Bài tập Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Trong ΔABC vuông tại A ta có:

1. BC=AB2+AC2=25
2. AB2=BC.BH⇒BH=AB2BC=9
3. AC2=BC.CH⇒CH=AC2BC=16
4. AC.AB=AH.BC⇒AH=AB.ACBC=12

Gọi độ dài các cạnh AB, AC (AB<AC) lần lượt là x, y với x>y>0

Khi đó ta có hệ AH.BC=AB.AC1AH2=1AB2+1AC2⇔x.y=6(1)x2+y2(xy)2(2)

Giải hệ (1) và (2) suy ra x=AB=2y=AC=3

Do đó

 AB2=BC.BH⇒BH=AB2BC=913cmAC2=BC.CH⇒CH=AC2BC=413cm

1. tanC=cotB=BHAH⇒BH=AH.tanC=9cm
2. tanC=AHCH⇒CH=AHtanC=16cm
3. AB2=BC.BH=(9+16).9=144⇒AB=12cm
4. AC2=BC.CH=(9+16).16=400⇒AC=20cm
5. 

Gọi độ dài cạnh CH là x với x>0

Khi đó ta có AC2=CH.BC⇔x(x+1)=20⇔x=4(nhận)x=−5(loaị)

Do vậy BC=BH+CH=5cm

AB2=BH.BC=5⇒AB=5cmAH.BC=AB.AC⇒AH=AB.ACBC=2cm

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có

BC=AB2+AC2=5cm,CI=CA2+AI2=25cmCH=AC2BC=165cm,BH=AB2BC=95cmAH.BC=AB.AC⇒AH=AB.ACBC=125cm

Kẻ IF⊥BC⇒IF∥AH

 ⇒ΔBFI~ΔBHA nên BIBA=BFBH⇒BF=13.BH=915cm

⇒ΔCHE~ΔCFI nên CECI=CHCF⇒CE=CH.CICF=CH.CIBC.BF=16511cm

Vì AD là đường phân giác của góc A nên

DBDC=ABAC⇒DBDB+DC=ABAB+AC

⇒DB=a.cb+c và DC=a.bb+c

Ta phải chứng minh AD2=AB.AC−DB.DC

Thật vậy, trên tia đối AD lấy E sao cho CBE^=DAC^=DAB^

⇒ΔCED~ΔABD (g.g) suy ra DB.DC=AD.DE và ABD^=AEC^

⇒ΔABD~ΔAEC (g.g) suy ra AB.AC=AD.AE

Do đó AB.AC−DB.DC=AD(AE−DE)=AD2

Khi đó

AD2=AB.AC−DB.DC=bc−acb+c.abb+c=bc.1−a2(b+c)2=bcb2+c2+2bc−a2(b+c)2

Theo giả thiết tam giác ABC  vuông tại A nên b2+c2=a2

Do đó AD2=2b2c2(b+c)2⇒AD=2b+cbc

1.

sinC2=ONOC=IPIC⇒rOC=r2IC⇒r2=r.ICOC(1)ΔCHI~ΔCAO⇒ICOC=HCAC(2)ΔHAC~ΔABC⇒HCAC=ACBC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra r2=r.ACBC=r.ba

Hoàn toàn tương tự suy ra r1=r.MKOE=r.ca

2. Ta có r12+r22=r2b2+c2a2=r2

Tất cả các khẳng định trên đều đúng vì

1. AB2=DB.BCAC2=DC.BC⇒ABAC2=AB2AC2=DB.BCDC.BC=DBDC(1)
2. DB2=BE.ABDC2=CF.AC⇒DBDC2=DB2DC2=BE.ABCF.AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra

DBDC2=ABAC4=BE.ABCF.AC⇒ABAC3=BECF

3.

AD2=DC.DB⇒AD4=DC2.DB2(3)DC2=CF.AC(4)DB2=BE.AB(5)AC.AB=AD.BC(6)

Thay (4), (5), (6) vào (3) ta suy ra AD3=BC.EB.CF