Bài tập Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau và không cắt nhau lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho đoạn OO' và điểm A nằm trên đoạn OO' sao cho OA = 2O'A. Đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') bán kính O'A. Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C. Khi đó:
OD ∕∕ O'C.
\(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).
\(\frac{{AD}}{{AC}} = 3\).
AD = AC.
Đáp án đúng là: C
Xét đường tròn (O') và (O) có O'A = \(\frac{1}{2}\)OA nên \(\frac{{AO}}{{AO'}} = 2\).
Xét ∆O'AC cân tại O' và ∆OAD cân tại D có \(\widehat {OAD} = \widehat {O'AD}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {O'CA}\).
Suy ra \(\widehat {OAD} = \widehat {O'AD}\).
Suy ra ∆OAD ∽ ∆O'AD (g.g) suy ra \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AO}}{{AO'}} = 2\).
Lại có \(\widehat {OAD} = \widehat {O'CA}\) mà hai góc ở vị trí so le trong nên OD ∕∕ O'C.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) ở ngoài nhau. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài, EF là tiếp tuyến chung trong (M và E thuộc (O), N và F thuộc (O'). Tính bán kính của đường tròn (O) khi OO' = 10 cm, MN = 8 cm và EF = 6 cm.
7 cm.
1 cm.
17 cm.
\(\frac{7}{2}\) cm.
Đáp án đúng là: A
Kẻ O'H ⊥ OM và OK ⊥ O'F.
Ta có: OH = R – r; O'K = R + r.
Mà OH2 = O'O2 – MN2; O'K2 = O'O2 – EF2 = 64.
Suy ra OH = 6 và O'K = 8.
Suy ra R – r = 6 và R + r = 8.
Thay R = r + 6 vào R + r = 8 được 2r + 6 = 8 suy ra r = 1.
Do đó R = 7 cm.
Vậy chọn A.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) ở ngoài nhau. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài, EF là tiếp tuyến chung trong (M và E thuộc (O), N và F thuộc (O'). Tính bán kính của đường tròn (O') khi OO' = 13 cm, MN = 12 cm và EF = 5 cm.
7 cm.
1 cm.
\(\frac{{17}}{2}\) cm.
\(\frac{7}{2}\) cm.
Đáp án đúng là: D
Kẻ O'H ⊥ OM và OK ⊥ O'F.
Ta có: OH = R – r; O'K = R + r.
Mà OH2 = O'O2 – MN2 = 25; O'K2 = O'O2 – EF2 = 144.
Suy ra OH = 5 và O'K = 12.
Suy ra R – r = 5 và R + r = 12.
Thay R = r + 5 vào R + r = 12 được 2r + 5 = 12 suy ra r = \(\frac{7}{2}\).
Do đó R = \(\frac{{17}}{2}\) cm.
Vậy chọn D.
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M ∈ (O) và N ∈ (O'). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO', Q là điểm đối xứng với N qua OO'. Khi đó, MN + QP bằng
MP + NQ.
MQ + NP.
2MP.
OP + PQ.
Đáp án đúng là: A
Vì P đối xứng với M qua OO', Q là điểm đối xứng với N qua OO' nên MN = QP; P ∈ (O) và Q ∈ (O').
Mà MP ⊥ OO'; NQ ⊥ OO' nên MP ∕∕ NQ mà \(\widehat {NMP} = \widehat {QPM}\) (do \(\widehat {OMN} = \widehat {OPQ};\widehat {OMP} = \widehat {OPM}\)).
Nên MNPQ là hình thang cân.
Có MN là tiếp tuysn chung nên MN ⊥ OM (tính chất) nên \(\widehat {OMN}\) = 90 ° hay \(\widehat {OMP} + \widehat {PMN} = 90^\circ \).
Ta có: OM = OP = R nên ∆OMP cân tại O.
Suy ra \(\widehat {OPM} = \widehat {OMP}\).
Lại có MNPQ là hình thang cân nên \(\widehat {PMN} = \widehat {QPM}\).
