 5 cm) đựng đường tròn (I; 3 cm).
d) Đúng.
Vì 3 cm < 5 cm nên không có giá trị nào của x để đường tròn (I; 3 cm) đựng đường tròn (O; 5 cm).
BC = 5 cm.
AD = 3 cm.
Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.
Hai đường tròn (A; AC) và đường tròn đường kính BC tiếp xúc ngoài.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 = 25 (Định lý Pythagore)
nên BC = 5 cm.
Vậy BC = 5 cm.
b) Sai.
Vì tam giác ABC vuông tại A có AD là đường trung tuyến nên ta có:
AD = DC = DB = \(\frac{1}{2}\)BC = 2,5 cm.
Vậy AD = 2,5 cm.
c) Đúng.
Vì AD = DC = DB = \(\frac{1}{2}\)BC = 2,5 cm nên ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (D; 2,5 cm).
Vậy ba điểm A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.
d) Sai.
Đường tròn đường kính BC có bán kính là DC = 2,5 cm.
Vì 3 – 2,5 < AD < 3 + 2,5 nên hai đường tròn (A; AC) và đường tròn đường kính BC cắt nhau.
Vậy hai đường tròn (A; AC) và đường tròn đường kính BC cắt nhau.
Nếu R + R1 = 8 cm thì hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) tiếp xúc ngoài nhau.
Nếu R + R1 < 8 cm thì hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) không có điểm chung.
Nếu R – R1 = 9 cm thì hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) không giao nhau.
Nếu R – R1 < 8 cm thì hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) tiếp xúc trong.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: R + R1 = 8 cm = OO1.
Vậy hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) tiếp xúc ngoài nhau.
b) Đúng.
Vì R + R1 < 8 cm nên R + R1 < OO1.
Vậy hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) không có điểm chung.
c) Đúng.
Vì R – R1 = 9 cm nên R – R1 > OO1.
Vậy hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) không giao nhau.
d) Sai.
Để (O; R) và (O1; R1) tiếp xúc trong thì |R – R1| = OO1 hay |R – R1| = 8 cm.
Vậy nếu |R – R1| = 8 cm thì (O; R) và (O1; R1) tiếp xúc trong.
Cho hai đường tròn (O; R) và (I; r) sao cho R + r = 6 cm và R = 2r. Khi đó:
R = 2 cm.
R – r = 1.
Nếu điểm I cách điểm O bằng 5 cm thì hai đường tròn (O; R) và (I; r) cắt nhau.
Nếu khoảng cách từ I đến O nhỏ hơn 2 cm thì (O; R) và đường tròn (I; r) tiếp xúc trong.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Thay R = 2r vào R + r = 6 ta có 2r + r = 6, suy ra r = 2 cm. Vậy R = 4 cm.
b) Sai.
Vì r = 2 cm, R = 4 cm nên R – r = 2 cm. Vậy R – r = 2 cm.
c) Đúng.
Vì R – r < OI < R + r (do 2 cm < 5 cm < 6 cm) nên hai đường tròn (O; R) và đường tròn (I; r) cắt nhau.
Vậy nếu điểm I cách điểm O bằng 5 cm thì hai đường tròn (O; R) và đường tròn (I; r) cắt nhau.
d) Sai.
Vì IO < 2cm nên IO < R – r. Vậy nếu khoảng cách từ I đến O nhỏ hơn 2 cm thì đường tròn (O; R) đựng đường tròn (I; r).
Cho hai đường tròn (O; 2 cm) và (I; 1 cm) cắt nhau tại A và B sao cho OA vuông góc với AI tại A. Gọi D là giao điểm của AC và OI. Khi đó:
OI = 5 cm.
AD ^ OI.
DI > 1 cm.
Đường tròn (A; AD) và đường tròn (I; DI) tiếp xúc trong.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai.
Vì DAOI vuông tại A nên OI2 = AI2 + AO2 = 5 (định lý Pythagore). Vậy OI = \(\sqrt 5 \) cm.
b) Đúng.
Vì AI = IC nên I thuộc đường trung trực của AC.
Vì OA = OC nên O thuộc đường trung trực của AC.
Do đó, OI là đường trung trực của AC, suy ra AC ^ OI tại D.
Vậy AD ^ OI.
c) Sai.
