Bài tập Vận dụng tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song và chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 7 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+ Theo tiên đề Euclid: chỉ có một đường thẳng đi qua A và song song với xy

Mà hai đường thẳng AB và AC đều đi qua A và song song với xy

Suy ra hai đường thẳng AB và AC trùng nhau.

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Suy ra các khẳng định A là đúng, B và D là sai.

Ta xét trường hợp B nằm giữa A và C (hình vẽ)

Vì B nằm giữa A và C (theo điều giả sử)

Suy ra AC = AB + BC.

Do đó khẳng định C là sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta xét hai đường thẳng AB và AC. Nếu AB và AC cùng đi qua A và cùng song song với một đường thẳng d, thì theo Tiên đề Euclid, AB và AC trùng nhau. Do đó A, B, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Theo tiên đề Euclid, qua điểm A ở ngoài đường thẳng d, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với d. Do cả m và n đều đi qua A và song song với d nên m và n trùng nhau. Vậy A, B, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng BC, vẽ đường thẳng x // BC và đường thẳng y // BC. Theo tiên đề Euclid, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Do đó, hai đường thẳng x và y phải trùng nhau.

A sai vì: Hai đường thẳng x và y trùng nhau nên không thể vuông góc với nhau.

B đúng vì: Hai đường thẳng x và y trùng nhau (theo tiên đề Euclid).

C đúng vì: Hai đường thẳng x và y trùng nhau, suy ra ba điểm M, A, N thẳng hàng.

D đúng vì: M, A, N cùng nằm trên đường thẳng x song song với BC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khẳng định i) đúng vì: \(\widehat {xEF} = \widehat {EFG}\) và hai góc này nằm ở vị trí so le trong, nên Ex // FG.

Khẳng định ii) đúng vì: \(\widehat {yEG} = \widehat {EGF}\) và hai góc này nằm ở vị trí so le trong, nên Ey // FG.

Khẳng định iii) sai vì: Qua điểm E nằm ngoài đường thẳng FG, ta vẽ được hai đường thẳng Ex và Ey cùng song song với FG. Theo tiên đề Euclid, qua điểm E chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với FG. Do đó, Ex và Ey phải cùng nằm trên một đường thẳng, suy ra hai đường thẳng Ex và Ey trùng nhau, không thể song song với nhau.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Do đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a tại điểm H nên c cắt a.

Theo tiên đề Euclid, qua điểm H chỉ có một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng b, đó là đường thẳng a. Do đó đường thẳng c (cũng đi qua H) không thể cũng song song với đường thẳng b. Vậy đường thẳng c cắt đường thẳng b.

Giả sử c cắt b tại K. Để a // b thì các góc đồng vị phải bằng nhau. Do đó, \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{K_1}} = 90^\circ .\)

Vậy đường thẳng c cắt đường thẳng b và vuông góc với b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.        c) Sai.             d) Đúng.

a) Sai. Do \(\widehat {{F_1}}\) và \(\widehat {{F_2}}\) là hai góc kề bù nên ta có: \(\widehat {{F_1}} + \widehat {{F_2}} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {{F_2}} = 180^\circ - \widehat {{F_1}} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

b) Đúng. Quan sát hình vẽ, ta có \(\widehat {{E_1}}\) và \(\widehat {{F_2}}\) là hai góc nằm ở vị trí đồng vị.

c) Sai. Ta có: \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_2}} = 60^\circ \) và hai góc này ở vị trí đồng vị nên p // q.

Do đó, p và q không vuông góc với nhau.

d) Đúng. Ta có p // q và đường thẳng p đi qua điểm E.

Theo Tiên đề Euclid, qua một điểm E nằm ngoài đường thẳng q, chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với q.

Do đó, đường thẳng p' đi qua E và song song với q bắt buộc phải trùng với đường thẳng p.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.        c) Sai.             d) Sai.

a) Đúng. Vì D thuộc tia đối của tia AB nên A nằm giữa B và D.

Ta có \(\widehat {xAD}\) và \(\widehat {ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị.

Lại có \(\widehat {xAD} = \widehat {ABC}\), suy ra Ax // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

b) Đúng. Ta có \(\widehat {yAB}\) và \(\widehat {ABC}\) là hai góc ở vị trí so le trong.

Lại có, \(\widehat {yAB} = \widehat {ABC}\), suy ra Ay // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

c) Sai. Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng BC, ta có Ax // BC và Ay // BC.

Theo tiên đề Euclid, qua điểm A chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với BC.

Do đó, hai đường thẳng chứa tia Ax và tia Ay phải trùng nhau.

Kết hợp với giả thiết Ax và Ay nằm về hai phía khác nhau so với AB, suy ra Ax và Ay là hai tia đối nhau (tạo thành góc bẹt 180°, không phải 90°).

d) Sai. Vì Ax và Ay là hai tia đối nhau nên đường thẳng xy đi qua các điểm E, A, F. Suy ra ba điểm E, A, F thẳng hàng, do đó chúng không thể tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.        c) Đúng.         d) Đúng.

a) Đúng. Ta có b ⊥ a (theo giả thiết) và c ⊥ a (theo giả thiết).

Vì hai đường thẳng b và c cùng vuông góc với đường thẳng a nên chúng song song với nhau. Suy ra c // b.

b) Đúng. Chứng minh tương tự câu a, ta được e // b.

c) Đúng. Ta có: c // b (qua M) và e // b (qua M).

