Bài tập Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số hay nhất

❶  Hàm số xác định khi $x^2+1\ne 0$ ( luôn đúng với mọi $x\in ℝ$ )

❷ Hàm số xác định khi

$x^2-x+3\ne 0\iff x^2-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{11}{4}\ne 0\iff {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}\ne 0$ ( luôn đúng với mọi )

❶  Hàm số xác định khi $2x-6\ne 0\iff x\ne 3$ ( luôn đúng)

Vậy điều kiện xác định của hàm số là $x\ne 3$.

❷ Hàm số xác định khi $2x^2-x-1\ne 0\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne -\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}\ne 0$ với mọi $x\in ℝ$

❶  Hàm số xác định khi

$x+2\ge 0\iff x\ge 2$ ( luôn đúng)

❷ Hàm số xác định khi

$\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ 7+x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2\\ x\ge -7\end{array}\right.\iff -7\le x\le 2$

❶ Hàm số xác định khi

$\begin{array}{l}-x^2+5x-6\ge 0\\ \iff x^2-5x+6\le 0\\ \iff (x-3)(x-2)\le 0\\ \iff 2\le x\le 3\end{array}$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là

❷ Hàm số xác định khi

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^2-x+1\ge 0\\ x+\sqrt{x^2-x+1}\ge 0\end{array}\right.\\ \iff \sqrt{x^2-x+1}\ge -x\\ \iff \left[\begin{array}{l}-x<0\\ \left\{\begin{array}{l}-x\ge 0\\ x^2-x+1\ge x^2\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x>0\\ x\ge 0\end{array}\right.\end{array}$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là $D=ℝ$

❶Hàm số xác định khi

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}1-x\ge 0\\ x^2-4>0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\le 1\\ (x-2)(x+2)>0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\le 1\\ \left[\begin{array}{l}x<-2\\ x>2\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \iff x<-2\end{array}$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là : $D=(-\infty ;2)$

❷Hàm số xác định khi

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}5-2x\ge 0\\ x-2\ne 0\\ x-1>0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{5}{2}\\ x\ne 2\\ x>1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}1<x\le \frac{5}{2}\\ x\ne 2\end{array}\right.\end{array}$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là: $D=\left(1;\frac{5}{2}\right]\backslash \left\{2\right\}$

Hàm số xác định khi

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\left|x\right|-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x.x-1>0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ (x-1)(x+1)>0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x-1>0\end{array}\right.\\ \iff x>1\end{array}$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là: $D=\left(1;+\infty \right)$

Hàm số xác định khi

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}4-x^2\ge 0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}(x-2)(x+2)\ge 0\\ x\ne -1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2\le x\le 2\\ x\ne -1\end{array}\right.\end{array}$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là: $D=\left[-2;2\right]\backslash \left\{1\right\}$

❶ Hàm số xác định khi

$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \sqrt{x}-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \sqrt{x}\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 1\end{array}\right.\iff 0\le x\ne 1$

Vậy điều kiện xác định của hàm số là: $D=\left(0;+\infty \right)\backslash \left\{1\right\}$

❷ 

$\begin{array}{l}f(4+2\sqrt{3})=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+1}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}-1}\\ =\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2}+1}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2}-1}\\ =\frac{\sqrt{3}+1+1}{\sqrt{3}+1-1}\\ =\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}}\end{array}$

❸ Để $f\left(x\right)=\sqrt{3}$ thì:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{3}\iff \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{3}\\ \iff \sqrt{x}+1=\sqrt{3}.\sqrt{x}-\sqrt{3}\\ \iff \left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{x}=\sqrt{3}+1\\ \iff \sqrt{x}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\ \iff x=\frac{4+2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}\end{array}$

❹ Để $f\left(x\right)=f\left(x^2\right)$ thì:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=f\left(x^2\right)\iff \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1}{x+1}\\ \iff \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}\\ \iff x+1={\left(\sqrt{x}-1\right)}^2\\ \iff \sqrt{x}=0\\ \iff x=0\end{array}$

Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi

$x-2m+1\ne 0\iff x\ne 2m-1$

Suy ra, hàm số xác định trên khi và chỉ khi

$2m-1\notin \left[0;1\right)\iff \left[\begin{array}{l}2m-1<0\\ 2m-1\ge 1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m<\frac{1}{2}\\ m\ge 1\end{array}\right.$

Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}-x+2m-1\ge 0\\ 2x-m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2m-1\\ x>\frac{m}{2}\end{array}\right.$

Suy ra, hàm số xác định trên khi và chỉ khi

$\frac{m}{2}\le 1<3\le 2m-1\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 2\\ m\ge 2\end{array}\right.\iff m=2$

❶ Vì $a=2>0$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$

❷ Vì $a=-3<0$ nên hàm số nghịch biến trên $ℝ$

❸ Vì $a=m^2+1>0,\forall m$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$

❹ Với $m>0$, hàm số đồng biến trên $ℝ,m<0$ hàm số nghịch biến trên $ℝ$

❶ Với $x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{2x_1^2-2x_2^2}{x_1-x_2}=2(x_1+x_2)>0,\forall x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❷  Với $x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-6x_1^2+6x_2^2}{x_1-x_2}=-6(x_1+x_2)<0,\forall x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❸ Với $x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{{x_1}^2+2x_1+2-x_2^2-2x_2-3}{x_1-x_2}=x_1+x_2+2>0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-1;+\infty \right)$

