Bài tập Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (có lời giải)
13 câu hỏi
Cho hai điểm \(O\) và \(O'\) cách nhau một khoảng 5 cm. Mỗi đường tròn sau đây có vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn \((O;\,\,3cm)\).
a) Đường tròn \((O';\,\,3cm)\) b) Đường tròn \((O';\,\,1cm)\)
b) Đường tròn \((O';\,\,\,8cm)\)
a) Đặt \(R = 3cm,\,R' = 3cm\)
Ta có: \(3 - 3 < 5 < 3 + 3\) nên \(R - R' < OO' < R + R'\) hay \(0 < 5 < 6\)
Do đó hai đường tròn \((O;\,\,3cm)\)và\((O';\,\,3cm)\) cắt nhau.
b) Đặt \(R = 3cm,\,R' = 1cm\)
Ta có: \(5 > 3 + 1\) nên \(OO' > R + R'\)
Do đó hai đường tròn \((O;\,\,3cm)\)và \((O';\,\,1cm)\) ở ngoài nhau.
c) Đặt \(R = 3cm,\,R' = 8cm\)
Ta có: \(5 = 8 - 3\) hay \(OO' = R' - R\)
Do đó hai đường tròn \((O;\,\,3cm)\)và \((O';\,\,\,8cm)\) tiếp xúc nhau.
Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn \((O;\,\,R)\) và \((O';\,\,R')\)trong mỗi trường hợp sau:
a) \[OO' = 12;\,R = 5;\,R' = 3\]; b) \[OO' = 8;\,R = 5;\,R' = 3\];
c) \[OO' = 7;\,R = 5;\,R' = 3\]; d) \[OO' = 0;\,R = 5;\,R' = 4;\]
e) \[OO' = 3;\,R = 4;\,R' = 7.\]
a) Ta có: \(12 > 5 + 3\) hay \(OO' > RR'.\)
Do đó hai đường tròn \((O;\,\,R)\)và\((O';\,\,R')\) ở ngoài nhau.
b) Ta có: \(8 = 5 + 3\) hay \(OO' = RR'.\)
Do đó hai đường tròn \((O;\,\,R)\)và\((O';\,\,R')\) tiếp xúc ngoài.
c) Ta có: \(5 - 3 < 7 < 5 + 3\) hay \(R - R' < OO' < R + R'.\)
Do đó hai đường tròn \((O;\,\,R)\)và\((O';\,\,R')\) cắt nhau.
d) Ta có: \(0 < 5 - 4\) hay \(OO' < R - R'.\)
Do đó hai đường tròn \((O;\,\,R)\)đựng đường tròn\((O';\,\,R')\).
e) Ta có: \(3 = 7 - 4\) hay \(OO' = R' - R.\)
Do đó hai đường tròn \((O;\,\,R)\)và\((O';\,\,R')\) tiếp xúc trong.
Cho hai điểm \(O\) và \(O'\) sao cho \(OO' = 3cm\). Mỗi đường tròn sau đây có vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn \((O;\,\,3cm)\).
Đặt \(R = 8cm,\,R' = 5cm\)
Ta có: \(3cm = 8cm - 5cm\)hay \(OO' = R - R'\)
Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.
Xác định vị trí của hai đường tròn \((O;\,3cm)\)và \((O';\,2cm)\) biết \[OO' > 5cm.\]
Đặt \(R = 3cm,\,R' = 2cm\)
Ta có: \(OO' = 5 > R + R'\)
Do đó hai đường tròn \((O;\,3cm)\)và \((O';\,2cm)\) hai đường tròn ở ngoài nhau.
Đặt \(R = 8cm\) và đường tròn tâm \(O'\)có bán kính \(r\, < \,3cm\).
Ta có: \(OO' = 2 < 5 - r\) (vì \(r\, < \,3cm\))
Do đó đường tròn \((O;\,5cm)\) đựng đường tròn \((O';\,r)\) khi \(r\, < \,3cm\).