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng b, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với b. Do đó hai đường thẳng c và e trùng nhau.

d) Đúng. Do hai đường thẳng c và e trùng nhau mà A thuộc đường thẳng c nên A cũng thuộc đường thẳng e. Do đó, đường thẳng e đi qua điểm A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.        c) Đúng.         d) Sai.

a) Đúng. Theo tiên đề Euclid, qua điểm M nằm ngoài đường thẳng BC, chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với BC.

b) Đúng. Theo đề bài, N là giao điểm của đường thẳng x và cạnh AC suy ra N ∈ x.

Vì x // BC nên đường thẳng x đi qua điểm N và song song với BC.

Mặt khác, đường thẳng y đi qua N và y // BC.

Theo Tiên đề Euclid, qua điểm N nằm ngoài BC chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với BC. Do đó, đường thẳng x và đường thẳng y trùng nhau.

c) Đúng. Do M, N, P đều thuộc đường thẳng x, còn Q thuộc đường thẳng y. Vì hai đường thẳng x và y trùng nhau nên cả 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên đường thẳng x (cũng là đường thẳng y).

d) Sai. Điểm K nằm ngoài đường thẳng x (nghĩa là K không nằm trên x và y). Qua điểm K, đường thẳng z // BC sẽ tạo ra một đường thẳng song song khác biệt với đường thẳng y. Nếu z trùng y thì K bắt buộc phải thuộc y (trái với giả thiết K nằm ngoài x).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.        c) Sai.             d) Sai.

a) Sai. Theo Tiên đề Euclid, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Điểm A nằm ngoài đường thẳng BC nên qua A chỉ vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với BC.

b) Đúng. Vì qua điểm A chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với BC (theo Tiên đề Euclid), nên nếu qua A kẻ thêm đường thẳng a' song song với BC thì đường thẳng a' bắt buộc phải trùng với đường thẳng a.

c) Sai. Điểm B nằm ngoài đường thẳng AC. Theo Tiên đề Euclid, qua điểm B chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với AC (chính là đường thẳng b). Do đó, không thể kẻ được hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua B và song song với AC.

d) Sai. Vì c // AB và a cắt AB tại A nên a cũng cắt c.

Tương tự, c // AB và b cắt AB tại B nên b cũng cắt c.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1.

Theo Tiên đề Euclid về đường thẳng song song:

Qua một điểm A nằm ngoài một đường thẳng d, chỉ có duy nhất 1 đường thẳng song song với đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 180.

Do đường thẳng chứa Ax và Ay cùng đi qua A và song song với BC, theo Tiên đề Euclid hai đường thẳng này trùng nhau. Suy ra Ax và Ay là hai tia đối nhau, tạo thành góc bẹt bằng 180°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 50.

Các đường thẳng phân biệt được đánh số theo dãy số lẻ: 1, 3, 5, ..., 101.

Số lượng các đường thẳng vẽ qua A là số các số hạng của dãy số lẻ từ 1 đến 101 là:

\(\frac{{101 - 1}}{2} + 1 = 51\) (đường thẳng).

Theo Tiên đề Euclid, qua điểm A nằm ngoài đường thẳng d, chỉ có duy nhất 1 đường thẳng song song với d.

Vì tất cả các đường thẳng còn lại đều đi qua A và phân biệt với đường thẳng song song đó, nên chúng bắt buộc phải cắt đường thẳng d.

Số đường thẳng cắt d là: 51 – 1 = 50 (đường thẳng).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 70.

Ta có \(\widehat {xAC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \). Mà hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra Ax // BC.

Chứng minh tương tự ta cũng được Ay // BC.

Theo tiên đề Euclid, qua điểm A nằm ngoài đường thẳng BC, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với BC. Do đó, đường thẳng chứa tia Ax và đường thẳng chứa Ay trùng nhau, hay Ax và Ay là hai tia đối nhau, do đó \(\widehat {xAy}\) là góc bẹt hay \(\widehat {xAy} = 180^\circ .\)

Vì tia AC và AB nằm giữa hai tia Ax và Ay nên ta có:

\(\widehat {xAC} + \widehat {BAC} + \widehat {yAB} = \widehat {xAy} = 180^\circ \)

\(45^\circ + \widehat {BAC} + 65^\circ = 180^\circ \)

\(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 65^\circ } \right) = 70^\circ \).

Vậy số đo góc BAC bằng 70°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

⦁ Khẳng định i) đúng vì: Xét \(\Delta ABC\) có tổng ba góc bằng 180° nên ta có

\(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {B\,} + \widehat {C\,}} \right) = 180^\circ - \left( {65^\circ + 65^\circ } \right) = 50^\circ \).

Vì \(\widehat {DAC}\) và \(\widehat {BAC}\) là hai góc kề bù nên ta có: \(\widehat {DAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).

⦁ Khẳng định ii) đúng vì: Vì Ax là tia phân giác của \(\widehat {DAC}\) nên \(\widehat {xAC} = \frac{{\widehat {DAC}}}{2} = \frac{{130^\circ }}{2} = 65^\circ .\)

Do \(\widehat {xAC} = \widehat {ACB} = 65^\circ \), mà hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra Ax // BC.

⦁ Khẳng định iii) đúng vì: Theo đề bài \(\widehat {yAB} = 65^\circ \) suy ra \(\widehat {yAB} = \widehat {ABC} = 65^\circ \).

Vì hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra Ay // BC.

Khẳng định iv) sai vì: Do Ax // BC và Ay // BC, theo tiên đề Euclid qua điểm A chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với BC. Do đó, hai tia Ax và Ay nằm trên cùng một đường thẳng (trong trường hợp này là hai tia đối nhau) nên chúng không vuông góc.

Vậy có 3 khẳng định đúng.