Với $x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{{x_1}^2+2x_1+2-x_2^2-2x_2-3}{x_1-x_2}=x_1+x_2+2>0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-1;+\infty \right)$

❹ Với $x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-{x_1}^2+4x_1+1+x_2^2-4x_2-1}{x_1-x_2}=-x_1-x_2+4<0,\forall x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Với $x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-{x_1}^2+4x_1+1+x_2^2-4x_2-1}{x_1-x_2}=-x_1-x_2+4>0,\forall x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;2\right)$

❶ Với mọi $x,y\in \left(1;+\infty \right),x\ne y$. Lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\frac{x+1}{x-1}-\frac{y+1}{y-1}}{x-y}\\ =\frac{-2}{(x-1)(y-1)}<0\end{array}$

 (do $x>1,y>1$ nên $(x-1)(y-1)>0$).

Do đó hàm số nghịch biến trên $\left(1;+\infty \right)$

❷ Với mọi $x,y\in \left(-\infty ;-2\right),x\ne y$. Lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\frac{x}{2x+3}-\frac{y}{2y+3}}{x-y}\\ =\frac{-2}{(2x+3)(2y+3)}>0\end{array}$

(do $x<-2,y<-2$ nên $(2x+3)(2y+3)>0$).

Do đó hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$

❶ Điều kiện xác định của hàm số $\left[1;+\infty \right)$

Với mọi $x,y\in \left[1;+\infty \right),x\ne y$. Ta lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}}{x-y}\\ =\frac{x-y}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)\left(x-y\right)}\\ =\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}>0\end{array}$

Do đó hàm số đồng biến trên điều kiện xác định.

❷  Điều kiện xác định của hàm số $\left(-\infty ;2\right]$

Với mọi $x,y\in \left(-\infty ;2\right],x\ne y$. Ta lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{2-y}}{x-y}\\ =\frac{y-x}{\left(\sqrt{2-x}-\sqrt{2-y}\right)\left(y-x\right)}\\ =\frac{-1}{\sqrt{2-x}-\sqrt{2-y}}>0\end{array}$

Do đó hàm số nghịch biến trên điều kiện xác định.

❶ Điều kiện xác định của hàm số $\left(0;+\infty \right)$

Với mọi $x,y\in \left(0;+\infty \right),x\ne y$. Ta lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}}{x-y}\\ =\frac{(x-y)(x+y)}{\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}\right)\left(x-y\right)}\\ =\frac{x+y}{\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}}>0\end{array}$

Do đó hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❷   Điều kiện xác định của hàm số $\left(-\infty ;-2\right)$

Với mọi $x,y\in \left(-\infty ;-2\right),x\ne y$. Ta lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x^2+4x+5\right)-\left(y^2+4y+5\right)}{x-y}\\ =\frac{(x-y)(x+y+4)}{x-y}\\ =x+y+4\end{array}$

Do $x<-2,y<-2$ nên $x+y+4<0$.

Do đó hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$

❶ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x,y\in ℝ,x\ne y$, lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{3x^3-3y^3}{x-y}\\ =\frac{3(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}\\ =x^2+xy+y^2\end{array}$

Do $x^2+xy+y^2={\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{y}^2>0\forall x,y\in ℝ$ ( x, y không đồng thời bằng 0) nên $A>0$

Vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

❷ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x,y\in ℝ,x\ne y$, lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x^3-3x^2+6x+1\right)-\left(y^3-3y^2+6y+1\right)}{x-y}\\ =\frac{\left({\left(x-1\right)}^3+3x+2\right)\left({\left(y-1\right)}^3+3y+2\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x-y\right)\left({\left(x-1\right)}^2+(x-1)(y-1)+{(y-1)}^2+3\right)}{x-y}\\ ={\left(x-1\right)}^2+(x-1)(y-1)+{(y-1)}^2+3\end{array}$

Do ${\left(x-1\right)}^2+(x-1)(y-1)+{(y-1)}^2+3={\left[(x-1)+\frac{1}{2}(y-1)\right]}^2+\frac{3}{4}{(y-1)}^2+3>0\forall x,y\in ℝ$ nên $A>0$.

Vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

❸  Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x,y\in ℝ,x\ne y$, lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x^3+x+1\right)-\left(y^3+y+1\right)}{x-y}\\ =\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2+1)}{x-y}\\ =x^2+xy+y^2+1>0\end{array}$

Vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

❹ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x,y\in ℝ,x\ne y$, lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x^3+2x^2+3x+1\right)-\left(y^3+2y^2+3y+1\right)}{x-y}\\ =\frac{\left({\left(x+1\right)}^3-{\left(y+1\right)}^3\right)-\left(x^2-y^2\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x-y\right)\left({\left(x+1\right)}^2+(x+1)(y+1)+{(y+1)}^2+x+y\right)}{x-y}\\ ={\left(x+1\right)}^2+(x+1)(y+1)+{(y+1)}^2-(x+y)\\ =x^2+xy+y^2+2x+2y+3\\ ={\left(x+\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(y+\frac{2}{3}\right)}^2+\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(y+\frac{2}{3}\right)+\frac{5}{3}\\ ={\left[\left(x+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+\frac{2}{3}\right)\right]}^2+\frac{3}{4}{\left(y+\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{5}{3}\end{array}$

Biểu thức cuối luôn dương với mọi $x,y\in ℝ$. Do đó hàm số đồng biến trên $ℝ$.