Từ đây suy ra \(\widehat {QPM} + \widehat {QPM} = 90^\circ \). Suy ra QP ⊥ OP tại P.
Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt NM tại E và PQ tại F.
Trong đường tròn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: EM = EA và FP = FA.
Trong đường tròn (O'), theo tính chất hai tiếp tuyến bằng nhau ta có:
EN = EA và FQ = FA.
Suy ra EM = EA = EN = \(\frac{1}{2}MN\).
FP = FA = FQ = \(\frac{1}{2}PQ\).
Suy ra MN + PQ = 2EA + 2FA = 2(EA + FA) = 2EF.
Vì EF là đường trung bình của hình thang MNPQ nên
EF = \(\frac{{MP + NQ}}{2}\) hay MP + NQ = 2EF.
Do đó, MN + PQ = MP + NQ.
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M ∈ (O) ; N ∈ (O'). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO'; Q là điểm đối xứng với N qua OO'. Khi đó, tứ giác MNQP là hình gì?
Hình thang cân.
Hình thang.
Hình thang vuông.
Hình bình hành.
Đáp án đúng là: A
Vì P đối xứng với M qua OO', Q là điểm đối xứng với N qua OO' nên MN = QP; P ∈ (O) và Q ∈ (O').
Mà MP ⊥ OO'; NQ ⊥ OO' nên MP ∕∕ NQ mà \(\widehat {NMP} = \widehat {QPM}\)
(do \(\widehat {OMN} = \widehat {OPQ};\widehat {OMP} = \widehat {OPM}\)).
Nên MNPQ là hình thang cân.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B trong đó O' ∈ (O). Kẻ đường kính O'C của đường tròn (O). Chọn khẳng định sai?
AC = CB.
\(\widehat {CBO'} = 90^\circ \).
CA, CB là hai tiếp tuyến của (O').
CA, CB là hai cát tuyến của (O').
Đáp án đúng là: D
Xét đường tròn (O) có O'C là đường kính, suy ra \(\widehat {CBO'} = \widehat {CAO'}\) hay CB ⊥ O'B tại B và AC ⊥ AO' tại A.
Do đó, AC và BC là hai tiếp tuyến của (O') nên AC = BC (tính chất hai tiếp tuyến bằng nhau).
Do đó, A, B, C đúng.
Vậy chọn D.
Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 7, 8.
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) (R > r) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ các bán kính OB ∕∕ O'D với B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO'. Đường thẳng BD và OO' cắt nhau tại I. Tiếp tuyến chung ngoài GH của (O) và (O') với G, H nằm ở nửa mặt phẳng bờ OO' không chứa B, D.
Tính OI theo R và r.
\(OI = \frac{{R + r}}{{R - r}}\).
\(OI = \frac{{R - r}}{{R + r}}\).
\(OI = \frac{{R\left( {R - r} \right)}}{{R + r}}\).
\(OI = \frac{{R\left( {R + r} \right)}}{{R - r}}\).
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác IOB có OB ∕∕ O'D (gt)
Áp dụng định lí Thalès ta có: \(\frac{{OI}}{{O'I}} = \frac{{OB}}{{O'D}}\) suy ra \(\frac{{OI}}{{O'I}} = \frac{R}{r}\)
mà IO' = IO – OO' = OI – (OA + AO') = OA – (R + r)
Nên \(\frac{{OI}}{{O'I}} = \frac{{OI}}{{OI - (R + r)}} = \frac{R}{r}\) suy ra OI.r = R[OI – (R + r)].
Suy ra OI.R – OI.r = R(R + r)
OI(R – r) = R(R + r)
Suy ra \(OI = \frac{{R\left( {R + r} \right)}}{{R - r}}\).
Chọn câu đúng.
BD, OO' và GH đồng quy.
BD, OO' và GH không đồng quy.
Không có ba đường nào đồng quy.
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: A
Gọi giao điểm của OO' và GH là I'.
Ta có: OG ∕∕ O'H (cùng vuông với GH).