DAID và DOIA có: \(\widehat {{\rm{ADI}}} = \widehat {{\rm{OAI}}} = 90^\circ ,\widehat {{\rm{AIO}}}\) chung nên .
Suy ra \(\frac{{{\rm{DI}}}}{{{\rm{AI}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{OI}}}}\) suy ra \({\rm{DI}} = \frac{{{\rm{A}}{{\rm{I}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{OI}}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Vậy DI < 1 cm.
d) Sai.
Ta có: AD.OI = OA.AI (= 2.\({{\rm{S}}_{{\rm{\Delta AOI}}}}\)) nên \({\rm{AD}} = \frac{{{\rm{OA}}.{\rm{AI}}}}{{{\rm{OI}}}} = \frac{{2 \cdot 1}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vì AD – DI \( < {\rm{AI}}\) < AD + DI nên đường tròn (A; AD) và đường tròn (I; DI) cắt nhau.
Cho hai điểm O và I cách nhau 6 cm. Trong các đường tròn (O; 3 cm); (O; 4 cm); (O; 5 cm); (O; 1 cm), có bao nhiêu đường tròn cắt đường tròn (I; 8 cm)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Vì 8 – 3 < OI < 8 + 3 nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (I; 8 cm) cắt nhau.
Vì 8 – 4 < OI < 8 + 4 nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (I; 8 cm) cắt nhau.
Vì 8 – 5 < OI < 8 + 5 nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (I; 8 cm) cắt nhau.
Vì 8 – 1 > OI nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (I; 8 cm) không cắt nhau.
Vậy trong các đường tròn trên có 3 đường tròn cắt đường tròn (I; 8 cm).
Cho hai đường tròn (O; 6 cm), (I; 5 cm) và OI = a (m). Biết rằng hai đường tròn đó có hai điểm chung. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị a nguyên thỏa mãn bài toán?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 9
Vì hai đường tròn (O; 6 cm), (I; 5 cm) có hai điểm chung nên 6 – 5 < OI < 6 + 5, suy ra 1 < a < 11. Mà a là số nguyên nên a Î{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Vậy có tất cả 9 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biết rằng hai đường tròn (O; 3 cm) và đường tròn (O1; 5 cm) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm C. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của OC và OO1. Hỏi hai đường tròn (B; O1B) và đường tròn (A; 1 cm) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
Vì hai đường tròn (O; 3 cm) và đường tròn (O1; 5 cm) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm C nên OO1 = OC + CO1 = 3 + 5 = 8 (cm).
Vì A là trung điểm của OC nên OA = AC = 1,5 cm.
Vì B là trung điểm của OO1 nên BO1 = 4 cm.
Ta có: AB = OO1 – OA – BO1 = 8 – 1,5 – 4 = 2,5 (cm).
Lại có: BO1 – 1 = 3 cm > AB = 2,5 cm. Vậy hai đường tròn (B; O1B) và đường tròn (A; 1 cm) không có điểm chung.
Biết rằng đường tròn (O; 4 cm) và đường tròn (I; 2 cm) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A. Gọi C là trung điểm của OI. Tìm số điểm chung của hai đường tròn (C; CA) và đường tròn (O; 2 cm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Vì đường tròn (O; 4 cm) và đường tròn (I; 2 cm) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A nên OI = 4 – 2 = 2 (cm).
Vì C là trung điểm của OI nên CI = OC = 1 cm.
Ta có: CA = OA – OC = 3 cm.
Vì CA – 2 = 1 (cm) = OC nên hai đường tròn (C; CA) và đường tròn (O; 2 cm) có 1 điểm chung.
Cho đường tròn (O; R) có chu vi bằng 24p (cm) và hình tròn (I; r) có diện tích bằng 25p (cm2). Biết rằng OI = 8 cm, hỏi hai đường tròn đó có bao nhiêu điểm chung?
Đáp án: 2
Vì đường tròn (O; R) có chu vi bằng 24p (cm) nên 2pR = 24p nên R = 12 (cm).
Vì hình tròn (I; r) có diện tích bằng 25p (cm2) nên pr2 = 25p nên r = 5 (cm).
Ta có: R – r < OI < R + r (do 12 – 5 < 8 < 12 + 5).
Vậy hai đường tròn đã cho có 2 điểm chung.
Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 6, 7.
Cho đoạn OO' và điểm A nằm trên OO' sao cho OA = 2 O'A. Đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính O'A.
