38 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông có đáp án (Phần 2)

Ta có AB : AC = 4 : 5 $\iff \frac{AB}{4}=\frac{AC}{5}\Rightarrow \frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{25}$$=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{16+25}=\frac{41}{41}=1$

(Vì theo định lý Py-ta-go ta có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\iff A{B}^2+A{C}^2={\left(\sqrt{41}\right)}^2=41$)

Nên  $\frac{A{B}^2}{16}=1\Rightarrow$$A{B}^2=16\Rightarrow$AB = 4;  $\frac{A{C}^2}{25}=1\Rightarrow$AC = 5

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

$A{C}^2=CH.BC$$\Rightarrow CH=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{25}{\sqrt{41}}\approx 3,9$

Vậy CH $\approx$  3,9

Đáp án cần chọn là: D

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\iff BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{144}{20}=7,2$ => CH = BC – BH = 20 – 7,2 = 12,8

Vậy x = 7,2; y = 12,8

Đáp án cần chọn là: C

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\iff BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{100}{16}=6,25$ => CH = BC – BH = 16 – 6,25 = 9,75

Vậy x = 6,25; y = 9,75

Đáp án cần chọn là: B

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2}\iff A{C}^2=\frac{A{B}^2.A{C}^2}{A{B}^2+A{C}^2}$

$\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}}=\frac{12.13}{\sqrt{{12}^2+{13}^2}}\approx 8,82$

Vậy x $\approx$ 8,82

Đáp án cần chọn là: B

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}}=\frac{15.20}{\sqrt{{15}^2+{20}^2}}=12$

Vậy x = 12

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: AB : AC = 3 : 4, đặt AB = 3a; AC = 4a (a > 0)

Theo hệ thức lượng: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{36}=\frac{1}{9a^2}+\frac{1}{16a^2}\Rightarrow \frac{1}{36}=\frac{25}{144a^2}$

=> a = $\frac{5}{2}$(TM) => AB = 7,5; AC = 10

Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có:

CH = $\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\sqrt{100-36}=8$

Vậy CH = 8

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: AB : AC = 3 : 7, đặt AB = 3a; AC = 7a (a > 0)

Theo hệ thức lượng: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{{42}^2}=\frac{1}{9a^2}+\frac{1}{49a^2}\Rightarrow \frac{1}{1764}=\frac{58}{441a^2}$

$\Rightarrow 441a^2=102312$$\Rightarrow A=2\sqrt{58}\left(TM\right)$$\Rightarrow AB=6\sqrt{58};$$AC=14\sqrt{58}$

Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có:

CH = $\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\left(14\sqrt{58}\right)}^2-{42}^2}=98$

Vậy CH = 98

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}\Rightarrow$HC = 4HB

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

$A{H}^2=BH.CH\iff 4^2=4B{H}^2$ $\iff BH=2\left(cm\right)\Rightarrow CH=8\left(cm\right)$

Ta có: BC = BH + HC = 2 + 8 = 10 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

$\Rightarrow A{B}^2=BH.BC\iff A{B}^2=2.10$$\iff AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\left(cm\right)$

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\iff 20+A{C}^2=100\iff A{C}^2=80\Rightarrow AC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\left(cm\right)$

Vậy chu vi tam giác ABC là:$4\sqrt{5}+2\sqrt{5}+10=6\sqrt{5}+10cm$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{7}\Rightarrow AB=\frac{3}{7}AC$

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\iff \frac{1}{{42}^2}=\frac{49}{9A{C}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\iff \frac{1}{{42}^2}=\frac{58}{9A{C}^2}$$\iff A{C}^2=11368$

 AC = $14\sqrt{58}$(cm),  AB = $\frac{3}{7}.14\sqrt{58}$= $6\sqrt{58}$(cm)

Áp dụng định lý Pytago cho ABH vuông tại A có: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\iff B{C}^2={\left(6\sqrt{58}\right)}^2+{\left(14\sqrt{58}\right)}^2$$\iff B{C}^2=13456\Rightarrow BC=116cm$

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{H}^2=BH.CH\Rightarrow A{H}^2=1.4\Rightarrow AH=2$

Áp dụng định lý Pytagp cho tam giác vuông AHB; AHC ta có:

AB = $\sqrt{A{H}^2+H{B}^2}=\sqrt{5}$; AC = $\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=2\sqrt{5}$

Vậy x = $\sqrt{5}$ ; y = 2$\sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{H}^2=BH.CH\Rightarrow A{H}^2=2.5\Rightarrow AH=\sqrt{10}$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB, AHC ta có

AB = $\sqrt{A{H}^2+H{B}^2}=\sqrt{10+4}=\sqrt{14}$;

AC = $\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{10+25}=\sqrt{35}$

Vậy  x = $\sqrt{14}$ ; y = $\sqrt{35}$

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{M{D}^2}=\frac{1}{M{N}^2}+\frac{1}{M{P}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{36}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\iff \frac{1}{36}=\frac{2}{x^2}$$\Rightarrow x^2=72\iff x=6\sqrt{2}$

Vậy x = $6\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{M{D}^2}=\frac{1}{M{N}^2}+\frac{1}{M{P}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{64}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\iff \frac{1}{64}=\frac{2}{x^2}$$\Rightarrow x^2=128\iff x=8\sqrt{2}$

Vậy x = $8\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Kẻ BE $\perp$CD tại E

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}={90}^{\circ }$ ) nên BE = AD = 12cm

Đặt EC = x (0 < x < 25) thì DE = 25 – x

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:

$B{E}^2=ED.EC\iff x(25-x)=144\iff x^2-25x+144=0$

 $x^2-16x-9x+144=0$ <=> x(x – 16) – 9(x – 16) = 0 <=> (x – 16)(x – 9) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=16\\ x=9\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Với EC = 16, theo định lý Pytago ta có BC = $\sqrt{B{E}^2+E{C}^2}=\sqrt{{12}^2+{16}^2}=20$ (loại)

Với EC = 9, theo định lý Pytago ta có BC = $\sqrt{B{E}^2+E{C}^2}=\sqrt{{12}^2+9^2}=15$ (nhận)

Vậy BC = 15cm

Đáp án cần chọn là: A

Kẻ BE$\perp$CD tại E

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}={90}^{\circ }$ ) nên BE = AD = 10cm

Đặt EC = x (0 < x < 20) thì DE = 20 – x

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:

$B{E}^2=ED.EC\iff$x(20 – x) = 100$\iff x^2-20X+100=0$

$\iff {(x-10)}^2=0\iff$x = 10 (tm)

Với EC = 10, theo định lý Pytago ta có BC = $\sqrt{B{E}^2+E{C}^2}=\sqrt{{10}^2+{10}^2}=10\sqrt{2}$

Vậy BC =$10\sqrt{2}$cm

Đáp án cần chọn là: B

Theo giả thiết AB : AC = 3 : 4

Suy ra $\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{AB+AC}{3+4}=3$. Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9^2+{12}^2=225$, suy ra BC = 15cm

Đáp án cần chọn là: B

Theo giả thiết AB : AC = 5 : 12

Suy ra $\frac{AB}{5}=\frac{AC}{12}=\frac{AB+AC}{5+12}=\frac{34}{17}=2$ . Do đó AB = 5.2 = 10 (cm);

AC = 2.12 = 24 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={10}^2+{24}^2=676$, suy ra BC = 26cm

Đáp án cần chọn là: C

Tứ giác ARHD là hình chữ nhật vì:  $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}={90}^{\circ }$ nên DE = AH.

Xét $∆$ABC vuông tại A có $A{H}^2$ = HB.HC = 4.9 = 36$\iff$AH = 6

Nên DE = 6cm

Đáp án cần chọn là : D

Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì:  $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}={90}^o$ nên DE = AH.