Theo định lí Thalès trong tam giác OG I', ta có:
\(\frac{{OI'}}{{O'I'}} = \frac{{OG}}{{O'H}} = \frac{R}{r}\) hay \(\frac{{OI'}}{{O'I'}} = \frac{{OI}}{{O'I}} = \frac{R}{r}\).
Suy ra I' trùng với I. Vậy BD, OO' và GH đồng quy.
Cho hai đường tròn (O; 12 cm) và (O'; 5 cm), OO' = 13 cm. Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O'). Biết OA là tiếp tuyến của đường tròn (O'), OA là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tính độ dài AB.
\(AB = \frac{{60}}{{13}}\) cm.
\(AB = \frac{{120}}{{13}}\) cm.
AB = 10 cm.
AB = 5 cm.
Đáp án đúng là: B
Ta có: OA2 + O'A2 = 122 + 52 = 169 = 132 = OO'2.
Do đó theo định lí Pythagore đảo, ta có tam giác AOO' vuông tại A.
Suy ra OA ⊥ O'A.
Do đó, có OA la tiếp tuyến của đường tròn (O').
O'A là tiếp tuyến của đường tròn (O).
OO' là đường trung trực vủa đoạn AB.
Gọi H là giao của OO' và AB.
Tam giác AOO' cuông tại A, AH là đường cao.
Nên AH. OO' = OA.AO'.
Suy ra AH = \(\frac{{OA.O'A}}{{OO'}} = \frac{{60}}{{13}}\) cm.
Vậy AB = 2AH = \(\frac{{120}}{{13}}\) cm.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau ở A và B (O và O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB). Kẻ các đường kính BOC và BO'D. Biết rằng OO' = 5 cm,
OB = 4 cm, O'B = 3 cm. Tính diện tích tam giác BCD.
12 cm2.
24 cm2.
48 cm2.
36 cm2.
Đáp án đúng là: B
∆BCD có OO' là đường trung bình suy ra OO' ∕∕ CD.
∆ABC có OI là đường trung bình suy ra OO' ∕∕ CA.
Do đó A, C, D thẳng hàng.
Ta có: ∆BOO' vuông tại B suy ra ∆BCD vuông tại B.
Do đó diện tích tam giác BCD là: S = \(\frac{1}{2}BC.BD = \frac{1}{2}.6.8 = 24\) cm2.
\(\sqrt {13} \) cm.
13 cm.
5 cm.
\[\sqrt 5 \] cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì hai đường tròn (O; 2 cm) và (O1; 1 cm) tiếp xúc ngoài nhau nên ta có:
OO1 = 2 + 1 = 3 cm.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OBO1 vuông tại O ta có:
\({\rm{BO}}_1^2 = {\rm{O}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{OO}}_1^2 = {3^2} + {2^2} = 13\) nên BO1 = \(\sqrt {13} \) cm.
Vậy BO1 = \(\sqrt {13} \) cm.
Cho hai đường tròn (O; R) và (I; r) cắt nhau tại A và B. Gọi H là giao điểm của AB và OI. Chọn khẳng định sai.
OA = OB.
AH là đường cao của tam giác AOI.
OH là đường cao của tam giác OAB.
AH là đường phân giác của tam giác AOI.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì A, B thuộc đường tròn (I; r) nên IA = IB, do đó I thuộc đường trung trực của AB.
Vì A, B thuộc đường tròn (O; R) nên OA = OB, do đó O thuộc đường trung trực của AB.
Suy ra OI là đường trung trực của AB, Mà H là giao điểm của AB và OI nên HA = HB và AB ^ OI tại H.
Tam giác AOI có AH ^ OI nên AH là đường cao của của tam giác AOI.
Tam giác AOB có OH ^ AB nên OH là đường cao của của tam giác OAB.
Khẳng định sai là: AH là đường phân giác của tam giác AOI.
30o.
40o.
20o.