Cho ba điểm thẳng hàng \(O\), \(A\) và \(O'\). Với mỗi trường hợp sau hãy viết hệ thức giữa các độ dài \[OO',\,OA\] và \(O'A\) rồi xét xem hai đường tròn \((O;\,OA)\) và \((O';\,O'A)\) tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài với nhau; vẽ hình để khẳng định dự đoán của mình.
a) Điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(O'\);
b) Điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(O'\);
c) Điểm \(O'\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(O\).
a) Điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(O'\); Ta có: \[OO' = OA + OA'\] Hai đường tròn \((O;\,OA)\) và \((O';\,O'A)\) tiếp xúc ngoài (Xem hình a) |
Hình a
|
b) Điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(O'\). Ta có: \[OO' = O'A - OA\] Hai đường tròn \((O;\,OA)\) và \((O';\,O'A)\) tiếp xúc trong(Xem hình b) |
Hình b
|
c) Điểm \(O'\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(O\). Ta có: \[OO' = OA - O'A\] Hai đường tròn \((O;\,OA)\) và \((O';\,O'A)\) tiếp xúc trong (Xem hình c) |
Hình c
|
![Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \[A\]. Một đường thẳng qua \[A\] cắt \((O)\)tại \(B\) và \((O')\) cắt tại \(C.\) Chứng minh rằng \(OB{\rm{//}}O'C\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/04/screenshot-445-1775578105.png)
Gọi bán kính đường tròn \((O)\)là \(R.\) Ta có: \(OA = OB = R\) hay tam giác\(AOB\) cân tại \(O\) \(\, \Rightarrow \,\widehat B = \widehat {{A_1}}.\) Tương tự, ta có tam giác\(AOC\) cân tại \(O\,' \Rightarrow \,\widehat C = \widehat {{A_2}}\) mà \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (đối đỉnh) |
|
Do đó \(\,\widehat B = \widehat C\) \( \Rightarrow \) \(OB\,{\rm{//}}\,O'C\) (cặp góc so le trong bằng nhau).
Cho nửa đường tròn \((O)\)đường kính \(AB.\) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ \(AB\), vẽ nửa đường tròn tâm \(O'\) đường kính \(OA.\)
a) Xác định vị trí tương đối của đường tròn \((O)\) và đường tròn \((O')\)
b) Vẽ dây cung \(AC\) của nửa đường tròn \((O)\) và nửa đường tròn \((O')\)tại \(D.\) Chứng minh \(OC\)và \(OD\) song song với nhau.
a) Ta có ba điểm \(A,\,O',\,O\) thẳng hàng và \(OO' = OA - O'A\,\,(d = R - R')\) Chứng tỏ \((O)\) và \((O')\)tiếp xúc trong tại \(A.\) b) Ta có \(\Delta AO'D\)cân (vì \(O'A = O'D = R'\)) \( \Rightarrow \,\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\,\,\,(1)\) Tương tự \(\Delta AOC\) cân \( \Rightarrow \,\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\,\,\,(2)\) | |
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\,\)\( \Rightarrow \,O'D{\rm{//}}OC\) (cặp góc đồng vị bằng nhau)
Chú ý: Các bạn có thể giải thêm câu c) sau đây:
Chứng minh \(D\) là trung điểm của \(AC\) và \(OD\)song song với \(BC\).
Hướng dẫn: \(D\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(AO\)nên \(\widehat {ADO} = {90^0}\). Khi đó \(D\) là trung điểm của \(AC\)(định lí đường kính dây cung) ta chứng minh \(OD\)là đường trung bình của \(\Delta AOC\)để suy ra \[OD\,{\rm{//}}\,BC\].