Xét ABC vuông tại A có: $A{H}^2$ = HB.HC = 9.16 = 144 => AH = 12

Nên DE = 12cm

Đáp án cần chọn là: A

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Gọi BH là đường cao của hình thang. Ta có BE // AC, AC$\perp$ BD nên BE $\perp$BD

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông BDH, ta có: $B{H}^2+H{D}^2=B{D}^2$

${12}^2+H{D}^2={15}^2\Rightarrow H{D}^2=81$ => HD = 9cm

Xét tam giác BDE vuông tại B:

$B{D}^2=DE.DH\Rightarrow {15}^2=DE.9\Rightarrow DE=25cm$

Ta có: AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25cm

Do đó $S_{ABCD}$ =(AB+CD).BH:2 = 25.12 : 2 = 150($c{m}^2$)

Đáp án cần chọn là: A

Xét $∆$ADB vuông tại A có: AH là đường cao ứng với cạnh huyền BD

$\Rightarrow A{H}^2$ = HB. HD = 8.18 $\Rightarrow$ HA = 12 (cm) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét $∆$ADC vuông tại D có: DH là đường cao ứng với cạnh huyền AC

$\Rightarrow H{D}^2=HA.HC\Rightarrow {18}^2=12HC$ => HC = 27 (cm) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có: AC = AH + HC = 12 + 27 = 39 cm

BD = BH + HD = 8 + 18 = 26cm

$S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}=\frac{26.39}{2}=507c{m}^2$ - tứ giác có 2 đường chéo $d_1, d_2$ vuông góc với nhau thì S = $\frac{1}{2}{d}_1.d_2$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có ∆ABC cân tại A => AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý)

=> H là trung điểm của BC

Đặt  BH = x (x > 0, cm) $\Rightarrow BC=2.BH=2x$ 

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}CK.AB$ $\iff$AH.BC = CK.AB $\iff$7,5.2x = 12.AB

$\iff$AB = $\frac{5}{4}x$

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại H ta có:

$A{B}^2=B{H}^2+A{H}^2\iff \frac{25}{16}{x}^2=x^2+7,5^2$

$\iff \frac{9}{16}{x}^2=7,5^2\iff x^2=100\Rightarrow x=10$

=> AB = $\frac{5}{4}.10$ = 12,5 cm

=> BC = 2BH = 20cm

Đáp án cần chọn là: C

Xét $∆$ABC vuông tại A có M là trung điểm AB

=> HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

=> HM = $\frac{1}{2}$AB => AB = 2HM = 2. 15 = 30 (cm)

Xét $∆$ACH vuông tại H có N là trung điểm AC

=> HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

=> HN = $\frac{1}{2}$AC => AC = 2HN = 2. 20 = 40 (cm)

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Ta có: HC = BC – BH = 50 – 18 = 32 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

AH.BC = AB.AC => AH.50 = 30.40 => AH = 24 (cm)

Đáp án cần chọn là: D

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có:

Vì BM là tia phân giác trong của góc B$\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{AB}{BC}$ (Tính chất đường phân giác)

$\Rightarrow \frac{MA}{MC+MA}=\frac{AB}{BC+AB}\Rightarrow \frac{MA}{AC}=\frac{AB}{BC+AB}$$\Rightarrow \frac{MA}{8}=\frac{6}{10+6}\Rightarrow$MA = 3cm

Vì BM; BN là tia phân giác trong và ngoài của góc B$\Rightarrow \widehat{NBM}={90}^0$

Áp dụng hệ thức lượng trong ABM vuông tại B có đường cao BA ta có:

Đáp án cần chọn là: D

Áp dụng định lý Pytago cho  ABH vuông tại A có:

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆$ ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Vì AM là đường trung tuyến  M là trung điểm BC

Ta có: MH = BM – BH = 25 – 18 = 7 cm

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử tam giác đã cho là ABC vuông tại A có AB < AC, BC = 5; AH = 2

Đặt BH = x (0 < x < 2,5) => HC = 5 – x

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

=> (x – 1)(x – 4) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x-4=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\left(tm\right)\\ x=4\left(ktm\right)\end{array}\right.$

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác đã cho có độ dài là $\sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: A

Theo đề bài ta có: các cạnh AB, AC tương ứng tỉ lệ với 3 và 4

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Áp dụng định lý Pitago cho ABC vuông tại A ta có:

Chu vi $∆$ABC: AB + BC + CA = 22,5 + 30 + 37, 5 = 90cm

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông: ABC :

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC:

M là trung điểm củaBC

Vậy  HM = BM – BH = $\frac{7}{10}$(cm)

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABH vuông tại H. Ta có:

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A có AH là đường cao

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

Vậy AC = 7,5 (cm); BC =  12,5 (cm)

Đáp án cần chọn là: B