25o.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì 2 đường tròn (O) và (I) có cùng bán kính nên OA = AI = IB = OB. Do đó, tứ giác AOIB là hình thoi. Suy ra OB // AI. Suy ra \(\widehat {{\rm{BOI}}} = \widehat {{\rm{AIO}}} = 30^\circ \). Vậy \(\widehat {{\rm{BOI}}} = 30^\circ .\)
Cho hai nửa đường tròn (O; 2 cm) và (I; 2 cm) tiếp xúc ngoài tại D như hình vẽ:
Biết rằng OB // IC, khi đó:
BC = 8 cm.
BC = 5 cm.
BC = 6 cm.
BC = 4 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì hai nửa đường tròn (O; 2 cm) và (I; 2 cm) tiếp xúc ngoài tại D nên OI = OD + DI = 2 + 2 = 4 cm.
Tứ giác OBCI có: OB // IC, OB = IC (= 2 cm) nên tứ giác OBCI là hình bình hành. Suy ra BC = OI = 4 cm. Vậy BC = 4 cm.
Cho hai đường tròn (C; AC) và đường tròn (A; AB) tiếp xúc trong tại B sao cho C là trung điểm của AB. Tiếp tuyến của (C; CA) tại A cắt (O) tại D. Biết rằng BC = 1 cm, khi đó
CD = 3 cm.
CD = 4 cm.
CD = 5 cm.
CD = \[\sqrt 5 \] cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì C là trung điểm của AB nên AC = CB = 1 cm và AB = 2 cm.
Vì B, D thuộc đường tròn (A; AB) nên AB = AD = 2 cm.
Vì AD là tiếp tuyến của (C; CA) nên AD ^ AC tại A.
Do đó, tam giác ACD vuông tại A.
Suy ra CD2 = AC2 + AD2 = 12 + 22 = 5 (định lý Pythagore) nên CD = \[\sqrt 5 \] cm.
Cho đường tròn (O) đường kính AD = 4 cm. Vẽ đường tròn (D; 2 cm) cắt đường tròn đường kính AD tại B và C.
Tứ giác OBDC là hình thoi.
\(\widehat {{\rm{CBD}}} = 30^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{ABC}}} > 50^\circ \).
Chu vi tam giác ABC nhỏ hơn 10 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì C, B thuộc đường tròn (O) đường kính AD = 4 cm nên OC = OB = 2 cm.
Vì C, B thuộc đường tròn (D; 2 cm) nên CD = BD = 2 cm.
Tứ giác OBDC có: OB = OC = CD = BD (= 2 cm).
Vậy tứ giác OBDC là hình thoi.
b) Đúng.
Vì OB = OD = BD (= 2 cm) nên DOBD đều. Suy ra \(\widehat {{\rm{OBD}}} = 60^\circ .\)
Vì BC là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{OBD}}}\) (do tứ giác OBDC là hình thoi) nên \(\widehat {{\rm{CBD}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{OBD}}} = 30^\circ .\)
Vậy \(\widehat {{\rm{CBD}}} = 30^\circ .\)
c) Đúng.
Vì DABD có BO là đường trung tuyến và BO = \(\frac{1}{2}\)AD nên DABD vuông tại B.
Suy ra \(\widehat {{\rm{ABD}}} = 90^\circ .\)
Ta có: \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ABD}}} - \widehat {{\rm{CBD}}} = 60^\circ \). Vậy \(\widehat {{\rm{ABC}}} > 50^\circ \).
d) Sai.
Gọi E là giao điểm của OD và BC.
Vì tứ giác OBDC là hình thoi nên OE ^ BC và BE = EC.
Suy ra OE là đường trung trực của BC.
Mà A thuộc OE nên AB = AC.
Do đó, DABC cân tại A.
Mà \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 60^\circ \) nên DABC đều.
Vì hình thoi OBDC có E là giao điểm của BD và OD nên ED = OE = 1 cm.
DEBD vuông tại E có: EB = ED. cot\(\widehat {{\rm{CBD}}}\)= 1.cot 30o = \(\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Do đó, BC = 2EC = 2\(\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Chu vi tam giác ABC đều là: \(3 \cdot 2\sqrt 3 = 6\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy chu vi tam giác ABC nhỏ hơn 20 cm.
Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng đó. Vẽ các đường tròn (O; OA) và (B; BA). Vẽ đường thẳng qua A cắt (O; OA) và (B; BA) lần lượt tại C và D. Khi đó:
Hai đường tròn (O; OA) và (B; BA) cắt nhau.
Tam giác ABC vuông tại C.
AB = CD.
BD = 3OC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai.
Vì OB = BA – AO nên hai đường tròn (O; OA) và (B; BA) tiếp xúc trong tại A.
b) Đúng.
Vì DABC có CO là đường trung tuyến và CO = \(\frac{1}{2}\)AB.
Vậy DABC vuông tại C.
c) Sai.
Vì DABC vuông tại C nên BC^ AC.
Vì BA = BD nên DABD cân tại B.
Do đó, BC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó,
suy ra DC = AC.
Vì DABC vuông tại C nên AC < AB.
Lại có: DC = AC.
Vậy CD < AB.
d) Sai.
DBAD có: O là trung điểm của AB, C là trung điểm của AD nên OC là đường trung bình của DBAD.
Vậy BD = 2OC.
Cho hai đường tròn (O; 6,5 cm) và (O1; 7,5 cm) cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB = 12 cm. Gọi I là giao điểm của OO1 và AB, khi đó:
OA > OB.
AI = 6 cm.
OI > 2 cm.
OO1 < 7 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì B, A thuộc đường tròn (O; 6,5 cm) nên OA = OB = 6,5 cm.
Vậy OA = OB.
b) Đúng.
Vì A, B thuộc đường tròn (O1; 7,5 cm) nên AO1 = O1B = 7,5 cm, do đó O1 thuộc đường trung trực của AB.
Vì OA = OB nên O thuộc đường trung trực của AB.
Suy ra OO1 là đường trung trực của AB, mà I là giao điểm của AB và OO1 nên IA = IB = 6 cm và AB ^ OO1 tại I.
Vậy AI = 6 cm.
c) Đúng.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AOI vuông tại I ta có:
OI2 + AI2 = OA2, suy ra \({\rm{OI}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{I}}^2}} = \sqrt {{{6,5}^2} - {6^2}} = 2,5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy OI > 2 cm.
d) Sai.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AO1I vuông tại I ta có:
O1I2 + AI2 = O1A2, suy ra \({{\rm{O}}_1}{\rm{I}} = \sqrt {{{\rm{O}}_1}{{\rm{A}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{I}}^2}} = \sqrt {{{7,5}^2} - {6^2}} = 4,5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Ta có: OO1 = OI + O1I = 2,5 + 4,5 = 7 (cm). Vậy OO1 = 7 cm.
Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng đi qua A (không đi qua hai tâm) cắt (O) và (I) lần lượt tại C và D. Vẽ các đường kính AOE và AIF. Khi đó:
\(\widehat {{\rm{ABE}}} = 90^\circ .\)
Ba điểm E, B, F thẳng hàng.
Tứ giác ECDF là hình thang vuông.
EF = \(\frac{3}{2}\)OI.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì 3 điểm A, B, E thuộc (O; OA) nên OA = OB = OE nên OB = \(\frac{1}{2}\)AE.
DABE có BO là đường trung tuyến và BO = \(\frac{1}{2}\)AE nên DABE vuông tại B.
Vậy \(\widehat {{\rm{ABE}}} = 90^\circ .\)
b) Đúng.
Chứng minh tương tự phần a) ta có: \(\widehat {{\rm{ABF}}} = 90^\circ .\)
Ta có: \(\widehat {{\rm{EBF}}} = \widehat {{\rm{ABE}}} + \widehat {{\rm{ABF}}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ .\)
Vậy ba điểm E, B, F thẳng hàng.
c) Đúng.
Chứng minh tương tự phần a) ta có: \(\widehat {{\rm{ECA}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{FDA}}} = 90^\circ .\)
Do đó, EC ^ CD, FD ^ CD, suy ra EC // DF.
Do đó, tứ giác ECDF là hình thang.
Lại có \(\widehat {{\rm{FDC}}} = 90^\circ \).
Vậy tứ giác ECDF là hình thang vuông.
d) Sai.