Cho đoạn thẳng \[OO'\] và điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(O'\). Vẽ đường tròn \((O;\,OA)\) và đường tròn \((O';\,O'A)\). Qua \(A\) vẽ đường thẳng cắt \((O)\) tại \(B\) và \((O')\) cắt tại \(C.\)
a) Chứng minh \((O)\) và \((O')\)tiếp xúc nhau.
b) Vẽ đường kính \(BD\) của \((O)\)và \(CE\) của \((O')\), chứng minh \(D,\,A,\,E\) thẳng hàng.
a) Ta có : \(OO' = OA + O'A\,(d = R + R')\)
Chứng tỏ \((O)\) và \((O')\)tiếp xúc ngoài tại \(A\).
b) Ta có \(BD\) là đường kính của \((O)\) nên \(OA = \frac{1}{2}BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
Xét \(\Delta ABD\) có \(AO\) là trung tuyến (1) nên \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) hay \(AD \bot AB,\) mà \(B,\,A,\,C\) thẳng hàng nên \(AD \bot BC,\) tương tự \(AE \bot BC.\)Vì vậy \(AD\) và \(AE\) phải trùng nhau hay ba điểm \(D,\,A,\,E\) thẳng hàng.
Ta có \(AB = AE + EB\,\,(d = R + R')\)
Chứng tỏ \((A;\,AD)\) và \((B;\,BE)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \(E.\)
Ta có \(\Delta ADE\) cân tại \(A\) \((AD = AE = R)\)\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{E_1}}\)
Tương tự \(\Delta EBF\) cân tại \(B\)\( \Rightarrow \widehat F = \widehat {{E_2}}\)
mà \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat F.\)Do đó \(AD{\rm{//}}BF\). Lại có \(AD{\rm{//}}BC\,(gt)\)
Theo tiên đề Ơ-clit: \(BF\) và \(BC\) phải trùng nhau hay \(F,\,B,\,C\) thẳng hàng.
Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(BC\). Một dây \(AD\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\). Gọi \(E,\,F\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến \(AB,\,AC\). Gọi \((I)\) và \((K)\) lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(HBE\) và \(HCF.\)
Xác định vị trí tương đối của đường tròn \((I)\) và \((O)\); \((K)\) và \((O)\); \((I)\) và \((K).\)
Ta có : \(OI = OB - IB\,(d = R - {R_1})\)
Chứng tỏ \((I)\) và \((O)\) tiếp xúc trong.
Tương tự ta chứng minh được \((K)\) và \((O)\) tiếp xúc trong với nhau
Lại có: \(IK = IH + HK\,(d = {R_1} + {R_2})\)Chứng tỏ \((I)\) và \((K)\) tiếp xúc ngoài với nhau.Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\). Một điểm \(C\) (khác \(A,\,B\)) nằm trên đường tròn. Tiếp tuyến \(Cx\) của đường tròn cắt tia \(AB\) tại \(I,\) phân giác của gcs \(CIA\) cắt \(OC\)tại \(O'.\)
a) Xác định vị trí tương đối của đường tròn \((O)\) và \((O';\,O'C).\)
b) Chứng minh rằng đường tròn \((O';\,\,O'C)\) tiếp xúc với \(AB.\)
a) Hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) có chung điểm \(C\)
\(Cx\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) (gt)
\( \Rightarrow \,OC \bot \,Cx\) mà \(O' \in OC\)\( \Rightarrow O'C \bot Cx\)
Vậy \(Cx\) là tiếp tuyến chug hy đường tròn \((O)\) và đường tròn \((O';\,O'C)\) tiếp xúc nhau tại \(C.\)
b) \(O'\) nằm trên phân giác của góc \(CIA\) nên \(O'\) cách \(IA\) một khoảng bằng \(O'C\) nên đường tròn \((O';\,O'C)\) tiếp xúc với \(AB.\)Cho đường thẳng \[OO' = 13cm\]. Dựng đường tròn \((O;\,12cm)\) và \((O';\,5cm)\).
a) Xác định vị trí tương đối của đường tròn \((O)\) và \((O').\)
b) Vẽ đường kính \(AC\) của \((O)\) và \(AD\) của \((O').\)Chứng minh ba điểm \(C,\,B,\,D\) thẳng hàng.
a) Ta có: \(OO' < R + R'\,(13 < 12 + 5)\) nên đường tròn \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).
b) Ta có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (\(AC\) là đường kính)
Tương tự \(\widehat {ABD} = 90^\circ \), do đó \(\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 180^\circ \) nên \(C,\,B,\,D\) thẳng hàng.
