Bài tập Toán 7: Tính chất ba đường trung trực

Tam giác ABC có góc A là góc tù. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở O. Các điểm B và C có thuộc đường tròn tâm O bán kính OA hay không? Vì sao?

Tam giác ABC nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD.

a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD.

b) Chứng minh các tam giác ABD, CBD vuông.

c) Biết $\widehat{ABC}= 70°$. Tính số đo góc $\widehat{ADC}$.

Cho tam giác ABC có O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Biết BO là tia phân giác của góc $\widehat{ABC}$. Chứng minh:

a) $∆BOA = ∆BOC;$

b) BO là trung trực của AC.

Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh:

a) $∆DOB = ∆EOC;$

b) AO là đường trung trực của DE;

c) DE // BC.

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{C}= 60°$. Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB.

a) Có nhận xét gì về tam giác DBC ? Vì sao?

b) Chứng minh $AC =\frac{1}{2} BC$.

c) Trên tia BA lấy điểm O sao cho $BO=\frac{2}{3}BA$. Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.

Cho tam giác ABC có $\hat{A} > 90°$. Trên cạnh BC lấy các điểm D và E sao cho BD = BA, CE = CA. Gọi I là giao điểm các tia phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh:

a) Tam giác BCD là tam giác gì?

b) Tính AC? 

Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

a) Tính số đo góc $\widehat{MAO}$.

b) Chứng minh $∆MAO = ∆OPC.$

c) Chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác MNP.

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC tại M và N (M và N nằm ngoài đoạn thẳng BC). Chứng minh:

a) $∆AMB$ và $∆ANC$ cân;

b) $∆AMC = ∆NB;$

c) AO là đường trung trực của MN.

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\hat{C}= 30°$. Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC, cắt AC tại H và cắt BC tại D. Nối A và D.

a) Chứng minh tam giác ABD đều.

b) Kẻ phân giác góc $\hat{B}$ cắt AD tại K, cắt DH kéo dài tại I. Chứng  minh I là tâm đường trong đi qua ba đỉnh, của tam giác ADC.

c) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của I xuống các đường thẳng BC, BA. Chứng minh IE = IF = IK.  

d) Tính số đo góc $\widehat{DAI}$

Cho tam giác ABC có góc A tù, tia phân giác của B và C cắt nhau tại O.

Lấy E là điểm trên cạnh AB. Từ E hạ $EP \perp BO$ (P thuộc BC), từ P hạ $PF \perp OC$ (F thuộc AC). Chứng minh:

a) OB và OC lần lượt là đường trung trực của PE và PF;

b) BE + CF = BC.

Cho tam giác ABC cân ở A, đường phân giác AK. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O.

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng.

b) Kéo dài CO cắt AB ở D, kéo dài BO cắt AC ở E. Chúng minh AK và các đường trung trực của AD và AE đồng quy.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC, H thuộc BC. Tia phân giác của góc $\widehat{HAB}$ cắt BC tại D, tia phân giác của góc $\widehat{HAC}$ cắt BC tại E. Chứng minh điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC chính là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ADE.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các điểm F, K, I là trung điểm, các cạnh BC, BA, AC. Gọi H là giao điểm các đường trung trực tam giác ABC. Trên tia đối của tia FH lấy điểm A' sao cho A'F = FH. Trên tia đối của tia KH lấy điểm C' sao cho KH = KC' . Trên tia đối  của tia IH lấy điểm B' sao cho IH = IB'

a) Chứng minh hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh bằng nhau và trong sáu cạnh đó có từng đôi một song song.

b) Cho $\widehat{ABC}=80°,\widehat{BAC}=60°$. Tính các góc của hình sáu cạnh A'BC'AB'C.