Tam giác AEF có: O là trung điểm của AE, I là trung điểm của AF nên OI là đường trung bình của tam giác AEF.
Vậy EF = 2OI.
Cho hai đường tròn (O; 4 cm) và (O1; 2 cm) tiếp xúc ngoài như hình vẽ:
Biết rằng CO1 // OB, khi đó:
OO1 > 6 cm.
CD = 6 cm.
BC = \(2\sqrt {10} \) cm.
Chu vi tứ giác OBCO1 nhỏ hơn 15 cm,
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì hai đường tròn (O; 4 cm) và (O1; 2 cm) tiếp xúc ngoài nên OO1 = 2 + 4 = 6 cm.
Vậy OO1 = 6 cm.
b) Đúng.
Vì D là trung điểm của OB nên DO = DB = 2 cm.
Vì CO1 // OD, CO1 = OD nên tứ giác DOO1C là hình bình hành.
Lại có \(\widehat {{\rm{DO}}{{\rm{O}}_{\rm{1}}}} = 90^\circ \) nên tứ giác DOO1C là hình chữ nhật, suy ra CD = OO1 = 6 cm.
Vậy CD = 6 cm.
c) Đúng.
Vì DOO1C là hình chữ nhật nên DC ^ OB tại D.
Suy ra DBCD vuông tại D.
Do đó, BC2 = BD2 + DC2 = 40 (định lý Pythagore) nên BC = \(2\sqrt {10} \) cm.
Vậy BC = \(2\sqrt {10} \) cm.
d) Sai.
Chu vi tứ giác OBCO1 là: OB + OO1 + CO1 + BC = 12 + \(2\sqrt {10} \) (cm).
Vậy chu vi tứ giác OBCO1 lớn hơn 15 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Vì OB = OC nên DBOC cân tại O.
Do đó, \(\widehat {{\rm{BCO}}} = \widehat {{\rm{CBO}}}\).
Suy ra \(\widehat {{\rm{BOC}}} = 180^\circ - 2\widehat {{\rm{CBO}}}\)
Vì IB = IA nên DAIB cân tại I.
Do đó, \(\widehat {{\rm{ABI}}} = \widehat {{\rm{IAB}}}\).
Suy ra \(\widehat {{\rm{BIA}}} = 180^\circ - 2\widehat {{\rm{ABI}}}\).
Lại có: \(\widehat {{\rm{ABI}}} = \widehat {{\rm{CBO}}}\) (hai góc đối đỉnh).
Suy ra \(\widehat {{\rm{BOC}}} = \widehat {{\rm{BIA}}}\).
DOCB và DIAB có: \(\frac{{{\rm{OC}}}}{{{\rm{IA}}}} = \frac{{{\rm{OB}}}}{{{\rm{BI}}}},\;\,\widehat {{\rm{BOC}}} = \widehat {{\rm{BIA}}}\) nên .
Suy ra \(\frac{{{\rm{CB}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{OB}}}}{{{\rm{BI}}}} = \frac{6}{2} = 3\).
Vậy CB = 3AB.
Cho đoạn thẳng AB và điểm C thuộc đường thẳng đó. Vẽ hai đường tròn đồng tâm bán kính AC và AB. Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (A; AC) tại D cắt (A; AB) tại điểm E (E khác B). Biết rằng \(\widehat {{\rm{DAB}}} = 48^\circ ,\) hỏi số đo góc EAB bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 96
Vì BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AC) tại D nên AD ^ EB tại D.
Vì AE = AB nên tam giác AEB cân tại A.
Do đó, AD là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác đó. S
uy ra \(\widehat {{\rm{EAB}}} = 2\widehat {{\rm{DAB}}} = 96^\circ \).
Vậy \(\widehat {{\rm{EAB}}} = 96^\circ .\)
Cho ba đường tròn (A), (B), (C) đôi một tiếp xúc ngoài nhau như hình vẽ. Biết rằng ba đường tròn có đều có đường kính bằng 2 cm. Hỏi độ dài AH bằng bao nhiêu cm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1,7
Vì I, K thuộc đường tròn (A) nên IA = IK = 2 : 2 = 1 (cm).
Vì H, K thuộc đường tròn (B) nên HB = BK = 2 : 2 = 1 (cm).
Vì I, H thuộc đường tròn (C) nên IC = HC = 2 : 2 = 1 (cm).
Ta có: AB = KA + KB = 2 cm, AC = IA + IC = 2 cm, BC = HB + HC = 2 cm.
Do đó, AB = AC = BC nên tam giác ABC đều.
Suy ra AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác ABC đều.
Do đó, tam giác AHB vuông tại H nên AH2 + HB2 = AB2 (định lý Pythagore).
Suy ra \({\rm{AH}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{B}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \approx 1,7\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy AH ≈ 1,7 cm.
Cho hai đường tròn (O) và (B) tiếp xúc ngoài tại A như hình vẽ:
Biết rằng OC // BD. Hỏi tổng số đo hai góc ACD và ADC bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 90
Vì OC // BD nên \(\widehat {{\rm{AOC}}} = \widehat {{\rm{DBx}}}\).
Mà \(\widehat {{\rm{ABD}}} + \widehat {{\rm{DBx}}} = 180^\circ \)nên \(\widehat {{\rm{ABD}}} + \widehat {{\rm{AOC}}} = 180^\circ \).
Vì OA = OC nên DAOC cân tại O.
Suy ra \(\widehat {{\rm{OCA}}} = \widehat {{\rm{CAO}}}\), do đó \(\widehat {{\rm{CAO}}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{\rm{AOC}}}}}{2}\).
Vì BD = AB nên DABD cân tại B.
Suy ra \(\widehat {{\rm{BDA}}} = \widehat {{\rm{BAD}}}\), do đó \(\widehat {{\rm{BAD}}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{\rm{ABD}}}}}{2}\).
Do đó, \(\widehat {{\rm{BAD}}} + \widehat {{\rm{CAO}}} = \frac{{360^\circ - \left( {\widehat {{\rm{ABD}}} + \widehat {{\rm{AOC}}}} \right)}}{2} = \frac{{360^\circ - 180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Ta có: \(\widehat {{\rm{CAD}}} = 180^\circ - \left( {\widehat {{\rm{BAD}}} + \widehat {{\rm{CAO}}}} \right) = 90^\circ \).
Vậy \(\widehat {{\rm{ACD}}} + \widehat {{\rm{ADC}}} = 90^\circ .\)
Cho hai đường tròn (O; 16 cm) và (I; 10 cm) tiếp xúc ngoài tại M. Vẽ một đường thẳng là tiếp tuyến với (O; 16 cm) tại A và với (I; 10 cm) tại B (đường thẳng này không cắt đoạn thẳng OI). Hỏi đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu cm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Cho hai đường tròn (O; 16 cm) và (I; 10 cm) tiếp xúc ngoài tại M. Vẽ một đường thẳng là tiếp tuyến với (O; 16 cm) tại A và với (I; 10 cm) tại B (đường thẳng này không cắt đoạn thẳng OI). Hỏi đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu cm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 25,3
Vì 2 đường tròn (O; 16 cm) và (I; 10 cm) tiếp xúc ngoài tại M nên OI = OM + MI = 26 cm.
Kẻ BC // OI (C thuộc OA).
Vì AB tiếp xúc với (O; OA) tại A và tiếp xúc với (I; IB) tại B nên OA ^ AB tại A và OA ^ IB tại B. Do đó, IB // OA.
Tứ giác OCBI có: IB // OC, BC // OI nên tứ giác OCBI là hình bình hành.
Suy ra CB = OI = 26 cm, OC = IB = 10 cm.
Ta có: AC = OA – OC = 16 – 10 = 6 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lý Pythagore).
Suy ra \({\rm{AB}} = \sqrt {{\rm{C}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{C}}^2}} = \sqrt {{{26}^2} - {6^2}} = 8\sqrt {10} \approx 25,3\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy AB ≈ 25,3 cm.
